初中数学苏科版七年级上册第4章 一元一次方程综合与测试知识点教案

【要点梳理】

数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：

1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。

2．点在数轴上表示，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

【典例精讲】

1．（2020·全国初一课时练习）如图，已知数轴上有三点，，，，，点对应的数是40．动点，同时从点，出发向右运动，同时动点从点出发向左运动，已知点的速度是点的速度的3倍，点的速度是点速度的2倍少4个单位长度/秒，经过5秒，点，之间的距离与点，之间的距离相等，动点的速度为______个单位长度/秒．

【答案】4或36

2.（2019秋•江汉区期中）如图在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是3，点B在原点的左侧，且AB＝6AO（我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作AB）．（1）B点表示的数是　   　；（2）若动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后PA＝3PB？并求出此时P点在数轴上对应的数；（3）若动点M、P、N分别同时从A、O、B出发，匀速向右运动，其速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒、4个单位长度/秒，设运动时间为t秒，请直接写出PM、PN、MN中任意两个相等时的时间．

【分析】（1）由OA＝3，得出AB＝6AO＝18，OB＝AB﹣OA＝15，即可得出结果；

（2）设经过x秒钟后PA＝3PB，则PA＝2x+3，PB＝AB﹣PA＝15﹣2x，由题意得2x+3＝3（15﹣2x），解得x＝，则PO＝2×＝；

（3）设运动时间为t秒时，PM＝PN，则15﹣t+2t＝4t+3﹣2t，解得t＝12．

3.（2019•江岸区校级月考）已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0

（1）直接写出a、b的值；（2）P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，当PA＝3PB时，求P运动的时间和P表示的数；（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点B出发．以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动当PQ＝10时，求P点对应的数．

【答案】（1）a=4,b=16 (2)时间为2秒，P点对应的数。（3）7或

4.(2019•雨花区校级月考）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+8|+（b﹣6）2＝0．（1）A，B两点对应的数分别为a＝　   　b＝　   　（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合．则原点O与数　   　表示的点重合：（3）若点A，B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向面行，则几秒后A，B两点相距2个单位长度？（4）若点A，B以（3）中的速度同时向右运动，同时点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB﹣OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值：若不变．请求出这个定值．

【答案】解：（1）∵|a+8|+（b﹣6）2＝0，∴|a+8|＝0，（b﹣6）2＝0，

即a＝﹣8，b＝6．故答案为：﹣8，6；

（2）∵|AB|＝6﹣（﹣8）＝14，＝7，∴点A、点B距离折叠点都是7个单位

∴原点O与数﹣2表示的点重合．故答案为：﹣2．

（3）法一：分两种情况讨论：设x秒后A，B两点相距2个单位长度．

①A，B两点相遇前相距2个单位长度，则4x+2x＝6﹣（﹣8）﹣2解得：x＝2

②A，B两点相遇后相距2个单位长度，则4x+2x＝6﹣（﹣8）+2解得：x＝

答：经过2秒或秒后，A，B两点相距2个单位长度．

法二：设x秒后A，B两点相距2个单位长度．

此时点A对应的数为﹣8+4x，点B对应的数为6﹣2x，则：|（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）|＝2即：（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）＝2或（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）＝﹣2；

解得：x＝或x＝2答：经过2秒或秒后，A，B两点相距2个单位长度．

（4）在运动过程中，AP+2OB﹣OP的值不会发生变化．

由题意可知：t秒后，点A对应的数为﹣8+4t，点B对应的数为6+2t，点P对应的数7t，则：AP＝7t﹣（﹣8+4t）＝3t+8，OB＝6+2t，OP＝7t，

所以AP+2OB﹣OP＝（3t+8）+2（6+2t）﹣7t＝3t+8+12+4t﹣7t＝20．

5.（2020•永新县期末）【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点．

【特例感知】（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点．

①【B，A】的幸运点表示的数是　   　；

A．﹣1； B.0； C.1； D.2

②试说明A是【C，E】的幸运点．

（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则【M，N】的幸运点表示的数为　   　．

【拓展应用】（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？

【答案】解：（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍，即EA＝1，EB＝3，故选B．

②由数轴可知，AC＝3，AE＝1，∴AC＝3AE，∴A是【C，E】的幸运点．

（2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，∴PM＝3PN，∴|p+2|＝3|p﹣4|，

∴p+2＝3（p﹣4）或p+2＝﹣3（p﹣4），∴p＝7或p＝2.5；故答案为7或2.5；

（3）由题意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，

①当P是【A，B】的幸运点时，PA＝3PB，∴60﹣3t＝3×3t，∴t＝5；

②当P是【B，A】的幸运点时，PB＝3PA，∴3t＝3×（60﹣3t），∴t＝15；

③当A是【B，P】的幸运点时，AB＝3PA，∴60＝3（60﹣3t）∴t＝；

④当B是【A，P】的幸运点时，AB＝3PB，∴60＝3×3t，∴t＝；

∴t为5秒，15秒，秒，秒时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点．

6．（2020·全国初一课时练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点表示-12，点表示10，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位．动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．则：

（1）动点从点运动至点需要时间多少秒？

（2）若，两点在点处相遇，则点在折线数轴上所表示的数是多少？

（3）求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．

【答案】（1）21；（2）6；（3）当时，．

【课后巩固】

1、（2020七上·京口月考）如图，有一根木棒 放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B.将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5（单位： ），则木棒 长为________ . 

【答案】 5  

2、（2021七上·昆山期末）己知数轴上有 两点，点 表示的数为-8，且 ，   

（1）点 表示的数为________；   

（2）如图1，若点 在点 的右侧，点 以每秒4个单位的速度从点 出发向右匀速运动．

①若点 同时以每秒2个单位的速度从点 出发向左匀速运动，经过多少秒后，点 与点 相距 个单位．

②若点 同时以每秒2个单位的速度从点 出发向右匀速运动，经过多少秒后，在点 三点中，其中有一点是另外两个点连接所成线段的中点．

【答案】 （1）12或-28
（2）解：∵点 在点 的右侧，

∴点B所表示的数为12

①设经过t秒后，点 与点 相距 个单位

∵点 以每秒 个单位的速度从点 出发向右匀速运动，点 同时以每秒2个单位的速度从点 出发向左匀速运动

∴t秒后，点P在数轴上所对应的数为-8+4t，点Q在数轴上所表示的数为12-2t

∴ ，解得 或

∴经过 秒或 秒后，点 与点 相距1个单位；

②∵点 同时以每秒2个单位的速度从点 出发向右匀速运动

∴点Q在数轴上所表示的数为12+2t

当点P是线段BQ的中点时， ，解得：t=

当点B是线段PQ的中点时， ，解得：t=

当点Q是线段BP的中点时， ，方程无解

综上，经过 秒或 秒后，点 三点中，其中有一点是另外两个点连接所成线段的中点．

3、（2021七上·江阴期末）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，A、B两点之间的距离是90米，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发到终点C，乙机器人始终以50米分的速度行走，乙行走9分钟到达C点.设两机器人出发时间为t（分钟），当t＝3分钟时，甲追上乙. 

请解答下面问题：

（1）B、C两点之间的距离是________米.   

（2）求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分？   

（3）若前4分钟甲机器人的速度保持不变，在4≤t≤6分钟时，甲的速度变为与乙相同，求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米？   

（4）若6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，直接写出当t＞6时，甲、乙两机器人之间的距离S.（用含t的代数式表示）.   

【答案】 （1）450
（2）解：设甲机器人前3分钟的速度为a米/分， 

3a＝90+3×50，

解得，a＝80，

答：机器人前3分钟的速度为80米/分
（3）解：∵前4分钟甲机器人的速度保持不变，在4≤t≤6分钟时，甲的速度变为与乙相同， 

∴前4分钟甲机器人的速度为80米/分，在4≤t≤6分钟时，甲的速度为50米/分，

设甲乙相遇前相距28米时出发的时间为b分钟，

80b+28＝90+50b，

解得，b＝ ，

设甲乙相遇后相距28米时出发的时间为c分钟，

80c﹣28＝90+50c，

解得，c＝ ，

答：两机器人前6分钟内出发 分或 分时相距28米

（4）解：∵6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度， 

∴6分钟后甲机器人的速度是80米/分，

当t＝6时，甲乙两机器人的距离为：[80×4+50×（6﹣2）]﹣（90+50×6）＝60（米），

当甲到达终点C时，t＝{（90+450）﹣[80×4+50×（6﹣2）]}÷80+6＝7.5（分），

当乙到达终点C时，t＝450÷50＝9（分），

∴当6＜t≤7.5时，S＝60+（80﹣50）×（t﹣6）＝30t﹣120，

当7.5＜t≤9时，S＝450﹣50×7.5﹣50（t﹣7.5）＝﹣50t+450，

由上可得，当t＞6时，甲、乙两机器人之间的距离S＝

4、（2020七上·扬州期末）数轴上A、B两点对应的数分别是﹣4、12，线段CE在数轴上运动，点C在点E的左边，且CE＝8，点F是AE的中点．
 

（1）如图1，当线段CE运动到点C、E均在A、B之间时，若CF＝1，则AB＝________，AC＝________，BE＝________；

（2）当线段CE运动到点A在C、E之间时,

①设AF长为 x，用含 x 的代数式表示BE的值（结果需化简）；

②求BE与CF的数量关系；

（3）当点C运动到数轴上表示数﹣14的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B后，立即以原来一半速度返回，同时点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设它们运动的时间为t秒（t≤8），求t为何值时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．   

【答案】 （1）16；6；2
（2）解：∵点F是AE的中点，∴AF=EF，设AF=EF=x,∴CF=8﹣x，∴BE=16﹣2x=2（8﹣x），∴BE=2CF.

故答案为① 16-2x， ② BE=2CF.
（3）解：①当0＜t≤6时，P对应数：-6+3t，Q对应数-4+2t，，解得：t=1或3；

②当6＜t≤8时，P对应数   ，  Q对应数-4+2t，

，

解得： 或 ；

故答案为t=1或3或 或