56，重庆市沙坪坝区南开中学2023-—2024学年下学期七年级开学考试数学试卷

这是一份56，重庆市沙坪坝区南开中学2023-—2024学年下学期七年级开学考试数学试卷，共24页。
1．（4分）8的相反数是（ ）
A．B．C．﹣8D．8
2．（4分）一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“秉承公能校训”，把它折成正方体后，与“能”相对的字是（ ）
A．秉B．承C．校D．训
3．（4分）下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查一批节能灯泡的使用寿命
B．调查全国中学生每日睡眠时间
C．为保证长征六号改运载火箭顺利完成首次发射任务，对其零部件进行检查
D．调查中央电视台2024年春节联欢晚会的收视率
4．（4分）下列单项式中，与5xy2的和为单项式的是（ ）
A．xyB．﹣xyC．5x2y2D．﹣2xy2
5．（4分）下列等式变形不正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+1＝y+1B．若，则x＝y
C．若﹣2x＝﹣2y，则x＝yD．若x＝y，则
6．（4分）如图所示，射线OA在东北方向，∠AOB＝160°，则OB的方向是（ ）
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7．（4分）《九章算术》中记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问：人数几何？大意为：今有人合伙买金，一人出400，则多出3400；一人出300，则多出100，问：有多少人合伙买金？设有x人合伙买金，可列方程为（ ）
A．400x﹣3400＝300x﹣100B．400x+3400＝300x+100
C．D．
8．（4分）下列图形都是用同样大小的闪电图案按一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个闪电图案，第②个图形中共有9个闪电图案，第③个图形中共有13个闪电图案，按此规律摆放下去，则第⑦个图形中闪电图案的个数为（ ）
A．29B．30C．31D．32
9．（4分）如图，已知C是线段AB上的一点，P、Q分别是线段AB、CB的中点，M、N分别是线段BP、BQ的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣b|﹣|a+c|+|a﹣b|＝（ ）
A．﹣2aB．2bC．2cD．2a﹣2b+2c
11．（4分）如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE、∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为（ ）
A．B．C．120°﹣2αD．180°﹣3α
12．（4分）已知两个多项式（b1≠0，且a1、m、b1是常数），（b2≠0，且a2，n、b2是常数）满足，b1+b2＝0，称多项式M是多项式N的“友好式”，下列四个结论正确的个数为（ ）①多项式3x2+2x﹣2是多项式的“友好式”；
②若m＝2，M是N的“友好式”，且3M+8N的取值与x无关，则；
③若M是N的“友好式”，且关于x的方程3M+8N＝0无解，则mn一定是非正数；
④当m＝3，n＝﹣1，时，若M是N的“友好式”，且关于x的方程||3M+8N|﹣1|＝t有三个整数解，则t＝1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题10个小题，每空3分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上．
13．（3分）2023年重庆GDP迈上30000亿元新台阶，其中“30000亿元”这个数据用科学记数法可表示为 亿元．
14．（3分）如图，大长方形是由六个相同的小长方形组合而成的，其中每个小长方形的长为4，则大长方形的周长为 ．
15．（3分）代数式x﹣3y的值为2，则6y﹣2x+2024的值为 ．
16．（3分）若一个角的补角比这个角的余角的3倍多10°，则这个角的度数是 ．
17．（3分）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是 边形．
18．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O，∠DOM＝38°，且OE平分∠AOC，则∠DOE的度数为 ．
19．（3分）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每小时行9千米，两人同时同地背向而行3分钟后，小华立即掉头来追小明，则再经过 分钟小华可追上小明．
20．（3分）已知关于x的方程的解为负整数，则整数a的所有取值的和为 ．
21．（3分）已知AB∥CD，点E在直线AB上，以点E为顶点作∠FEG＝90°，点F在直线AB上方，点G在直线CD下方，EG与CD交于点N，作∠BEF的角平分线并反向延长与∠CNE的角平分线交于点P，则∠P的度数为 ．
22．（3分）若一个四位数的千位与百位之差、十位与个位之差均等于2，称这个四位数是“顺2差数”，例如：四位数5342，∵5﹣3＝4﹣2＝2，∴5342为“顺2差数”；若四位数的百位与千位之差、个位与十位之差均等于2，称这个四位数是“逆2差数”，例如：四位数3524，∵5﹣3＝4﹣2＝2，∴3524为“逆2差数”．若数p，q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，p，q的各数位数字之和分别记为G（p）和G（q），，若为整数，此时的最大值为 ．
三、计算题（本大题3个小题，每小题8分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
23．（8分）计算：
（1）﹣34+22﹣（﹣16）；
（2）．
24．（8分）解方程：
（1）3﹣2（x﹣2）＝﹣x+7；
（2）．
25．（8分）先化简，再求值：，其中．
四、解答题（本大题5个小题，26题8分，27-30题每题10分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图，线段AD与线段BC相交于点E，点G为线段CE上（除C、E外）的任一点．
（1）过点G作射线GF，交CD于点F，且满足∠CGF＝∠AEB；（利用尺规作图，不写过程和结论）
（2）试说明∠D＝∠CFG．将下面的证明过程补充完整，括号内写上相应理由或依据：
证明：∵∠CGF＝∠AEB（已知），
且 （对顶角相等），
∴∠CGF＝∠CED（ ）．
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠CFG（ ）．
27．（10分）为进一步落实“双减”政策，全面推进素质教育，某中学构建特色课程模式，开展人文、科技、艺术、体育和劳动五类选修课程，为合理安排课程数量，学校计划了解初一年级学生对五类选修课程的选择情况．学校随机抽取m名学生进行了问卷调查，将他们选择五类选修课的数量情况进行统计．现将调查统计结果制成如图所示的两幅不完整统计图，请结合这两幅统计图，回答下列问题：
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ；a＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“体育”类所对应的扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校初一年级有1200名学生，请你估计该校初一年级选择“科技”和“劳动”两类选修课程的人
数之和．
28．（10分）已知：如图，点D是△ABC边CB延长线上的一点，DE⊥AC于点E，点G是边AB一点，∠AGF＝∠ABC，∠BFG＝∠D，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．
29．（10分）新型农村合作医疗（简称“新农合”）推出后，很多农民看病贵、看病难的问题得到了缓解．参加新农合的农民可在规定的医院付费就医，之后按规定标准报销部分医疗费用，表①是医疗费用分段报销的标准；表②是甲、乙、丙三位参加新农合的农民门诊费、住院费及报销总费用情况．
表①
表②
注：报销总费用＝门诊费报销的部分十住院费报销的部分．
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）牛大爷去年和今年的住院费共计52000元，两年住院费共报销了33700元，已知去年住院费不超过20000元，求牛大爷去年住院费是多少元？
30．（10分）如图1，A，O，B三点在一条直线上，且∠AOC＝24°，∠BOD＝78°，射线OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD．如图2，将射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，射线OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD，当射线OC与射线OB重合时，∠COD停止运动．设射线OA的运动时间为t秒．
（1）如图1，运动开始前，∠MON＝ °；
（2）若ON在OB上方，当t为何值时，射线OD平分∠BOM？
（3）旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON＝46°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡对应的方框涂黑．
1．（4分）8的相反数是（ ）
A．B．C．﹣8D．8
【解答】解：8的相反数是﹣8．
故选：C．
2．（4分）一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“秉承公能校训”，把它折成正方体后，与“能”相对的字是（ ）
A．秉B．承C．校D．训
【解答】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“能”相对的字是为“承”．
故选：B．
3．（4分）下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查一批节能灯泡的使用寿命
B．调查全国中学生每日睡眠时间
C．为保证长征六号改运载火箭顺利完成首次发射任务，对其零部件进行检查
D．调查中央电视台2024年春节联欢晚会的收视率
【解答】解：A．调查一批灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查，故A不符合题意；
B．调查全国中学生每日睡眠时间，调查的人数较多，故应当采用抽样调查，故B不符合题意；
C．为保证长征六号改运载火箭顺利完成首次发射任务，对其零部件进行检查，适宜采用全面调查，故C符合题意；
D．调查中央电视台2024年春节联欢晚会的收视率，适宜采用抽样调查，故D不符合题意．
故选：C．
4．（4分）下列单项式中，与5xy2的和为单项式的是（ ）
A．xyB．﹣xyC．5x2y2D．﹣2xy2
【解答】解：由同类项的定义可知，x的指数是1，y的指数是2．
A、x的指数是1，y的指数是1，不是同类项，故此选项不符合题意；
B、x的指数是1，y的指数是1，不是同类项，故此选项不符合题意；
C、x的指数是2，y的指数是2，不是同类项，故此选项不符合题意；
D、x的指数是1，y的指数是2，是同类项，故此选项符合题意．
故选：D．
5．（4分）下列等式变形不正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+1＝y+1B．若，则x＝y
C．若﹣2x＝﹣2y，则x＝yD．若x＝y，则
【解答】解：A、若x＝y，则x+1＝y+1，变形正确，不符合题意；
B、若，则x＝y，变形正确，不符合题意；
C、若﹣2x＝﹣2y，则x＝y，变形正确，不符合题意；
D、若x＝y，当c＝0时，无意义，变形错误，符合题意；
故选：D．
6．（4分）如图所示，射线OA在东北方向，∠AOB＝160°，则OB的方向是（ ）
A．南偏西35°B．西偏南25°C．西偏南35°D．南偏西25°
【解答】解：∵射线OA在东北方向，
∴∠AOC＝45°，
∵∠AOB＝160°，
∴∠BOD＝160°﹣45°﹣90°＝25°，
∴射线OB的方向是南偏西25°．
故选：D．
7．（4分）《九章算术》中记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问：人数几何？大意为：今有人合伙买金，一人出400，则多出3400；一人出300，则多出100，问：有多少人合伙买金？设有x人合伙买金，可列方程为（ ）
A．400x﹣3400＝300x﹣100B．400x+3400＝300x+100
C．D．
【解答】解：∵一人出400，则多出3400，
∴金的价格为400x﹣3400；
∵一人出300，则多出100，
∴金的价格为300x﹣100．
∴根据题意可列出方程为400x﹣3400＝300x﹣100．
故选：A．
8．（4分）下列图形都是用同样大小的闪电图案按一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个闪电图案，第②个图形中共有9个闪电图案，第③个图形中共有13个闪电图案，按此规律摆放下去，则第⑦个图形中闪电图案的个数为（ ）
A．29B．30C．31D．32
【解答】解：∵第①个图形中共有（1﹣1）×4+5＝5（个），
第②个图形中共有（2﹣1）×4+5＝9（个），
第③个图形中共有（3﹣1）×4+5＝5×4﹣1＝13（个），
…，
则第⑦个图形中闪电图案的个数为（7﹣1）×4+5＝29（个）．
故选：A．
9．（4分）如图，已知C是线段AB上的一点，P、Q分别是线段AB、CB的中点，M、N分别是线段BP、BQ的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵P、Q分别是线段AB、CB的中点，
∴PA＝AB，CQ＝BC，
∵AC＝PA﹣PC＝PA﹣（QC﹣PQ），
∴AC＝AB﹣（BC﹣PQ）＝（AB﹣BC）+PQ＝AC+PQ，
∴PQ＝AC，
∵M、N分别是线段BP、BQ的中点，
∴BM＝PB，BN＝BQ，
∴BM﹣BN＝（PB﹣BQ），
∴MN＝PQ，
∴MN＝AC，
∴的值为．
故选：B．
10．（4分）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣b|﹣|a+c|+|a﹣b|＝（ ）
A．﹣2aB．2bC．2cD．2a﹣2b+2c
【解答】解：由题意可知，a＜b＜0＜c，|a|＞|c|，
∴c﹣b＞0，a﹣b＜0，a+c＜0，
∴|c﹣b|﹣|a+c|+|a﹣b|＝c﹣b+a+c+b﹣a＝2c，
故选：C．
11．（4分）如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE、∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为（ ）
A．B．C．120°﹣2αD．180°﹣3α
【解答】解：过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD∥AB，
∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，
∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝α，
同理可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF、CF分别平分∠BAE、∠DCE，
∴∠BAF＝，
∴∠AFC＝，
故选：A．
12．（4分）已知两个多项式（b1≠0，且a1、m、b1是常数），（b2≠0，且a2，n、b2是常数）满足，b1+b2＝0，称多项式M是多项式N的“友好式”，下列四个结论正确的个数为（ ）①多项式3x2+2x﹣2是多项式的“友好式”；
②若m＝2，M是N的“友好式”，且3M+8N的取值与x无关，则；
③若M是N的“友好式”，且关于x的方程3M+8N＝0无解，则mn一定是非正数；
④当m＝3，n＝﹣1，时，若M是N的“友好式”，且关于x的方程||3M+8N|﹣1|＝t有三个整数解，则t＝1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①因为＝3，﹣2+2＝0，所以这两个多项式满足“友好式”的条件，因此结论①正确；
②3M+8N＝3（+mx+b1）+8（+nx+b2）＝（3a1+8a2）x2+（3m+8n）x+（3b1+8b2），
因为M是N的“友好式”，所以，b1+b2＝0，则3M+8N＝（3m+8n）x+5b2，
因为3M+8N的取值与x无关，所以3m+8n＝0，则n＝﹣m＝﹣；
因此结论②不正确；
③因为M是N的“友好式”，则3M+8N＝（3m+8n）x+5b2，
因为关于x的方程3M+8N＝0无解，也就是说函数y＝（3m+8n）x+5b2与x轴没有交点，
所以3m+8n＝0，
因此m、n的取值应为一正一负，或都等于0，则mn一定是非正数；
因此结论③正确；
④根据题意，将原方程整理化简，得：||x﹣2|﹣1|＝t，
解得：x1＝3+t，x2＝1﹣t，x3＝3﹣t，x4＝1+t，
若t＝﹣1，则x1＝x2＝2，x3＝4，x4＝0，满足题意要求；
因此结论④不正确；
故选：B．
二、填空题（本大题10个小题，每空3分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上．
13．（3分）2023年重庆GDP迈上30000亿元新台阶，其中“30000亿元”这个数据用科学记数法可表示为 3×104 亿元．
【解答】解：30000＝3×104．
故答案为：3×104．
14．（3分）如图，大长方形是由六个相同的小长方形组合而成的，其中每个小长方形的长为4，则大长方形的周长为 28 ．
【解答】解：∵六个小长方形完全相同，
∴每个小长方形的宽相等，
由图可看出一个小长方形的长等于两个宽，每个小长方形的长为4，
∴宽为2，
∴大长方形的周长为2×（4+2+4+2×2）＝2×14＝28，
故答案为：28．
15．（3分）代数式x﹣3y的值为2，则6y﹣2x+2024的值为 2020 ．
【解答】解：∵代数式x﹣3y的值为2，
∴x﹣3y＝2，
∵6y﹣2x+2024
＝﹣2（x﹣3y）+2024
＝﹣2×2+2024
＝2020，
故答案为：2020．
16．（3分）若一个角的补角比这个角的余角的3倍多10°，则这个角的度数是 50° ．
【解答】解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α，
根据题意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）+10°，
解得α＝50°．
故答案为：50°．
17．（3分）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是 九 边形．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，n﹣2＝7，
解得：n＝9，
即这个多边形是九边形，
故答案为：九．
18．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O，∠DOM＝38°，且OE平分∠AOC，则∠DOE的度数为 116° ．
【解答】解：∵OM⊥AB于点O，∠DOM＝38°，
∴∠AOD＝∠AOM﹣∠DOM＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BOC＝∠AOD＝52°，
∴∠AOC＝180°﹣52°＝128°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝64°，
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝52°+64°＝116°，
故答案为：116°．
19．（3分）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每小时行9千米，两人同时同地背向而行3分钟后，小华立即掉头来追小明，则再经过 7 分钟小华可追上小明．
【解答】解：设再经过x分钟小华可追上小明，
由题意得：＝+60×3+60x，
解得：x＝7，
即再经过7分钟小华可追上小明．
故答案为：7．
20．（3分）已知关于x的方程的解为负整数，则整数a的所有取值的和为 ﹣14 ．
【解答】解：，
方程两边都乘以6得，3x﹣（2+ax）＝2（x﹣6），
整理得（a﹣1）x＝10，
当a﹣1≠0，即a≠1时，方程的解为x＝，
∵关于x的方程的解为负整数，且a为整数，
∴a﹣1＝﹣1或a﹣1＝﹣2或a﹣1＝﹣5或a﹣1＝﹣10，
解得a＝0或a＝﹣1或a＝﹣4或a＝﹣9，
∴整数a的所有取值的和为0﹣1﹣4﹣9＝﹣14，
故答案为：﹣14．
21．（3分）已知AB∥CD，点E在直线AB上，以点E为顶点作∠FEG＝90°，点F在直线AB上方，点G在直线CD下方，EG与CD交于点N，作∠BEF的角平分线并反向延长与∠CNE的角平分线交于点P，则∠P的度数为 45° ．
【解答】解：过点P作PT∥AB，如图所示：

设∠FEM＝α，
∵EM平分∠BEF，
∴∠BEM＝∠FEM＝α，∠BEF＝2∠FEM＝2α，
∴∠AEP＝∠BEM＝α，
∵∠FEG＝90°，
∴∠BEG＝∠FEG﹣∠BEF＝90°﹣2α，
∵AB∥CD，
∴∠CNE＝∠BEG＝90°﹣2α，
∵PN平分∠CNE
∴∠CNP＝∠CNE＝45°﹣α，
∵AB∥CD，PT∥AB，
∴AB∥PT∥CD，
∴∠EPT＝∠AEP＝α，∠TPN＝∠CNP＝45°﹣α，
∴∠EPN＝∠EPT+∠TPN＝α+45°﹣α＝45°．
故答案为：45°．
22．（3分）若一个四位数的千位与百位之差、十位与个位之差均等于2，称这个四位数是“顺2差数”，例如：四位数5342，∵5﹣3＝4﹣2＝2，∴5342为“顺2差数”；若四位数的百位与千位之差、个位与十位之差均等于2，称这个四位数是“逆2差数”，例如：四位数3524，∵5﹣3＝4﹣2＝2，∴3524为“逆2差数”．若数p，q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，p，q的各数位数字之和分别记为G（p）和G（q），，若为整数，此时的最大值为 ．
【解答】解：若数p、q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，设p、q的百位数字分别为a、b，则数p、q的千位数字分别为a+2（0≤a≤7）、b﹣2（2≤b≤9），数p、q的十位数字分别为6、2，
∴G（p）＝a+2+a+6+4＝2a+12，
G（q）＝b﹣2+b+2+4＝2b+4，
，
，
是整数，则a﹣b＝1或a﹣b＝2，
∵，
∴a﹣b＝2时，存在最大值，
满足条件的a、b有、、、，
当a＝4，b＝2时，
当a＝5，b＝3时，，
当a＝6，b＝4时，，
当a＝7，b＝5时，，
而，
∴的最大值为，
故答案为：．
三、计算题（本大题3个小题，每小题8分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
23．（8分）计算：
（1）﹣34+22﹣（﹣16）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝﹣12+16
＝4；
（2）原式＝﹣1﹣×（﹣4+9）
＝﹣1﹣×5
＝﹣1﹣3
＝﹣4．
24．（8分）解方程：
（1）3﹣2（x﹣2）＝﹣x+7；
（2）．
【解答】解：（1）3﹣2（x﹣2）＝﹣x+7，
3﹣2x+4＝﹣x+7，
﹣2x+x＝7﹣4﹣3，
﹣x＝0，
x＝0；
（2），
y+＝1﹣，
6y+2（2y﹣7）＝6﹣（y﹣2），
6y+4y﹣14＝6﹣y+2，
6y+4y+y＝6+2+14，
11y＝22，
y＝2．
25．（8分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝2x2﹣（x2+2xy﹣2y2）+2xy
＝2x2﹣x2﹣2xy+2y2+2xy
＝x2+2y2，
∵，
∴x＝，y＝﹣1，
原式＝．
四、解答题（本大题5个小题，26题8分，27-30题每题10分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图，线段AD与线段BC相交于点E，点G为线段CE上（除C、E外）的任一点．
（1）过点G作射线GF，交CD于点F，且满足∠CGF＝∠AEB；（利用尺规作图，不写过程和结论）
（2）试说明∠D＝∠CFG．将下面的证明过程补充完整，括号内写上相应理由或依据：
证明：∵∠CGF＝∠AEB（已知），
且 ∠AEB＝∠CED （对顶角相等），
∴∠CGF＝∠CED（ 等量代换 ）．
∴ GF∥AD （同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠CFG（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【解答】解：（1）如图，∠CGF即为所作；
（2）证明：∵∠CGF＝∠AEB（已知），
且∠AEB＝∠CED（对顶角相等），
∴∠CGF＝∠CED（ 等量代换）．
∴GF∥AD（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠CFG（两直线平行，同位角相等）．
27．（10分）为进一步落实“双减”政策，全面推进素质教育，某中学构建特色课程模式，开展人文、科技、艺术、体育和劳动五类选修课程，为合理安排课程数量，学校计划了解初一年级学生对五类选修课程的选择情况．学校随机抽取m名学生进行了问卷调查，将他们选择五类选修课的数量情况进行统计．现将调查统计结果制成如图所示的两幅不完整统计图，请结合这两幅统计图，回答下列问题：
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ 60 ；a＝ 30 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“体育”类所对应的扇形的圆心角度数是 90° ；
（4）若该校初一年级有1200名学生，请你估计该校初一年级选择“科技”和“劳动”两类选修课程的人
数之和．
【解答】解：（1）本次随机抽取的学生人数m＝12÷20%＝60（名），
18÷60×100%＝30%，即a＝30．
故答案为：60；30；
（2）艺术的频数为60﹣12﹣18﹣15﹣9＝6（人），补全条形统计图如图所示：
（3）“体育”类所对应的扇形的圆心角度数为360°×＝90°，
故答案为：90°；
（4）1200×（+）＝540（人）．
答：估计该校初一年级选择“科技”和“劳动”两类选修课程的人数之和大约有540人．
28．（10分）已知：如图，点D是△ABC边CB延长线上的一点，DE⊥AC于点E，点G是边AB一点，∠AGF＝∠ABC，∠BFG＝∠D，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．
【解答】解：BF⊥AC，理由如下：
∵∠AGF＝∠ABC，
∴FG∥BC，
∴∠GFB＝∠FBC，
∵∠GFB＝∠D，
∴∠FBC＝∠D，
∴BF∥DE，
∵DE⊥AC
∴BF⊥AC．
29．（10分）新型农村合作医疗（简称“新农合”）推出后，很多农民看病贵、看病难的问题得到了缓解．参加新农合的农民可在规定的医院付费就医，之后按规定标准报销部分医疗费用，表①是医疗费用分段报销的标准；表②是甲、乙、丙三位参加新农合的农民门诊费、住院费及报销总费用情况．
表①
表②
注：报销总费用＝门诊费报销的部分十住院费报销的部分．
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 30 ，b＝ 1144 ，c＝ 80 ；
（2）牛大爷去年和今年的住院费共计52000元，两年住院费共报销了33700元，已知去年住院费不超过20000元，求牛大爷去年住院费是多少元？
【解答】解：（1）根据题意得：260×a%＝78，
解得：a＝30；
b＝80×30%+2800×40%＝1144；
400×30%+5000×40%+（20000﹣5000）×50%+（25000﹣20000）×c%＝13620，
解得：c＝80．
故答案为：30，1144，80；
（2）设牛大爷去年住院费是x元，则牛大爷今年住院费是（52000﹣x）元，
当0＜x≤5000时，40%x+5000×40%+（20000﹣5000）×50%+（52000﹣x﹣20000）×80%＝33700，
解得：x＝3500；
当5000＜x≤20000时，5000×40%+（x﹣5000）×50%+5000×40%+（20000﹣5000）×50%+（52000﹣x﹣20000）×80%＝33700，
解得：x＝3000（不符合题意，舍去）．
答：牛大爷去年住院费是3500元．
30．（10分）如图1，A，O，B三点在一条直线上，且∠AOC＝24°，∠BOD＝78°，射线OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD．如图2，将射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，射线OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD，当射线OC与射线OB重合时，∠COD停止运动．设射线OA的运动时间为t秒．
（1）如图1，运动开始前，∠MON＝ 90 °；
（2）若ON在OB上方，当t为何值时，射线OD平分∠BOM？
（3）旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON＝46°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠COD＝24°，∠BOC＝78°，
∴∠BOD＝24°+78°＝102°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOD＝180°﹣102°＝78°，
∵射线OM，ON分别平分∠AOB和∠BOD，
∴∠AOM＝∠AOB＝39°，∠DON＝∠BOD＝51°．
∴∠DOM＝180°﹣∠BOD﹣∠AOM＝180°﹣102°﹣39°＝39°，
∴∠MON＝39°+51°＝90°，
故答案为：90．
（2）∵射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，
∴∠AOD＝180°﹣78°+6°t﹣8°t＝102°﹣2°t，
∵射线OM平分∠AOD，
∴∠DOM＝∠AOD＝51°﹣t，
∵∠BOD＝78°﹣6°t，
∴51°﹣t＝78°﹣6°t，
解得：t＝5.4．
故当t＝5.4时，射线OD平分∠BOM．
（3）存在某一时刻使得∠MON＝42°，理由如下：
①当ON在OB上方，此时有：∠DOM+∠DON＝46°，
即：（102°﹣2°t）+（78°﹣6°t）＝46°，
解得：t＝11；
②当ON在OB下方，此时有：∠DOM﹣∠DON＝46°，
即：（102°﹣2°t）﹣（6°t﹣78°）＝46°，
解得：t＝11；
③当∠COD停止运动，OA继续旋转时，此时有OA旋转256°，∠MON＝46°，
t＝256°÷8°＝32．
综上所述：当t＝11或32时，∠MON＝46°．医疗费用范围
门诊费
住院费（元）
0～5000的部分
5000～20000的部分
20000以上的部分
报销比例
a%
40%
50%
c%
门诊费
住院费
报销总费用
甲
260元
0元
78元
乙
80元
2800元
b元
丙
400元
25000元
13620元
医疗费用范围
门诊费
住院费（元）
0～5000的部分
5000～20000的部分
20000以上的部分
报销比例
a%
40%
50%
c%
门诊费
住院费
报销总费用
甲
260元
0元
78元
乙
80元
2800元
b元
丙
400元
25000元
13620元