2021-2022学年河南省驻马店市平舆县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年河南省驻马店市平舆县八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列式子中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在中，若是的正比例函数，则值为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

3. 下列计算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 一组数据：，，，，，若去掉一个数据，则下列统计量中发生变化的是(    )

A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差

5. 如图，直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 下列命题正确的是(    )

A. 对角线相等的平行四边形是菱形
B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C. 矩形的对角线互相垂直
D. 顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形

7. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于(    )

A. 和之间
B. 和之间
C. 和之间
D. 和之间

8. 如图，在▱中，以为圆心，长为半径画弧交于分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图放置，，，都是边长为的等边三角形，点在轴上，点，，，，都在正比例函数的图象上，则的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 如果代数式有意义，那么字母的取值范围是______．
12. 如图，由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点、、都在网格格点的位置上，则的中线的长为______ ．

13. 直线与直线的交点的横坐标为，则方程组的解为______．
14. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______ ，使平行四边形是矩形．

15. 如图，在正方形中，点从点出发，沿运动到点，点是边的中点，连接，，当为直角三角形时，的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10分）

16. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运吨，并且台型机器人和台型机器人每天共搬运货物吨．
    求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
    每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共台，必须满足每天搬运的货物不低于吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？

四、解答题（本大题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算；
    求的值，其中．
18. 本小题分
    定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
    
    已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
    已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
19. 本小题分
    如图是某设计师打造的一款项目的示意图，其段和垂直于地面的段均由不锈钢管材打造，两段总长度为，矩形是一木质平台的侧面示意图，测得，，求出段的长度．

20. 本小题分
    如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，并且与轴以及的图象分别交于点、．
    若点的横坐标为，求一次函数的解析式；
    求四边形的面积即图中阴影部分的面积．

21. 本小题分
    某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示．
    本次共抽查学生______人，并将条形图补充完整；
    捐款金额的众数是______，中位数为______．
    请估计八年级名学生共捐款多少元．
     

22. 本小题分
    某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对两数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表：

表中的值为______；
以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象；
进一步探究函数图象，发现：函数图象与轴有______个交点，因此方程的解是______．

23. 本小题分
    如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于点，垂足为，连接，．
    求证：；
    当四边形是菱形时，在的什么位置？请说明你的理由；
    在的条件下，则当______度时，四边形是正方形．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：函数是正比例函数，
，
解得．
故选：．
先根据正比例函数的定义列出关于的方程组，求出的值即可．
本题考查的是正比例函数的定义，即形如的函数叫正比例函数．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A正确，符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
与不是同类二次根式，不能合并，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
先化简，然后合并同类项可以计算出中的式子的结果，即可判断；根据二次根式的除法可以判断；根据同类二次根式的定义，可以判断；根据二次根式的乘法可以解答．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：原数据，，，，的平均数为，中位数为，众数为，
方差为；
新数据的，，，的平均数为，中位数为，众数为，
方差为；
故选：．
根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据图象可知，直线过，且随着的增大而减小，
不等式的解集是．
故选：．
根据函数图象即可确定．
本题考查了一次函数图象与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
C、矩形的对角线相等但不互相垂直，故原命题错误，不符合题意；
D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，正确，符合题意；
故选：．
分别利用菱形、正方形的判定方法、矩形的性质及判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形、正方形的判定方法、矩形的性质及判定等知识，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：点坐标为，
，
点、均在以点为圆心，以为半径的圆上，
，
，
．
点在轴的负半轴上，
点的横坐标介于和之间．
故选：．
先根据勾股定理求出的长，由于，故估算出的长，再根据点在轴的负半轴上即可得出结论．
本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出的长是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
设交于点证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题．
【解答】
解：如图，设交于点．

由作图可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征．
将，，的坐标分别代入直线中求得的值，即可得到的取值范围．
【解答】
解：直线经过点时，将代入直线中，可得，解得；
直线经过点时：将代入直线中，可得，解得；
直线经过点时：将代入直线中，可得，解得．
故的取值范围是．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：，，，都是边长为的等边三角形，
，
过点作轴于点，如图所示：

为的中点，
，
根据勾股定理，可得，
，
把点代入中，得，
直线的解析式为，
，，
按照此规律，可得，
故选：．
根据等边三角形的性质可得，待定系法求函数解析式，进一步可得，，按照上面的规律即可求出点的坐标．
本题考查了一次函数与等边三角形的综合，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征并找出点坐标之间的规律是解题的关键．
 

11.【答案】且 

【解析】解：代数式有意义，
，解得且．
故答案为：且．
先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，，，．
．
是直角三角形，且．
是斜边上的中线，
．
故答案是：．
首先根据勾股定理求得，，的长度，然后由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，则根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可．
本题主要考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线的性质，利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的突破口．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线与直线的交点的横坐标为，
把代入得，
直线与直线的交点坐标为，
方程组的解为，
故答案为．
把代入求得交点坐标，根据两一次函数的交点坐标是两函数解析式所组成的方程组的解求得即可．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：两一次函数的交点坐标是两函数解析式所组成的方程组的解．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加一个条件为：，理由如下：
四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，
故答案为：答案不唯一．
由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：根据题意，可知，，．
当时，
如图：

设，则有．
，，，
．
解得．
如图，

当时，
可知，所以．
故答案为或．
根据正方形的性质，分两种情况解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和勾股定理解答．
 

16.【答案】解：设每台型机器人每天分别搬运货物吨，每台型机器人每天分别搬运货物吨．

解得
设：种机器人采购台，种机器人采购台，总费用为．
．
解得：．

．
，
随着的减少而减少．
当有最小值，．
、两种机器人分别采购台，台时，所需费用最低，最低费用是万． 

【解析】题目中的等量关系是：每台型机器人比每台型机器人每天多搬运吨，台型机器人和台型机器人每天共搬运货物吨．
题目中的不等关系是：每天搬运的 不低于吨，等量关系是：总费用型机器费用型机器费用，极值问题来利用函数的递增情况解决．
考查了二元一次方程组的应用及一次函数应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．列出对应的方程组，极值问题来利用函数的递增情况解决
 

17.【答案】解：


；
，，
，，


． 

【解析】先算二次根式的乘法，绝对值，负整数指数幂，再算加减即可；
由题意可得，，把相应的值代入所求的式子运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：是．
理由：，，
，
以、、为边的三角形是一个直角三角形．
故答案为是．

设，则，
当为最大线段时，依题意，
即，解得；
当为最大线段时，依题意．
即，解得．
综上所述的长为或． 

【解析】本题考查勾股定理的逆定理，新定义，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．
根据勾股定理逆定理即可判断．
设，则，分两种情形当为最大线段时，依题意；当为最大线段时，依题意；分别列出方程即可解决问题．
 

19.【答案】解：延长交于点，
则，米，米，
设米，则米，
在中，
，
，
解得，
米，
答：的长度长为米． 

【解析】如答图，延长交于点，则，米，米，设米，则米，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：把代入得，，
，
一次函数的图象经过点与，
，解得，
一次函数的表达式为；
，
直线的解析式为，
，
． 

【解析】把代入即可得到的坐标，然后根据待定系数法求得即可；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
考查了两条直线相交或平行问题．一次函数与一元一次方程组之间的内在联系，数形结合是解题的关键．
 

21.【答案】  元  元 

【解析】解：本次共抽查学生：人，
故答案为：，
捐款元的学生有：人，
补全的条形统计图如右图所示；
由条形统计图可得，
捐款金额的众数是元，中位数是元，
故答案为：元，元；


元，
即估计八年级名学生共捐款元．
根据捐款元的人数和所占的百分比，可以计算出本次共抽查的学生人数，然后即可计算出捐款元的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据补充完整的条形统计图，可以写出捐款金额的众数和中位数；
根据条形统计图中的数据，可以得到八年级名学生共捐款多少元．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】     

【解析】解：当时，，则．
故答案为：．
函数图象如图所示．

进一步探究函数图象，发现：函数图象与轴有个交点，因此方程的解是有个．
故答案为：，．
当时，，则．
描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线．
根据函数图象即可得到结论．
本题主要考查函数图象和性质，函数图象上点的坐标特征，数形结合是解决本题关键．
 

23.【答案】 

【解析】证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；

解：结论：是的中点．
理由：四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
，
，
是的中点．

解：当时，四边形是正方形．
理由：，，
是等腰直角三角形，
为的中点，
，
，
四边形是正方形；
故答案为：．
证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论；
由边形是菱形，推出，再证明，推出，可得；
当是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是正方形．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．