【2023届必备】2023版高考一轮复习训练30　双曲线与抛物线

这是一份【2023届必备】2023版高考一轮复习训练30　双曲线与抛物线，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
训练30　双曲线与抛物线一、单选题1．(2022·郑州模拟)已知P为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点P到C的焦点的距离为9，到y轴的距离为6，则p等于(　　)A．3  B．6  C．9  D．12答案　B解析　由题意＝9－6＝3，p＝6.2．(2022·开封模拟)已知双曲线－y2＝1(m>0)的焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案　B解析　因为双曲线－y2＝1(m>0)的焦距为4，所以m＋1＝2，则m＝3，则该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.3．(2022·十堰模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AF1F2为直角三角形，则双曲线C的离心率为(　　)A.  B.  C.  D．2答案　A解析　如图，设AF2＝m，AF1＝n，由题意可得解得b＝2a，则e＝＝＝.4．(2022·宣城模拟)抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　设抛物线的焦点F与双曲线的右焦点F2及点M的坐标分别为F，F2(2,0)，M(x0，y0)，故由题设可得在切点M处的斜率为x0，则x0＝，即x0＝p，故M，依据F，F2(2,0)，M共线，可得kMF2＝kFF2，即＝－，解得p＝.二、多选题5．(2022·蓉城模拟)已知O为坐标原点，抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论正确的是(　　)A．x1x2＝B.·＝－C．∠AMB＝90°D.＋＝答案　ABD解析　设过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线为x＝my＋，代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0.由直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，x1x2＝＝m2y1y2＋m·(y1＋y2)＋＝，A正确；·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－，B正确；∵M点坐标为，故＝，＝，·＝x1x2＋(x1＋x2)＋＋y1y2＝m2p2，当m≠0时，·≠0，即∠AMB≠90°，故C错误；由＋＝＝＝＝，D正确．6．(2022·青岛模拟)已知曲线C：＋＝1，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是(　　)A．若m＝－3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝－27C．若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得∠F1PF2＝D．若m＝3，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为3答案　ABD解析　对于A选项，当m＝－3时，曲线C：－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为y＝±x，故渐近线的倾斜角分别为，，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为，故A选项正确；对于B选项，离心率e＝2，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，a＝3，e＝2，故c＝6，所以－m＝c2－a2＝36－9＝27，所以m＝－27，故B选项正确；对于C选项，若m＝3，则曲线C：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2＝6，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0，)，则cos∠F1MF2＝＝＝－<0，故∠F1MF2为钝角，所以曲线C上存在点P，使得∠F1PF2＝，故C选项错误；对于D选项，若m＝3，则曲线C：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2＝6，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为×2×＝3，故D选项正确．三、填空题7．(2022·昆明模拟)圆x2＋y2－2x＋1＝0的圆心到双曲线－＝1的渐近线的距离为________．答案　解析　根据题意，圆x2＋y2－2x＋1＝0的圆心为(，0)，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0，则点(，0)到直线4x±3y＝0的距离d＝＝，即圆心到双曲线的渐近线的距离为.8．(2022·信阳模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且FA·FB＝6，则AB＝________.答案　6解析　由抛物线y2＝4x，得F(1,0)，当直线AB垂直于x轴时，FA＝FB＝2，不符合题意，故可设直线AB：y＝k(x－1)，联立抛物线方程得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，所以x1x2＝1，又FA＝x1＋1，FB＝x2＋1，所以FA·FB＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝2＋x1＋x2＝6.所以x1＋x2＝4，AB＝FA＋FB＝x1＋x2＋2＝6.四、解答题9．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为8，离心率e＝.(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与双曲线C相交于P，Q两点，弦PQ的中点坐标为A(8,3)，求直线l的方程．解　(1)由题意可得解得所以双曲线C的方程为－＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为弦PQ的中点坐标为A(8,3)，所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝6，将点P(x1，y1)，Q(x2，y2)代入双曲线－＝1可得两式相减可得＝，即＝，所以＝，所以直线l的斜率为k＝＝＝，所以直线l的方程为y－3＝(x－8)，即3x－2y－18＝0.10．已知抛物线x2＝8y，过点M(0,4)的直线与抛物线交于A，B 两点，又过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于P点．(1)证明：直线PA，PB的斜率之积为定值；(2)求△PAB面积的最小值．(1)证明　由题意设直线AB的方程为y＝kx＋4，联立得x2－8kx－32＝0，因为Δ＝(－8k)2－4×(－32)>0，所以设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－32，设直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，对y＝求导得y′＝，所以k1＝，k2＝，所以k1k2＝·＝＝＝－2(定值)．(2)解　由(1)可得直线PA的方程为y－＝(x－x1)，①直线PB的方程为y－＝(x－x2)，②联立①②，得点P的坐标为，由(1)得x1＋x2＝8k，x1x2＝－32，所以P(4k，－4)．于是AB＝8，点P到直线AB的距离d＝，所以S△PAB＝16(k2＋2)，当k2＝0，即k＝0时，△PAB的面积取得最小值32.