初中数学第2章 特殊三角形综合与测试单元测试课时训练

这是一份初中数学第2章 特殊三角形综合与测试单元测试课时训练，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙教版初中数学八年级上册第二章《特殊三角形》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，∠AOB=60°，点P到OA的距离是2，到OB的距离是3，M，N分别是OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是(    )
A. 219
B. 313
C. 9
D. 53
2. 根据下面的图形，请你判断被遮挡的三角形是三角形。(    )

A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 无法判断
3. 已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画条．(    )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 如图，在第1个△A1BC中，∠B=40°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E.得到第3个△A2A3D…按此做法继续下去，则第n+1个三角形中以An+1为顶点的内角度数是(    )

A. (12)n⋅70° B. (12)n−1⋅70° C. (12)n−1⋅80° D. (12)n⋅80°
5. 如图，在锐角三角形ABC中AB=52，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是(    )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 10
6. 定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是(    )
A. 有两个底角相等的三角形是等腰三角形．
B. 有两个角相等的三角形是等腰三角形．
C. 有两个角不相等的三角形不是等腰三角形．
D. 不是等腰三角形的两个角不相等．
7. 下列命题：①若|a|>|b|，则a>b；②直角三角形的两个锐角互余：③如果a=0，那么ab=0；④4个角都是直角的四边形是正方形.其中，原命题和逆命题均为真命题的有(    )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为BC边上一点，CD=1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为  

A. 1 B. 2 C. 3 D. 3
9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点P在线段DB上，点M是边AC的中点，连接MP，作∠MPQ=90°，点Q在边BC上，若AC=6，BC=8，则(    )

A. 当CQ=4时，点P与点D重合 B. 当CQ=4时，∠MPA=30°
C. 当PD=75时，CQ=4 D. 当PM=PQ时，CQ=4
10. 如图，已知AD//BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为(    )
A. 32 B. 322 C. 32或322 D. 322或355
11. 如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是(    )
A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 互补或相等
12. 如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG.现有如下4个结论：①AG=GF；②AG与EC一定不相等；③∠GDE=45°；④△BGE的周长是一个定值．其中正确的个数为 (    )
A.  1 B.  2 C.  3 D.  4
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=8，M、N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为8，则∠AOB=______．


14. 在△ABC中，AB=AC=10，AD是△ABC的角平分线，E在AB的垂直平分线上，AE：EC=3：2，F为AD上的动点，则EF+CF的最小值为______．
15. 以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是          
16. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB的中点，将AM沿CM所在的直线翻折，点A落在点A′处，A′M⊥AB，且交BC于点D，A′D：DM的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，已知A(2,3)、B(1,1)、C(4,1)是平面直角坐标系中的三点．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2；
(3)若△ABC中有一点P坐标为(x,y)，请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标．

18. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°.在△ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD．
(1)依据题意补全图形；
(2)当∠PAC等于多少度时，AD//BC？请说明理由；
(3)若BD交直线AP于点E，连接CE，求∠CED的度数；
(4)探索：线段CE，AE和BE之间的数量关系，并说明理由．

19. 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=90°，∠C=2∠B
求：(1)∠B的度数；     
(2)∠DAE的度数．

20. 如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从过点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段AC上运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒(0|b|，错误，为假命题；
②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；逆命题为两个锐角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题；
③如果a=0，那么ab=0，正确，为真命题；其逆命题为若ab=0，那么a=0，错误，为假命题；
④4个角都是直角的四边形是正方形，错误，是假命题，其逆命题为正方形的四个角都是直角，为真命题．
原命题和逆命题均是真命题的有1个，
故选：B．  
8.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，涉及勾股定理，属于难题．
解：如图所示：以CD为边向右作等边三角形CDG，连接FG，过点B作BK⊥FG，过点C作CH⊥FG，过点C作CN⊥BK，垂足分别为K，H，N，CN交DG于点M，通过证明△DCE≌△DGF，得出∠DCE=∠DGF=90°，可得MG//BK//CH，点F在直线KG上运动，通过得出NK和BN得出BF的最小值
【解答】
解：如图所示：以CD为边向右作等边三角形CDG，连接FG，过点B作BK⊥FG，过点C作CH⊥FG，过点C作CN⊥BK，垂足分别为K，H，N，CN交DG于点M，
∴∠CHK=∠HKN=∠KNC=90°，
∴四边形CHKN为长方形，
∴CH=NK．

∵△CDG和△DEF是等边三角形，
∴∠CDG=∠EDF=60°，CD=GD，DE=DF，
∴∠CDG+∠EDG=∠EDF+∠EDG或∠CDG−∠EDG=∠EDF−∠EDG，即∠CDE=∠GDF，
∴△DCE≌△DGF，
∴∠DCE=∠DGF=90°，
∴MG//BK//CH，
∴点F在直线KG上运动，
在Rt△GCH中，
∵CG=CD=GD=1，∠CGH=30°，
∴CH=12CG=12，
∴CH=NK=0.5，
又∵∠CGH=∠MCG=30°，
∴∠BCN=30°，
∴BN=12BC=1.5，
则BK=NK+BN=1.5+0.5=2，
根据垂线段最短可知，当点F与K重合时，BF的值最小且为2，
故选B．  
9.【答案】C 
【解析】解：当CQ=4时，∵BC=8，
∴CQ=QB，
∵AM=MC，
∴当PA=PB时，四边形PQCM是矩形，满足条件．
当P与D重合时，可证PM⊥MQ，满足条件，
∴CQ=4时，点P有两个位置，此时PM≠PQ，
故选项A，B，D错误，
如图，作ME⊥AB于E，QF⊥AB于F．

在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵CD⊥AB，
∴CD=AC⋅BCAB=245，
∴AD=AC2−CD2=62−(245)2=185．
∵AM=MC，ME//CD，
∴AE=ED=95
∴ME=12CD=125，
当PD=75时，PE=DE+PD=95+75=165，
∵∠MPQ=∠MEP=∠QFP=90°，
∴∠MPE+∠QPF=90°，∠MPE+∠PME=90°，
∴∠PME=∠QPF，
∴△PEM∽△QFP，
∴MEPF=PEQF，
∴QFPF=165125=43，设QF=4k，PF=3k，
∵QF//CD，
∴QFCD=BFBD，
∴4k245=BF325，
∴BF=163k，
∵BP=AB−AD−PD=10−185−75=5，
∴3k+163k=5，
解得k=35，
∴BF=165，
∵BD=325，
∴DF=BF，
∵FQ//CD，
∴CQ=QB=4，
故选项C正确，
故选：C．
选项C正确．如图，作ME⊥AB于E，QF⊥AB于F.利用相似三角形的性质求出CQ即可判断．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

10.【答案】D 
【解析】解：①当MB′=13MN时，如图：

Rt△AMB′中，AB′=AB=3，MB′=13AB=1，
∴AM=AB′2−MB′2=22，
∵AD//BC，AB⊥BC，MN⊥AD，
∴四边形ABNM是矩形，
∴BN=AM=22，MN=AB=3，
设BE=x，则B′E=x，EN=22−x，
Rt△B′EN中，B′N=MN−MB′=2，EN2+B′N2=B′E2，
∴(22−x)2+22=x2，
解得x=322，
∴BE的长为322；
②当NB′=13MN时，如图：

∵NB′=13MN=1，
∴MB′=2，
设BE=y，
同①可得y=355，
∴BE的长为355，
综上所述，BE的长为322或355．
故选：D．
分类画出图形，设BE=x，由折叠得性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得BE的长．
本题考查直角三角形的性质及应用，解题的关键是分类画出图形，用勾股定理列方程解决问题．

11.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查直角三角形的判定与性质：有两组边对应相等两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等．分类讨论：当两个三角形都是锐角三角形时，AM，DN分别是△ABC和△DEF的高，由BC=EF，AM=DN，AC=DF，易证得Rt△AMC≌RtDNF，则∠BCA=∠DFE；
当两个三角形都是钝角三角形时，同样有两个三角形的第三条边所对的角的相等；
当两个三角形都是直角三角形时，同样有两个三角形的第三条边所对的角的相等(若第三条边为斜边，则第三条边所对的角相等且互补)；
当两个三角形一个是钝角三角形，另一个是锐角三角形时，AM，DN分别是△ABC和△DEF的高，由BC=EF，AM=DN，AC=DF，易证得Rt△AMC≌Rt△DNF，则∠ACM=∠DFN，而∠ACB+∠ACM=180°，即可得到∠ACB+∠DFE=180°．
【解答】
解：当两个三角形都是锐角三角形时，如图，AM，DN分别是△ABC和△DEF的高，
且BC=EF，AM=DN，AC=DF，

在Rt△AMC和Rt△DNF中，
AC=DFAM=DN，
∴Rt△AMC≌Rt△DNF，
∴∠BCA=∠DFE，
即这两个三角形的第三条边所对的角的相等；
当两个三角形都是钝角三角形时，同样有两个三角形的第三条边所对的角的相等；
当两个三角形都是直角三角形时，同样有两个三角形的第三条边所对的角的相等(若第三条边为斜边，则第三条边所对的角相等且互补)；
当两个三角形一个是钝角三角形，另一个是锐角三角形时，如图，AM，DN分别是△ABC和△DEF的高，
且BC=EF，AM=DN，AC=DF，

易证得Rt△AMC≌Rt△DNF，
∴∠ACM=∠DFN，
而∠ACB+∠ACM=180°，
∴∠ACB+∠DFE=180°，
即这两个三角形的第三条边所对的角互补．
所以如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角相等或互补．
故选D．
  
12.【答案】C 
【解析】分析：本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键．根据HL证明△ADG≌△FDG，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+AC．
【详解】
根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，
∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，
∵DA=DF，DG=DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE
=12(∠ADF+∠CDF)
=45∘，
∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF
=EC+AG，
∴△BGE的周长=BG+BE+EC+AG
=AB+AC，是定值，
∴正确的结论有 ① ③ ④，
故选C．



13.【答案】30° 
【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，
∵△PMN周长的最小值是8，
∴PM+PN+MN=8，
∴DM+CN+MN=8，即CD=8=OP，
∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：30°．
分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=12∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

14.【答案】6 
【解析】解：如图，连接BE，BF．

∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴FC=FB，
∵E在AB的垂直平分线上，
∴EA=EB，
∴EF+CF=EF+BF≥BE，
∴EF+CF的最小值为AE的长，
∵AE：EC=3：2，
∴可以假设AE=3k，EC=2k，
∵AE+EC≥AC，
∴5k≥10，
∴k≥2，
∴AE的最小值为6，
∴EF+CF的值的最小值为6，
故答案为6．
如图，连接BE，BF.首先证明EF+CF的最小值为AE的长，求出AE的最小值即可解决问题．
本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考填空题中的压轴题．

15.【答案】30°或150° 
【解析】解：如图1，

∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，
∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，
∴∠AEB=∠CED=15°，
则∠BEC=∠AED−∠AEB−∠CED=30°．
如图2，

∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，
∴DE=DC，
∴∠CED=∠ECD，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=90°−60°=30°，
∴∠CED=∠ECD=12(180°−30°)=75°，
∴∠BEC=360°−75°×2−60°=150°．
故答案为：30°或150°．
分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

16.【答案】2 
【解析】解：连接AA′，交CM于点P，如图，

设DM=a(a>0)，AM=b(b>0)，
∵M是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CM是Rt△ABC有斜边上的中线，
∴CM=12AB，
即AM=BM=CM，
∴BM=CM=b，AB=AM+BM=2b，
∵A′M⊥AB，
∴∠A′MB=∠A′MA=90°，
即∠DMA=∠DMB=90°，
∴DB=DM2+BM2=a2+b2，
∵AM、A′M关于CM对称，
∴A′M=AM，∠AMC=∠A′MC，AA′⊥CM，
∴A′M=b，
∴A′D=A′M−DM=b−a．
∵∠A′MA=90°，
∴∠AMC+∠A′MC=90°，
∴2∠AMC=90°，
∴∠AMC=45°，
∵AA′⊥CM，
∴△APM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AP=MP=22AM=22b，
∴CP=CM−MP=b−22b=2−22b，
∵AA′⊥CM，
∴∠APC=90°，
∴AC=AP2+CP2
=(22b)2+(2−22b)2
=2−2×|b|，
∵b>0，
∴2−2×|b|=b2−2，
故AC=b2−2，
∵在Rt△ABC中，sinB=ACAB，
在Rt△DMB中，sinB=DMDB，
∴ACAB=DMDB，
∴b2−22b=aa2+b2，
∴aa2+b2=2−22，
∴a2a2+b2=(2−22)2=2−24，
故a2+b2a2=42−2，
∴1+(ba)2=4(2+2)(2+2)(2−2)=4+22，
∴(ba)2=3+22，
∵a>0，b>0，
∴ba>0，
∴ba=3+22=(2+1)2=2+1，
∴A′DDM=b−aa=ba−1=2，
即A′D：DM的值为2．
故答案为：2．
连接AA′，交CM于点P，可设DM=a(a>0)，AM=b(b>0)，由直角三角形斜边上的中线的定义可得CM是Rt△ABC有斜边上的中线，可得BM=CM=b，AB=AM+BM=2b，再由折叠的性质可得A′M=AM，∠AMC=∠A′MC，AA′⊥CM，从而可求得∠AMC=45°，则可证得△APM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，故有CP=CM−MP=b−22b=2−22b，从而可求得AC=b2−2，再由sinB=ACAB，sinB=DMDB，得ACAB=DMDB，可求得a2+b2a2=42−2，ba=3+22=(2+1)2=2+1，即可求解．
本题主要考查翻折变换(折叠问题)，解答的关键是明确折叠的过程中相应的边或角之间的关系．

17.【答案】解：(1)如图：△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△A2B2C2即为所求；

(3)根据题意可得点P2的坐标为(−x,y−3)． 
【解析】(1)首先确定A、B、C三点关于y轴对称的对称点位置，再连接即可；
(2)首先确定A1、B1、C1三点向下平移3个单位对应点位置，再连接即可；
(3)根据图形可得点的坐标的变化规律，进而确定点P2的坐标．
此题主要考查了作图--轴对称变换和平移，关键是掌握组成图形的关键点平移或对称的对应点位置．

18.【答案】解：(1)补全图形如图1所示；
(2)当∠PAC=30°时，AD//BC，
理由如下：由轴对称的性质可知，∠PAD=∠PAC=30°，
∴∠CAD=60°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠CAD=∠ACB，
∴AD//BC；
(3)如图2，设∠PAC=x，则∠DAC=2x，∠BAD=60°+2x，
∵AP⊥CD，
∴∠ADC=90°−x，
∵AD=AC=AB，
∴∠ADB=12×(180°−60°−2x)=60°−x，
∴∠EDC=∠ADC−∠ADB=30°，
∵EC=ED，
∴∠CED=180°−30°×2=120°；
(4)CE+AE=BE，
理由如下：在EB上截取EF=AE，连接AF，
∵∠AEF=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠AFE=∠AEF=60°，
∴∠AFB=∠AED，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
在△ABF和△ADE中，
∠AFB=∠AED∠ABF=∠ADEAB=AD，
∴△ABF≌△ADE(AAS)
∴BF=DE，
∵ED=EC，
∴BF=CE，
∴BE=BF+EF=CE+AE． 
【解析】(1)根据题意补全图形；
(2)根据轴对称的性质得到∠CAD=60°，根据等边三角形的判定和性质、平行线的判定定理证明；
(3)设∠PAC=x，根据三角形内角和定理、结合图形求出∠EDC=30°，根据三角形内角和定理计算即可；
(4)在EB上截取EF=AE，连接AF，证明△ABF≌△ADE，根据全等三角形的性质证明即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

19.【答案】解：(1)∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵∠C=2∠B，
∴∠B+2∠B=90°，
解得∠B=30°；

(2)∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−30°=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=12∠BAC=12×90°=45°，
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=60°−45°=15°． 
【解析】(1)根据直角三角形两锐角互余列出方程，再整理成关于∠B的方程，然后求解即可；
(2)根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，再求出∠BAE，然后根据∠DAE=∠BAD−∠BAE计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，利用直角三角形两锐角互余列方程更简便．

20.【答案】(1)3；
(2)当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，
∴12−2t=8，解得t=2，
∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；
(3)90°−12α ． 
【解析】解：(1)由题可得，BD=CE=2t，
∴CD=12−2t，AE=8−2t，
∴当AE=13DC，时，8−2t=13(12−2t)，
解得t=3，
故答案为：3；
(2)见答案；
(3)当△ABD≌△DCE时，∠CDE=∠BAD，
又∵∠ADE=180°−∠CDE−∠ADB，∠B=∠180°−∠BAD−∠ADB，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠BAC=α，AB=AC，
∴∠ADE=∠B=12(180°−α)=90°−12α.
故答案为：90°−12α.
(1)依据BD=CE=2t，可得CD=12−2t，AE=8−2t，再根据当AE=13DC，时，8−2t=13(12−2t)，可得t的值；
(2)当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，根据12−2t=8，可得t的值；
(3)依据∠CDE=∠BAD，∠ADE=180°−∠CDE−∠ADB，∠B=∠180°−∠BAD−∠ADB，即可得到∠ADE=∠B，再根据∠BAC=α，AB=AC，即可得出∠ADE．
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键．

21.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠E+∠EDB=∠ABC=60°，∠ACD+∠DCB=60°，∠EDB=∠ACD，
∴∠E=∠DCE，
∴DE=DC，
∴△DEC是等腰三角形；
(2)解：设∠EDB=α，则∠BDC=5α，
∴∠E=∠DCE=60°−α，
∴6α+60°−α+60°−α=180°，
∴α=15°，
∴∠E=∠DCE=45°，
∴∠EDC=90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，

∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH=∠E=45°，
∴EH=HC=DH=12EC=12×8=4，
∴△EDC的面积=12×EC⋅DH=12×8×4=16． 
【解析】(1)根据等边三角形的性质，即可证明结论；
(2)设∠EDB=α，则∠BDC=5α，得∠E=∠DCE=60°−α，根据三角形内角和定理可得α=15°，过D作DH⊥CE于H，根据等腰直角三角形的性质即可得DH的长，进而可得结论．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质．

22.【答案】解：(1)逆命题：P 是等边三角形 ABC 内的一点，若 PA=PB=PC，则 P 到三边的距离相等． 该逆命题成立．
证明如下：∵PA=PB，
∴P 在 AB 的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C 在 AB 的垂直平分线上，

∴CP 是 AB 的垂直平分线，
∴CP 平分∠ACB，
同理，BP 平分∠ABC，AP 平分∠BAC，
∴P 是△ABC 三个角的角平分线的交点，

∴PD=PE=PF．
(2)∵AB=BC=AC 且 S△ABC=S△ABP+S△PBC+S△APC，
∴由面积法可得 P 点到各边的距离之和=任意边上的高线长，即为定值． 
【解析】将原命题的题设与结论交换位置即可写出其逆命题；可证明其逆命题成立．先由PA=PB，AC=BC，根据线段垂直平分线的判定得出CP是AB的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质得出CP平分∠ACB，同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，那么P是△ABC三个角的角平分线的交点，根据角平分线的性质即可得出PD=PE=PF．
本题考查了命题与定理，角平分线、线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，难度适中．利用数形结合是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵CD//AB，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠B=∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD//BC；
(2)解：△ACD是直角三角形．
理由：∵CD//AB，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∵∠CDA=∠DAB，
∴∠CDA=90°，
∴△ACD是直角三角形；
(3)解：当点D在点H的左边时，如图，

∵∠ADH=60°，∠ACH=30°，
∴∠DAC=180°−60°−30°=90°；
当点D在点H右边时，如图，

∵∠ADH=60°，∠ACH=30°，
∴∠DAC=∠ADH−∠ACH=30°．
综上，∠DAC=90°或30°． 
【解析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，分类讨论的思想方法，灵活应用这些知识解题是关键．
(1)由平行线的性质得∠B+∠BCD=180°，再等量代换得∠ADC+∠BCD=180°，进而根据平行线的判定得结论；
(2)由平行线的性质得∠CDA+∠DAB=180°，再由∠CDA=∠DAB得∠CDA=90°，进而判断三角形的形状；
(3)分两种情况：①当点D在点H的左边时，根据三角形的内角和定理求得结果；②当点D在点H的右边时，根据三角形的外角性质求得结果．

24.【答案】解：在RT△ABC中，AB=AC2+BC2=5，
∵AD=13，BD=12，
∴AB2+BD2=AD2，即可判断△ABD为直角三角形，
阴影部分的面积=12AB×BD−12BC×AC=30−6=24．
答：阴影部分的面积=24． 
【解析】先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．
此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形．

25.【答案】证明：∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF；
∴DF=BE；
在Rt△ADF和Rt△BCE中
DF=BEAD=CB，
∴Rt△ADF≌Rt△BCE，
∴AF=CE． 
【解析】此题只要先证明△ADF≌△BCE即可，做题时要结合已知条件与全等的判定方法进行思考．
本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF通过等量加等量和相等得DF=BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．