2023-2024学年河南省驻马店市平舆县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河南省驻马店市平舆县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果 x⋅ x−3= x(x−3)，那么( )
A. x≥0B. x≥3C. 0≤x≤3D. x为任意实数
2.下列四个图形中，不能表示函数图象的是( )
A. B. C. D.
3.若一组数据3，x，4，5，6的众数是5，则这组数据的中位数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )
A. OE=OFB. DE=BF
C. ∠ADE=∠CBFD. ∠ABE=∠CDF
5.如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=−x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为( )
A. y=−x+2
B. y=x+2
C. y=x−2
D. y=−x−2
6.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数x−与方差s2：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7.如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△BCD的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DBC=( )
A. 45∘
B. 75∘
C. 120∘
D. 135∘
8.如图，函数y=2x+b和y=ax−a的图象交于点P(−2,−1)，则根据图象可得不等式2x+bA. x>−1B. x>−2C. x>−3D. x<−2
9.如图，在△ABC中，AB=BC=14，BD是AC边上的高，垂足为D，点F在边BC上，连接AF，E为AF的中点，连接DE，若DE=5，则BF的长为( )
A. 3
B. 6
C. 5
D. 4
10.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90∘，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为( )
A. 90B. 100C. 110D. 121
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，
化简 a2−|a−c|+ (c−b)2 −|−b|=______.
12.在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1、2、3，水平放置的4个正方形的面积是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=______.
13.如果直线y=−2x−1与直线y=3x+m相交于第三象限，则实数m的取值范围是______.
14.设S1=1+112+122，S2=1+122+132，S3=1+132+142，…，Sn=1+1n2+1(n+1)2.
设S= S1+ S2+⋯+ Sn，则S=______ (用含n的代数式表示，其中n为正整数).
15.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)化简:(π−1)0+(12)−1+|5− 27|−2 3.
(2)解不等式组2(x−1)+3<3xx−23+4>x.
17.(本小题9分)
有这样一类题目：将 a±2 b化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2=a且mn= b，则将a±2 b=m2+n2±2mn变成(m±n)2然后开方，从而化简 a±2 b.
例如：化简3−2 2.
解：3−2 2= ( 2)2−2 2+1= ( 2−1)2= 2−1.
仿照上例化简下列各式：
(1) 4+2 3；
(2) 9−4 5.
18.(本小题9分)
优优同学参加周末社会实践活动，到“富乐花乡”蔬菜大棚中收集到20株西红柿秧上小西红柿的个数：
51 36 44 46 40 53 37 47 45 46 32 39 45 55 60 54 60 28 56 41
(1)求后10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数、中位数和众数；
(2)若对这20个数按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图；
表
(3)通过频数分布直方图分析此大棚中西红柿的长势.
19.(本小题9分)
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90∘.D为AB边上一点．
求证：(1)△ACE≌△BCD；
(2)AD2+DB2=DE2.
20.(本小题9分)
已知x1=−3y1=2和x2=3y2=−1是一次函数y=kx+b的两组对应值.
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)画出这个函数的图象，并求出它与x轴、y轴的交点；
(3)求直线y=kx+b与两坐标轴围成的图形面积.
21.(本小题9分)
(1)如图1，在平面直角坐标系xOy中，四边形OACB是平行四边形，已知点A(3,0)，B(1,2)，如何求顶点C的坐标呢？下面是小明和小颖的求解思路：
小明：如图2，分别过点B，C向x轴作垂线，垂足为D和E.
在平行四边形OACB中，有OB=AC，OB//AC，则∠BOD=______①，又∠BDO=∠CEA=90∘，故△OBD≌△ACE(______②)，所以OD=AE=1，BD=CE=2……
小颖；在平行四边形OACB中，有OA//BC，且OA=BC.因为点O水平向右平移3个单位长度得到点A(3,0)，所以点B(1,2)水平向右平移3个单位长度得到点C，于是点C的坐标为______③.
请将①②③处的内容依次填在横线上：______，______，______.
(2)如图3，在平面直角坐标系xOy中，四边形OPRQ是平行四边形，已知点P(4,1)，Q(1,4)，求顶点R的坐标.
22.(本小题10分)
问题：探究函数y=|x|−2的图象与性质.
优优根据学习函数的经验，对函数y=|x|−2的图象与性质进行了探究，下面是优优的探究过程，请补充完整：
(1)在函数y=|x|−2中，自变量x的取值范围是______.
(2)表所示的是y与x的几组对应值.
表
①m=______；
②若A(n,2022)与B(2024,2022)为该函数图象上不同的两点，则n=______.
(3)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的大致图象，根据函数图象可知：该函数的最小值为______；该函数图象与 x轴围成的几何图形的面积是______.
(4)已知直线y1=12x−12与函数y=|x|−2的图象交于C，D两点，当y1≥y时，试确定x的取值范围.
23.(本小题10分)
在四边形ABCD中，E是边BC上一点，在AE的右侧作EF=AE，且∠AEF=∠ABC=α(a≥90∘)，连接CF.
(1)如图1，当四边形ABCD是正方形时，∠DCF=______.
(2)如图2，当四边形ABCD是菱形时，求∠DCF(用含α的式子表示).
(3)在(2)的条件下，且AB=6，a=120∘，如图3，连接AF交CD于点G.若G为边CD的三等分点，请直接写出BE的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵ x⋅ x−3= x(x−3)，
∴x≥0，x−3≥0，
解得：x≥3.
故选：B.
直接利用二次根式的乘除运算法则得出x的取值范围．
此题主要考查了二次根式的乘除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：根据函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，这时称y是x的函数．
选项C，对于一个x有两个y与之对应，故不是函数图象，
故选：C.
根据函数的图象可知对于x的每一个值y都有唯一的值与之相对应进行判定即可．
本题主要考查了函数的图象，以及函数的表示方法，解题的关键是函数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵一组数据3，x，4，5，6的众数是5，
∴x=5，
从小到大排列此数据为：3，4，5，5，6.
处在第3位的数是5.
所以这组数据的中位数是5.
故选：C.
先根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，求得x，再由中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而错误，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
4.【答案】B
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，
又∵OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形．
故A能判定是平行四边形．
B、DE=BF，OD=OB，缺少夹角相等．不能利用全等判断出OE=OF
∴DE=BF
∴四边形DEBF不一定是平行四边形．
C、在△ADE和△CBF中，
∵∠ADE=∠CBF，AD=BC，∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，
故C能判定是平行四边形；
D、同理△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，
故D能判定是平行四边形
故选：B.
【分析】
本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，根据条件逐一判定即可.
5.【答案】B
【解析】解：设一次函数的解析式y=kx+b(k≠0)，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=−x的图象交于点B，
在直线y=−x中，令x=−1，解得：y=1，则B的坐标是(−1,1).把A(0,2)，B(−1,1)的坐标代入
一次函数的解析式y=kx+b得：2=b1=−k+b，
解得b=2k=1，该一次函数的表达式为y=x+2.
故选：B.
首先设出一次函数的解析式y=kx+b(k≠0)，根据图象确定A和B的坐标，代入求出k和b的值即可．
本题要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数．
6.【答案】A
【解析】解：∵甲的方差是3.5，乙的方差是3.5，丙的方差是15.5，丁的方差是16.5，
∴S甲2=S乙2∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔，
∵甲的平均数是561，乙的平均数是560，
∴成绩好的应是甲，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；
故选：A.
根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可．
本题考查了方差和平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7.【答案】D
【解析】解：取格点F、G，连接AF、FC，设BD与AC交于点L，
∵AG=1，FD=1，GF=2，DC=2，∠AGF=90∘，∠FDC=90∘，
∴AG=FD，GF=DC，∠AGF=∠FDC，
在△AGF和△FDC中，
AG=FD∠AGF=∠FDCGF=DC，
∴△AGF≌△FDC(SAS)，
∴AF=FC，∠AFG=∠FCD，
∴∠AFC=∠AFG+∠DFC=∠FCD+∠DFC=90∘，
∴∠ACF=∠CAF=45∘，
∵DF//BC，DF=BC，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴BD//CF，
∴∠CLD=180∘−∠ACF=180∘−45∘=135∘，
∵∠CLD=∠ACB+∠DBC，
∴∠ACB+∠DBC=135∘，
故选：D.
取格点F、G，连接AF、FC，设BD与AC交于点L，可证明△AGF≌△FDC，得AF=FC，∠AFG=∠FCD，则∠AFC=∠AFG+∠DFC=∠FCD+∠DFC=90∘，所以∠ACF=∠CAF=45∘，因为BD//CF，所以∠CLD=180∘−∠ACF=135∘，而∠CLD=∠ACB+∠DBC，则∠ACB+∠DBC=135∘，于是得到问题的答案．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵函数y=2x+b和y=ax−a的图象交于点P(−2,−1)，
∴根据图象可得不等式2x+b故选：D.
根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
此题考查了一次函数与一元一次不等式和两条直线相交或平行问题，主要考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大．
9.【答案】D
【解析】解：∵BC=14，
∴FC=BC−BF=14−BF.
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AD=DC，
∵AE=EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE=12FC=5.
∴FC=10.
∴14−BF=10.
∴BF=4.
故选：D.
根据等腰三角形的“三线合一”得到AD=DC，根据三角形中位线定理计算得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．
延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出长方形KLMJ的长与宽，然后根据长方形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
∵∠CBF=90∘，
∴∠ABC+∠OBF=90∘，
在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90∘，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
∠BAC=∠BOF∠ACB=∠OBFBC=BF，
∴△OBF≌△ACB(AAS)，
∴OB=AC，
同理可得：△BOF≌△FLG，
∴AB=OF=3，AC=OB=FL=4，
∴OA=OL=3+4=7，
∵∠CAB=∠BOF=∠L=90∘，
所以四边形AOLP是正方形，OL=7，
所以KL=3+7=10，LM=4+7=11，
因此长方形KLMJ的面积为10×11=110.
故选：C.
11.【答案】−2a
【解析】解：由数轴可知，c则a−c>0，c−b<0，
∴ a2−|a−c|+ (c−b)2−|−b|=−a−a+c+b−c−b=−2a，
故答案为：−2a.
根据数轴得到a−c>0，c−b<0，根据绝对值，算术平方根，合并同类项得到答案．
本题考查的是实数与数轴，掌握算术平方根和去绝对值的方法是解题的关键．
12.【答案】4
【解析】解：如图，
∵四边形为正方形，
∴∠ABD=90∘，AB=DB，
∴∠ABC+∠DBE=90∘，
∵∠ABC+∠CAB=90∘，
∴∠CAB=∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
∠ACB=∠BED∠CAB=∠EBDAB=BD，
∴△ABC≌△BDE(AAS)，
∴AC=BE，
∵DE2+BE2=BD2，
∴ED2+AC2=BD2，
∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，
∴S1+S2=1，
同理可得S3+S4=3，
∴S1+S2+S3+S4=1+3=4.
故答案为：4.
先根据正方形的性质得到∠ABD=90∘，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有ED2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S3+S4=3，通过计算可得到S1+S2+S3+S4=1+3=4.
本题考查了全等三角形的判定与性质、也考查了勾股定理和正方形的性质，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积．
13.【答案】−1【解析】解：联立y=−2x−1y=3x+m，
解得x=−m+15y=2m−35，
∴交点坐标为(−m+15,2m−35)，
∵两直线相交于第三象限，
∴{−m+15<0①2m−35<0②，
解不等式①得，m>−1，
解不等式②得，m<32，
所以，不等式组的解集是−1即实数m的取值范围是：−1故答案为：−1联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第三象限列出不等式组求解即可．
本题考查了两直线相交的问题，点的坐标与解不等式组，求出用m表示的交点坐标并列出不等式组是解题的关键，也是本题的难点．
14.【答案】n2+2nn+1
【解析】解：∵Sn=1+1n2+1(n+1)2=n2(n+1)2+(n+1)2+n2n2(n+1)2=[n(n+1)]2+2n2+2n+1[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2[n(n+1)]2，
∴ Sn=n(n+1)+1n(n+1)=1+1n(n+1)=1+1n−1n+1，
∴S=1+1−12+1+12−13+…+1+1n−1n+1
=n+1−1n+1
=(n+1)2−1n+1=n2+2nn+1.
故答案为：n2+2nn+1.
由Sn=1+1n2+1(n+1)2=n2(n+1)2+(n+1)2+n2n2(n+1)2=[n(n+1)]2+2n2+2n+1[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2[n(n+1)]2，求 Sn，得出一般规律．
本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．
15.【答案】 5−12或1
【解析】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=1，BC=2，
∴AC= 12+22= 5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90∘，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90∘，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=1，
∴CB′= 5−1，
设BE=x，则EB′=x，CE=2−x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+( 5−1)2=(2−x)2，解得x= 5−12，
∴BE= 5−12；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=1.
故答案为： 5−12或1.
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC= 5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90∘，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90∘，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=1，可计算出CB′= 5−1，设BE=x，则EB′=x，CE=2−x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x.
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=1+2+3 3−5−2 3
= 3−2；
(2)由2(x−1)+3<3x得：x>1，
由x−23+4>x得：x<5，
则不等式组的解集为1【解析】(1)先计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值符号，再计算加减即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：(1) 4+2 3
= 12+2 3+( 3)2
= (1+ 3)2
=1+ 3；
(2) 9−4 5
= 5−4 5+4
= ( 5)2−2×2 5+22
= ( 5−2)2
= 5−2.
【解析】(1)把4+2 3化为( 3)2+2 3+12，然后利用完全平方公式进行解题即可；
(2)把9−4 5化为( 5)−2×2 5+22，然后利用完全平方公式进行解题即可．
本题考查二次根式的性质与化简、完全平方公式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
18.【答案】解：(1)前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是(32+39+45+55+60+54+60+28+56+41)÷10=47；
把这些数据从小到大排列：28、32、39、41、45、54、55、56、60、60，
则中位数是(45+54)÷2=49.5；
60出现了2次，出现的次数最多，则众数是60；
(2)根据题意填表如下：
补图如下：
(3)此大棚的西红柿长势普遍较好，最少都有28个；西红柿个数最集中的株数在第三组，共7株；西红柿的个数分布合理，中间多，两端少．
【解析】(1)根据平均数的计算公式进行计算求出平均数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案；
(2)根据所给出的数据分别得出各段的频数，从而补全统计图；
(3)根据频数分布直方图所给出的数据分别进行分析即可．
本题考查读频数分布直方图频数分布表、加权平均数、中位数和众数；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19.【答案】证明：(1)∵∠ACB=∠ECD=90∘，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，
即∠BCD=∠ACE.
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，DC=EC，
在△ACE与△BCD中
AC=BC∠ACE=∠BCDEC=DC
∴△ACE≌△BCD(SAS).
(2)∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45∘.
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45∘，AE=DB，
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45∘+45∘=90∘，
∴AD2+AE2=DE2.
∴AD2+DB2=DE2.
【解析】(1)本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90∘，则EC=DC，AC=BC，∠ECD=∠ACB，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠ACE=∠BCD，根据SAS得出△ACE≌△BCD.
(2)由(1)的论证结果得出∠DAE=90∘，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2.
本题考查三角形全等的判定方法，及勾股定理的运用，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)∵x1=−3y1=2和x2=3y2=−1是一次函数y=kx+b的两组对应值，
∴−3k+b=23k+b=−1，
解得：k=−12b=12，
∴这个一次函数的表达式为y=−12x+12；
(2)∵当y=0时，x=1.当x=0时，y=12，
∴与x轴交点坐标为(1,0)，与y轴交点坐标为B(0,12).
其图象如图所示；
∝
(3)∵直线与x轴交点坐标为(1,0)，与y轴交点坐标为B(0,12).
∴直线y=kx+b与两坐标轴围成的图形面积=12×1×12=14.
【解析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
(2)利用“两点确定一条直线”作出图形；
(3)利用三角形面积公式求解即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，先根据条件列出关于字母系数的方程组，解方程组求解即可得到函数解析式．
21.【答案】∠CAEAAS(4,2)∠CAEAAS(4,2)
【解析】解：(1)小明：如图2，分别过点B，C向x轴作垂线，垂足为D和E.
在平行四边形OACB中，有OB=AC，OB//AC，则∠BOD=∠CAE①，又∠BDO=∠CEA=90∘，故△OBD≌△ACE(AAS②)，所以OD=AE=1，BD=CE=2……
小颖；在平行四边形OACB中，有OA//BC，且OA=BC.因为点O水平向右平移3个单位长度得到点A(3,0)，所以点B(1,2)水平向右平移3个单位长度得到点C，于是点C的坐标为(4,2)③．
故答案为：∠CAE，AAS，(4,2)；
(2)∵四边形OPRQ是平行四边形，
∴OQ//PR，OQ=PR，
∵点O向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位得到点P(4,1)，所以点Q(1,2)向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位得到点R(5,5).
(1)小明：如图2，分别过点B，C向x轴作垂线，垂足为D和E.根据平行四边形的性质得到OB=AC，OB//AC，则∠BOD=∠CAE①，又∠BDO=∠CEA=90∘，根据全等三角形的判定定理得到△OBD≌△ACE(AAS②)，根据全等三角形的性质得到OD=AE=1，BD=CE=2……
小颖；根据平行四边形的性质得到OA//BC，且OA=BC.根据平移的性质即可得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到OQ//PR，OQ=PR，根据平移的性质即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
22.【答案】全体实数 2−2024−24
【解析】解：(1)函数y=|x|−2自变量x的取值范围是全体实数．
故答案为：全体实数．
(2)①把x=4代入y=|x|−2中，
即m=4−2=2.
故答案为：2.
②把y=2022代入y=|x|−2中，
即2022=|x|−2，
解得：x=−2024或2024，
由于A(n,2022)与B(2024,2022)为该函数图象上不同的两点，
则n=−2024.
故答案为：−2024.
(3)该函数的图象如图所示，
由图可知，该函数的最小值为−2，
该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是12×4×2=4.
故答案为：−2；4.
(4)在同一平面直角坐标系中画出函数y1=12x−12与函数y=|x|−2的图象如图所示，
由图象可知，当y1≥y时，即12x−12≥|x|−2时，x的取值范围为−1≤x≤3.
(1)根据题目中的函数解析式即可求得自变量的取值；
(2)①把x=4代入y=|x|−2中，即可求出答案；
②把y=2022代入y=|x|−2中，即可求出答案；
(3)画出函数图象即可得出答案；
(4)在同一平面直角坐标系中画出函数y1=12x−12与函数y=|x|−2的图象，数形结合即可得出答案．
本题主要考查两条直线相交或平行问题、一次函数的性质，数形结合思想是解题的关键．
23.【答案】45∘
【解析】解：(1)当四边形ABCD是正方形时，作FH⊥CG交BC的延长线于H，如图，
∵∠AEF=90∘，
∴∠AEB+∠FEH=90∘，
又∵∠BAE+∠AEB=90∘，
∴∠FEH=∠EAB，
又∵∠B=∠EHF，且AE=EF，
∴△ABE≌△EHF(AAS)，
∴BE=HF，BC=AB=EH，
∴EH−EC=BC−EC，
∴BE=CH，
∴CH=HF，
∴∠FCH=∠CFH=180∘−90∘2=45∘，
∴∠DCF=90∘−∠FCH=90∘−45∘=45∘；
(2)如图，在BC的延长线上取点G，使得∠FGE=∠ABC=α，
则∠FEG=∠AEC−∠AEF=∠ABC+∠BAE−∠AEF=∠BAE，
又∵EF=AE，
∴△EFG≌△AEB(AAS)，
∴FG=BE，EG=AB，
由EG=AB=BC，得BE=CG，
∴FG=CG，∠FCG=180∘−α2，
∴∠DCF=∠DCG−∠FCG=α−180∘−α2=32α−90∘；
(3)由(2)知∠DCF=32×120∘−90∘=90∘，
∵△ACF∽△ABE，
∴AFAC=ACAB=CFBE，
如图所示，连接AC，BD交于点O，
∵AB=BC，∠ABC=120∘，
则∠BAO=30∘，
∴BO=12AB，
∴AC=2AO=2× AB2−(12AB)2= 3AB，
∴CF= 3BE，
如图，作AH⊥CD于点H，则AH//CF，DH=3，AH=3 3，
∴△AHG∽△FCG，
得AHCF=HGCG，CF=AH⋅CGHG=3 3CG3+DG，
则BE=3CG3+DG，
当DG=2，CG=4时，BE=3×43+2=125；
当DG=4，CG=2时，BE=3×23+4=67，
综上所述，BE=125或67.
(1)作FH⊥CG交BC的延长线于H，证出△ABE≌△EHF，得到BE=HF，再根据正四边形的性质得到BC=AB=EH，从而计算出EH−EC=BC−EC，即BE=CH，故CH=HF，再根据∠CHF=90∘，求出∠FCG=45∘，从而可得出结论．
(2)如图，在BC的延长线上取点G，使得∠FGE=∠ABC=α，证明△EFG≌△AEB(AAS)，得出BE=CG，则FG=CG，∠FCG=180∘−α2，即可求解；
(3)作AH⊥CD于点H，则AH//CF，DH=3，AH=3 3，证明△AHG∽△FCG，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．甲
乙
丙
丁
平均数x−(cm)
561
560
561
560
方差s2(cm2)
3.5
3.5
15.5
16.5
个数分组
28≤x<36
36≤x<44
44≤x<52
52≤x<60
60≤x<68
频数
2
4
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
2
1
0
−1
−2
−1
0
1
m
…
个数分组
28≤x<36
36≤x<44
44≤x<52
52≤x<60
60≤x<68
频数
2
5
7
4
2