数学必修 第一册3.2 函数的基本性质达标测试

3.2.2  函数的奇偶性

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

1.已知是定义在上的偶函数，那么的值是(　　)

 ． ． ．

答案

解析 依题意得：，，

又 ，，．故选：．

2.下列说法正确的是(　　)

A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数

B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称

C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数

D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数

答案

解析 奇偶函数的定义域一定关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶

性，如．由此可判断项错误，项正确．奇函数若在原点处有定义，

则，反之不一定成立，如，因此项错误．故选．

3.函数的图象关于(　　)

．原点对称       ．轴对称       ．轴对称        ．直线对称

答案

解析 根据题意，，有，

则有，其图象关于原点对称，故选：．

4.如果奇函数在区间上是减函数，且最小值为，那么在区间上是(　　)

减函数且最大值为 增函数且最大值为6 

减函数且最小值为 增函数且最小值为6

答案

解析 当时，

，即．从而，

又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，

故在是减函数．

故选：．

5.若偶函数在上是减函数，则    (　　)

． ． 

． ．

答案

解析 根据题意，为偶函数，则，

又由函数在上是减函数，

则，即，故选：.

二、多选题

6. 已知函数是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x，则（　　）

A. 的最小值为                   B. 在上单调递减

C. 的解集为             D. 存在实数满足

答案

解析 函数是定义在上的偶函数，当时，，
可得，可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故正确；
在递减，在递增，故错误；
由或，
解得：，或，故正确；
由，即存在实数满足，故正确．
故选：．

三、填空题

7.已知函数，，则       .

答案  

解析 是奇函数 

．

8. 若函数的图象关于轴对称，则常数      .

答案

解析 可知函数为偶函数，则，

即，解得，将代入解析式验证，符合题意．

9.设是奇函数，且当时，，则当时，等于      .

答案 

解析 当时，，代入函数在上的解析式，即得，

是奇函数，.

四、解答题

10.已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．

答案 ，

解析 以代替条件等式中的，则有，

又，分别是上的奇函数和偶函数，

故．

又，

联立可得，．

11.已知函数是定义域为上的奇函数，且．

(1)用定义证明：函数在上是增函数；

(2)若实数满足，求实数的范围．

答案 (1)略   (2)

解析 (1)函数是定义域为上的奇函数，

，，

任取，且，

，

，，

，，，，

函数在上是增函数．

(2)，，

函数是定义域为上的奇函数，且．，

函数在上是增函数，，解得．

故实数的范围是．  

培优第二阶——拓展培优练

一、单选题

1.若函数是奇函数，则   (    )

A．函数是奇函数            B．函数是奇函数

C．函数是奇函数         D．函数是奇函数

答案

2.已知奇函数在减函数，且，则不等式的解集为(　　)

答案

解析 由题意画出的草图如下，

因为，所以与同号，

由图象可得或，

解得或，

故选：．

3. 已知函数满足：①；②在上为增函数，若，且，则的大小关系是(     )

A. B．  C．   D．无法确定

答案

解析 是偶函数，所以即

由得，在上为增函数，

所以.

4.已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是(　　)

答案 

解析  为奇函数，且在上是增函数，，

，在内是增函数

则 或

根据在和内是都是增函数，解得

故选：．

5.若函数的图象关于直线对称，则的最大值是(　　)

  或 a．不存在

答案

解析 由函数的图象关于直线对称，知是偶函数，

，即，

整理得总成立，得，

，

令，则，

当时，有最大值，即的最大值是．

故选：．

二、多选题

6. 若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是（　　）

A. 函数图象关于点对称         B. 函数的周期为1

C.                         D.

答案 

解析 因为是奇函数，
所以，即，
所以，是偶函数，
因为是奇函数，所以函数图像关于点对称，所以函数图像关于点对称，因此选项正确，
，
所以是周期函数，最小正周期为，故选项错误
因此，故选项正确，不一定为，故选项错误，
故选：．

三、填空题

7.函数的图象关于         对称．

答案 原点

解析 要使函数有意义，则，即，

解得或，则定义域关于原点对称．

此时，则函数，

，

函数是奇函数，图象关于原点对称.

8.已知函数为偶函数，当时，，且为奇函数，则       .

答案

解析 函数为偶函数，．

又为奇函数，图象关于点对称，

函数的图象关于点对称，

，，

函数的周期，

.

9.已知函数，则不等式的解集为         .

答案

解析 函数为奇函数，且函数为增函数，

则不等式等价为，

则，得，得，

即不等式的解集为.

四、解答题

10.若函数的定义域是，且对任意，都有成立．试判断的奇偶性．

答案  奇函数

解析 在中，

令，得，.

再令，则，即，

，故为奇函数．

11.已知定义在奇函数．

(1)求的值；   (2)判断并证明在上的单调性；  (3)求该函数的值域．

答案 (1)  (2) 在上是增函数   (3)

解析 (1)因为是上的奇函数，所以，

即，解得；

(2)由(1)知，设，且，

则

因为是上的增函数，且，所以，

又，

所以，即，

所以在上是增函数；

(3) ，

由，得，所以，

所以，即，

所以函数的值域为．

培优第三阶——高考沙场点兵

1.(2021•乙卷)设函数，则下列函数中为奇函数的是(     )

A． B． C． D．

答案 

解析 因为，

所以函数的对称中心为，

所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，

得到函数，该函数的对称中心为，

故函数为奇函数．

故选：．

2.(2021•甲卷)设是定义域为的奇函数，且．若，则　　(     )

A． B． C． D．

答案 

解析 由题意得，

又，所以，

又，则．

故选：．

3.(2022•雨花区校级模拟)函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则(     )

A．是奇函数 B．是偶函数 

C． D．

答案 

解析 由奇函数条件得，

由偶函数条件得，

，

则，即周期为；

另一方面，即是偶函数．

故选：．

4.(2018•新课标Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足，若，则　(     )

A． B． C． D．

答案 

解析 是奇函数，且，

，，

则，则，

即函数是周期为的周期函数，

，

，，

，

则，

则

，

故选：．

5.(2022•海口模拟)已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于直线对称，若，则　(     )

A． B． C． D．

答案 

解析 因为的图象关于对称，

则是偶函数，

，且，

所以，对任意的恒成立，

所以，

因为且为奇函数，

所以，

因此，．

故选：．

6.(2021•新高考Ⅰ)已知函数是偶函数，则　　．

答案 

解析 函数是偶函数，为上的奇函数，

故也为上的奇函数，

所以，所以．

法二：因为函数是偶函数，

所以，

即，

即，

即，所以．

故答案为：．