初中数学苏科版七年级上册第4章 一元一次方程综合与测试单元测试同步训练题

苏科版初中数学七年级上册第四单元《一元一次方程》单元测试卷

考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 小颖带元去买甜点，若全买红豆汤圆刚好可买杯，若全买豆花刚好可买杯已知豆花每杯比红豆汤圆便宜元，依题意可列方程式为

A.  B.  C.  D.

2. 已知是以为未知数的一元一次方程，如果，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列方程中是一元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法正确的个数是(    )

是一个整式     方程是关于的一元一次方程

是按的降幂排列的    单项式的系数是，次数是

一个有理数不是整数就是分数

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在长方形中，，，点是上的一点，且点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为(    )

A. 或 B. 或或 C. 或 D. 或或

6. 已知关于的方程的解满足，则的值是  (    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

7. 下列结论：若，且，则方程的解是若有唯一的解，则若，则关于的方程的解为；若，且，则一定是方程的解；其中结论正确个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 在九章算术方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“”代表按规律不断求和，设则有，解得，故类似地的结果为．(    )

A.  B.  C.  D.

9. 佳佳超市推出如下优惠方案：一次性购物不超过元不享受优惠；一次性购物超过元但不超过元一律九折；一次性购物超过元一律八折．吴明两次购物分别付款元、元，如果吴明一次性购买与上两次相同的商品，则应付款(    )

A. 元 B. 元
C. 元或元 D. 元或是元

10. 将正整数至按一定规律排列如表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 九章算术中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发日，甲乙相逢，可列方程(    )

A.  B.  C.  D.

12. 正方形的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在处，乙在处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，已知正方形轨道的边长为，则乙在第次追上甲时的位置(    )

A. 上 B. 上 C. 上 D. 上

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若关于的方程是一个一元一次方程，则等于_______．
14. 如图，在长方形中，，，为上一点，且，动点从点出发，以每秒的速度沿点运动，最终到达点若点运动的时间为，则当          时，三角形的面积为．
15. 若关于的方程，无论为任何数时，它的解总是，那么           ．
16. 如图，航空母舰始终以千米时的速度由西向东航行，飞机以千米时的速度从舰上起飞，向西航行执行任务，如果飞机在空中最多能连续飞行个小时，那么它在起飞______小时后就必须返航，才能安全停在舰上？

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知方程是关于的一元一次方程，求的值并求该方程的解．
18. 已知是关于的一元一次方程
    求的值
    若，求的值
19. 已知是关于的一元一次方程．
    求的值；
    若，求出的值；
    若数满足，试化简：．
20. 根据下列题干设未知数建立方程模型，并判断它是不是一元一次方程．
    从的木条上截去段同样长的木棒，还剩下长的短木条，截下的每段长为多少？
    小红对小敏说：“我是月份出生的，我的年龄的倍加上天，正好是我出生的那个月的总天数，你猜我有几岁？”
    小明步行的速度是千米时，有一天他从家去学校，走了全程的后，改乘速度为千米时的公共汽车到校，结果比全部步行的时间快了分钟，小明家离学校多远？
21. 我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
    请根据上述规定解答下列问题：
    已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值；

已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值．

22. 定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程例如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程请根据上述定义解答下列问题：
    方程是妙解方程吗？试说明理由．
    已知关于的一元一次方程是妙解方程求的值．
    已知关于的一元一次方程是妙解方程，并且它的解是求代数式的值．
23. 一家商场将某种商品按成本价提高后标价出售，元旦期间，为答谢新老顾客对商场的光顾，打八折销售，每件商品仍可获利元．请问这件商品的成本价是多少元？
24. 如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
    
    数轴上点表示的数是_______点表示的数是___________用含的代数式表示
    动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、时出发，求：
    当点运动多少秒时，点与点相遇
    当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度
25. 某数学兴趣小组研究我国古代算法统宗里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就空出一间房．
    求该店有客房多少间？房客多少人？
    假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上含间，房费按折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？请写出你作出这种决策的理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解此类题的关键是找出题中存在的等量关系．首先要找到题中存在的等量关系：豆花价钱红豆汤圆根据等量关系列方程即可．
【解答】
解：由题意知红豆汤圆每杯元，豆花每杯元，
又因豆花每杯比红豆汤圆便宜元， 
即，
．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：一元一次方程则系数为，且系数
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
原式．
故选：．
根据一元一次方程的定义，则系数为，且系数，得出；由，得，，
．
本题主要考查了如何去绝对值以及一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是根据一元一次方程的定义求的值．去绝对值时注意、与的关系．
 

3.【答案】 

【解析】解：、的次数是，不是一元一次方程，选项错误；
B、是一元一次方程，选项正确；
C、含有个未知数，不是一元一次方程，选项错误；
D、不是整式方程，则不是一元一次方程，选项错误．
故选B．
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的方程叫一元一次方程，据此即可判断．
本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是，一次项系数不是，这是这类题目考查的重点．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查整式的概念，一元一次方程的概念，多项式，单项式的有关知识，以及有理数的分类，掌握各个概念是解题关键根据整式的概念，一元一次方程的概念，有理数的分类，以及多项式的排列，单项式系数和次数的概念分析即可．
【解答】
解：是常数，所以是整式，故正确；
方程变形可得，是关于的一元一次方程，正确；
不是按的降幂排列的故错误；
单项式的系数是，次数是，故错误；
一个有理数不是整数就是分数，正确，
正确的有个．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形的面积计算，一元一次方程的解法，属于中档题．
分点在上、点在上、点在上三种情况，根据三角形的面积公式计算．
【解答】
解：在长方形中，，，
，
，，
当点在上时，，即
，
解得，，
则秒
当点在上时，如下图，

，
解得，，
则秒；
当点在上时，如下图：

，
解得，，
则
点在上时，的面积不等于，
的面积等于时，点运动的时间秒或秒．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元一次方程的解的相关知识．
先解出方程的解，然后将其代入方程，将未知数转化成已知数，继而求出．
【解答】
解：，
或，
把或分别代入中，
或，
故选A．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键，根据方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，即可判断．
【解答】
解：当时，代入方程即可得到，成立，故命题正确；
，去括号得：，即，方程有唯一的解，则，故命题正确；
方程，移项得：，则，，，则，故命题错误；
把代入方程，得到，则一定是方程的解，故命题正确．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：设，
则，
，
解得，
故选B．
设，知，据此可得，再进一步求解可得．
本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查一元一次方程的应用问题，运用了分类讨论思想，解题关键是第二次购物的元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过，即是元．第二次就有两种情况，一种是超过元但不超过元一律折；一种是购物超过元一律折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数求解即可．
【解答】
解：第一次购物显然没有超过，
即在第二次消费元的情况下，他的实质购物价值只能是元．
第二次购物消费元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同折扣率不同：
第一种情况：他消费超过元但不足元，这时候他是按照折付款的．
设第二次实质购物价值为，那么依题意有，解得：．
第二种情况：他消费超过元，这时候他是按照折付款的．
设第二次实质购物价值为，那么依题意有，解得：．
即在第二次消费元的情况下，他的实际购物价值可能是元或元．
综上所述，他两次购物的实质价值为或，均超过了元．因此均可以按照折付款：
元，
元，
故选C．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设中间数为，则另外两个数分别为、，进而可得出三个数之和为，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出的值，由为整数、不能为第一列及第七列数，即可确定值，此题得解．
【解答】
解：设中间数为，则另外两个数分别为、，
三个数之和为．
根据题意得：、、、，
解得：，舍去，，．
，
不合题意，舍去；
，
不合题意，舍去；
，
三个数之和为．
故选D．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程所占百分比是解题关键．根据题意设甲乙经过日相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式．
【解答】
解：设甲乙经过日相逢，可列方程：
．
故选C．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查数式规律问题，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的变化规律．根据题意可以得到前几次相遇的地点，从而可以发现其中的规律，进而求得第次相遇的地点，本题得以解决．
【解答】
解：设乙走秒第一次追上甲．
根据题意，得，
解得．
乙走秒第一次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
设乙再走秒第二次追上甲．
根据题意，得，解得．
乙再走秒第二次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
同理，乙再走秒第三次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
乙再走秒第四次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
乙在第次追上甲时的位置又回到上；
 ， 
每四次一个循环，
 ，
 乙在第次追上甲时的位置在上， 
故选B．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
根据一元一次方程的定义得到关于的方程和不等式，求得的值即可．
【分析】
解：根据一元一次方程的定义：，解得．
又因为一元一次方程的系数不为，即，所以．
故答案是．  

14.【答案】或 

【解析】略
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念．
将代入原方程即可求出答案．
【解答】
解：将代入得，
，
，
由题意可知：无论为任何数时恒成立，
，
，，
，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：设他在起飞小时后就必须返航，根据题意可得：

解得：，
即它在起飞小时后就必须返航，才能安全停在舰上．
故答案为：．
利用往返路程相等进而得出等式求出即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意表示出往返路程是解题关键．
 

17.【答案】解：方程是关于的一元一次方程，
且．
．
将代入得：．
解得：． 

【解析】由一元一次方程的定义可知且，从而可求得的值，然后将的值代入求解即可．
本题主要考查的是一元一次方程的定义和一元一次方程的解法，根据一元一次方程的定义求得的值是解题的关键．
 

18.【答案】解：根据题意，得，且
由，
得，
由，
得，
所以的值为；
由，，得，即或，
解得或，
因此的值为或． 

【解析】本题考查了一元一次方程的定义，解绝对值方程，熟练掌握元一次方程的定义及绝对值的定义是解答本题的关键．
根据一元一次方程的定义，由的指数等于，系数不等于解答即可；
把的值代入，根据绝对值的意义求解即可．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
；
，
即，
或，
或；
，即，
，
，，


． 

【解析】根据一元一次方程的意义和未知数系数不等于求解；
根据绝对值意义转化为两个方程求解；
确定的范围，去绝对值合并．
本题考查一元一次方程意义和绝对值意义．确定绝对值内代数式符号是解答关键．
 

20.【答案】解：设截下的每段长为 ，由题意得：
，
是一元一次方程；

设小红的岁数为，由题意得：
，
是一元一次方程；

设小明家离学校千米，由题意得：
，
是一元一次方程． 

【解析】设截下的每段长为 ，根据题意可得等量关系：截去段的木棒长，根据等量关系列出方程，再判断是否是一元一次方程；
设小红的岁数为，由题意等量关系：我的年龄，根据等量关系列出方程，再判断是否是一元一次方程；
设小明家离学校千米，由题意的等量关系：步行时间乘车时间全程步行所用时间分钟，根据等量关系列出方程，再判断是否是一元一次方程；
此题主要考查了由实际问题抽象出方程，以及一元一次方程定义，关键是正确列出方程，掌握只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的方程叫一元一次方程．
 

21.【答案】解：方程是和解方程，
 是方程的解，
 ，
解得：．
关于的一元一次方程是“和解方程，并且它的解是，
，且，解得，． 

【解析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于、的方程．
根据和解方程的定义即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
根据和解方程的定义即可得出关于、的方程，解之即可得出、的值．
 

22.【答案】解：方程中，一次项系数与常数项的差为：，
方程的解为，
，
方程不是妙解方程；
是妙解方程，
它的解是，
，
解得：；
是妙解方程，
它的解是，
，
解得：，
代入方程得：，得．
． 

【解析】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
根据题中的新定义判断即可；
利用题中的新定义确定出的值即可；
根据题中的新定义确定出与的值，即可求出所求．
 

23.【答案】解：设这件商品的成本价是元，由题意得：
，
解得：．
答：这件商品的成本价是元． 

【解析】首先设这件商品的成本价是元，根据题意可得等量关系：成本打折成本利润，根据等量关系代入相应数据可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
 

24.【答案】；；  

由题意，点表示的数为，
点运动秒时追上点，
根据题意得，
解得，
答：当点运动秒时，点与点相遇；
设点运动秒时，点与点间的距离为个单位长度，
当、相遇前，则，解得；
当、相遇后，则，解得；
答：当点运动或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 

【解析】

【试题解析】

【分析】
由已知得数轴上点表示的数为，，从而写出数轴上点所表示的数；动点从点出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点所表示的数是；
点表示的数为，点运动秒时追上点，则，然后解方程得到；
设点运动秒时，点与点间的距离为个单位长度，分两种情况：当、相遇前，则；当、相遇后，则；由此求得答案解即可．
此题考查的知识点是一元一次方程的应用及数轴，注意分类讨论．
【解答】
解：
数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧，，
，数轴上点所表示的数为；
点运动秒的长度为，
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
所表示的数为：；
故答案为；； 
见答案

25.【答案】解：设客房有间，则根据题意可得：
，
解得；
即客人有人；
答：客人有人．

如果每人一个房间，需要，需要间客房，总费用为钱，
如果定间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用钱钱，
所以他们再次入住定间房时更合算．
答：他们再次入住定间房时更合算． 

【解析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可；
根据已知条件分别列出两种住房方法所用的钱数，进而比较即可．
本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解题方法是解题的关键．