新高考数学一轮复习提升训练9.3 双曲线（精练）（含解析）

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9.3 双曲线（精练）（提升版）1．（2022红塔月考）已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为（　　）A．9 B．5 C．8 D．4【答案】A【解析】设右焦点为F'，则F'(4，0)， 依题意，有PF|=|PF'|+4，
|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(当P在线段AF'上时，取等号)
故|PF|+|PA|的最小值为9.故答案为：A
2．（2022·淮南模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（　　）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有，又，所以，，设，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以面积的最大值是，故答案为：A.3．（2022怀仁期中）已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与曲线 的右支交于 两点，则 的周长的最小值为（　　）  A． B． C． D．【答案】C【解析】由双曲线 可知： 的周长为 . 当 轴时， 的周长最小值为 故答案为：C 1．（2022湖南月考）已知双曲线的左焦点为，右焦点为，，为双曲线右支上一点，为坐标原点，满足，且，则该双曲线的离心率为（　　）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】∵，O为的中点，∴△为直角三角形，设，则，则，∴，∴e＝.故答案为：B.2．（2022雅安期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C上，点I为的内心，且，，则双曲线C的离心率为（　　）A． B．2 C．3 D．【答案】A【解析】依题意，，由双曲线定义知：，于是得，， 令双曲线C的半焦距为c，内切圆半径为r，因，则有，即有，于是得：，即，所以双曲线C的离心率为。故答案为：A3．（2022怀仁期末）设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使 （为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】：因为，所以，设，则，因为，所以可得，因为，所以，则，所以，故答案为：D
3．（2022·巴中模拟）设 ， 分别为双曲线 （a>0，b>0）的左､右焦点，若双曲线上存在一点P使得 ，且 ，则该双曲线的离心率为（　　）  A．2 B． C． D．【答案】B【解析】 ，即 ，①根据双曲线的定义可得 ，即 ②，①减去②得 . ，故 ，解得 或 （舍），双曲线的离心率为 。 故答案为：B.4．（2022南开期末）已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（　　）.A． B． C． D．【答案】A【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示： 由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，则四边形为矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，所以，，由双曲线的定义可得，所以，.故答案为：A.5．（2022北京）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，点在线段上，且，，则双曲线的离心率为（　　）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】根据题意，作图如下：因为，故可得，故可得//，且，故分别为的中点；又，故可得既是三角形的中线又是角平分线，故可得；又为中点，由对称性可知：垂直于轴.故△为等边三角形，则；令，可得，解得，故可得，则，由双曲线定义可得：，即，解得，则离心率为.故选：B.6．（2022·德州月考）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，曲线 上一点 到 轴的距离为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（　　）  A． B． C． D．【答案】B【解析】作 轴于 ，如图，依题意 ， ，则 ， 令 ，由 得： ，由双曲线定义知 ，而 ，在 中，由余弦定理得： ，解得： ，即 ，又因为离心率 ，于是有 ，所以双曲线 的离心率为 。故答案为：B7．（2022·湖南模拟）已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，点的坐标为，故，因为以F为圆心的圆经过点A，O，所以，则△为等边三角形，所以，则，所以双曲线C的渐近线方程为.故答案为：A8．（2022·湖北模拟）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，且，，则的渐近线方程为（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，得，； 根据双曲线的定义，，所以，．在直角三角形中，，即，解得；在直角三角形中，，即，即，解得，所以的渐近线方程为.故答案为：C．1．（2022·东北模拟）我们常说函数的图象是双曲线，建立适当的平面直角坐标系，可求得这个双曲线的标准方程为．函数的图象也是双曲线，在适当的平面直角坐标系中，它的标准方程可能是（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】对函数，其定义域为，定义域关于原点对称，用替换方程不变，故其图象关于原点对称；又当，且趋近于时，趋近于正无穷；当趋近于正无穷时，趋近于，此时的图象与无限靠近；故的两条渐近线为轴与，做出其图象如下所示：为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴必须平分两条渐近线的夹角，又，其斜率为，此时其在原坐标系中其倾斜角为，与轴夹角为，故新坐标系中，轴与轴的夹角应为60º，故轴所在直线在原坐标系中的方程为，轴与其垂直，在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为，联立可得，则，又在新坐标系下，双曲线的渐近线与的夹角为，故，即，故在新坐标系下双曲线方程为.故答案为：A.2．（2022·湘赣皖模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且，则双曲线C的离心率为（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】作轴于M，依题意，，则，则为等腰直角三角形令 ，则，由双曲线定义知．而，在中，，解得：，双曲线离心率，则．故答案为：C．3．（2022·南昌模拟）已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为　         　.【答案】【解析】设双曲线标准方程为 令，则，得，所以，易知，所以…①，又…②，…③，联立①②③求解得，所以双曲线方程为。故答案为：。4．（2022成都期末）已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为　         　．【答案】【解析】由题设，可知：，， ∴由，可得，，又焦点在轴上，∴双曲线的标准方程为.故答案为：.5．（2021成都期末）已知焦点在 轴上的双曲线，其渐近线方程为 ，半焦距 ，则双曲线的标准方程为　         　．【答案】【解析】由题可设双曲线方程为， 由渐近线方程可得，，又因为，即，解得，则，所以双曲线的标准方程为。故答案为：。6．（2022太原期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率；（2）渐近线方程为，经过点．（3）双曲线E： 离心率为 ，且点 在双曲线 上，求 的方程；  （4）双曲线 实轴长为2，且双曲线 与椭圆 的焦点相同，求双曲线 的标准方程．  【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）解：设双曲线的标准方程为：，由题知：，双曲线方程为：.（2）解：设双曲线方程为：，将代入，解得，所以双曲线方程为：.（3）由 ，得 ，即 ，  又 ，即 ，双曲线 的方程即为 ，点 坐标代入得 ，解得 ．所以，双曲线 的方程为 ．（4）椭圆 的焦点为 ，  设双曲线 的方程为 ，所以 ，且 ，所以 ， 所以，双曲线 的方程为 ．7．（2021包头期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，且过点.（1）求双曲线C的虚轴长；（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.【答案】见解析【解析】（1）由题意，易知，，且.在中，由双曲线的定义可知，，，即.∵双曲线C的两个焦点分别为，，∴.又∵，∴故双曲线C的虚轴长为（2）解：由（1）知双曲线C的方程为.设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为将点的坐标代入上述方程，得故所求双曲线的标准方程为1．（2022·广东）（多选）下列曲线中与直线有交点的是（       ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】对于A,直线和的斜率都是﹣2，所以两直线平行，不可能有交点．对于B,由，得，，所以直线与B中的曲线有交点．对于C,由，得，，所以直线与C中的曲线有交点．对于D,由，得，，所以直线与D中的曲线有交点．故选：BCD2．（2022·全国·高二课时练习）直线与双曲线上支的交点个数为______．【答案】2【解析】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．故答案为：23．（2022·全国·高二课时练习）直线与双曲线的交点坐标为______．【答案】，【解析】由，消得即，解得或代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，，故答案为：，4．（2022·全国·高三专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.【答案】【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，因为直线过原点且与双曲线没有交点，故需满足，故答案为：5．（2022·全国·专题练习）双曲线与直线交点的个数为_____.【答案】1【解析】联立方程可得，消可得，即，故，故方程组有且只有一组解，故双曲线与直线有且只有一个交点.故答案为：16．（2022·四川内江·模拟预测（文））若双曲线上存在两个点关于直线：对称，则实数的取值范围为______．【答案】或【解析】设双曲线存在关于直线对称的两点为，，根据对称性可知线段被直线垂直平分，且的中点在直线上，且，故可设直线的方程为，联立方程，整理可得，∴，，由，可得或，∴，，∵的中点在直线上，∴，可得，或.故答案为：或.7．（2022·四川·仁寿一中 ）若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.【答案】【解析】由，消可得，当或，解得或，故答案为：8．（2022·上海市虹口高级中学 ）直线与曲线的交点个数是______.【答案】2【解析】当时，将代入，整理得，解得，（舍去），当时，将代入，整理得，解得，（舍去），综上，直线与曲线的交点个数是2个.故答案为：29．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，，因为直线与双曲线有且只有一个公共点，所以直线与渐近线平行，所以，所以，所以双曲线的离心率为，故答案为：10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.【答案】【解析】联立消去y：，，得到，又直线不与渐近线平行，所以.故答案为：.1．（2022·四川·射洪中学）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（       ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】设点，，因为AB的中点，则有，又点A，B在双曲线上，则，即，则l的斜率，此时，直线l的方程：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C2．（2022·河南）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，，则，两式作差，并化简得， ，所以，因为为线段的中点，即所以，即，由，得.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(       )A． B． C． D．【答案】B【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．设双曲线C的方程为，则．设，，则，，．由，得，即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率．故选：B．4．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）（多选）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（       ）A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定B．该双曲线的离心率为C．若和在双曲线的同一支上，则D．若和分别在双曲线的两支上，则【答案】BC【解析】对于A选项，若双曲线的焦点在轴上，则，可得，且有，解得，则双曲线的方程为，其焦点在轴上；若双曲线的焦点在轴上，则双曲线的标准方程为，则，可得，且有，无解，A错；对于B选项，，，，所以，双曲线的离心率为，B对；对于CD选项，当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，联立可得，则，解得，由韦达定理可得，，，，.若和在双曲线的同一支上，则，可得，则，C对；若和分别在双曲线的两支上且直线不与轴重合时，，可得，则，若直线与轴重合，则、分别为双曲线的两个顶点，则，故当和分别在双曲线的两支上时，，D错.故选：BC.5．（2022·全国·专题练习）双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.【答案】【解析】设，则， 将两点坐标代入双曲线方程得：；将上述两式相减可得： 即，也即 所以，即 故答案为：6．（2022·四川内江 ）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】依题意，双曲线上两点，，，，若点A、B关于直线对称，则设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：，则，且，解得，且又，设的中点是，，所以，．因为的中点在直线上，所以，所以，又所以，即，所以所以，整理得，所以或，实数的取值范围为：故答案为：.