2022届高考数学一轮复习单元检测十一　椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质（解析版）

这是一份2022届高考数学一轮复习单元检测十一　椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元检测十一　椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质
(时间：60分钟　满分：100分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·镇江模拟)若椭圆＋＝1与双曲线x2－15y2＝15的焦点相同，则m的值为(　　)
A．3 B．4 C．6 D．9
答案　D
解析　将双曲线方程化为标准方程得，－y2＝1，
所以双曲线的焦点坐标为(±4,0)，
由于椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以由椭圆的方程得m＝25－16＝9.
2．双曲线－y2＝－1的渐近线方程是(　　)
A．x±2y＝0 B．2x±y＝0
C．4x±y＝0 D．x±4y＝0
答案　A
解析　将双曲线的方程化为标准方程得y2－＝1，
所以a＝1，b＝2，
所以其渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±2y＝0.
3．(2020·鄂尔多斯衡水实验中学月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1，F2，若△AF1F2为等边三角形，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设椭圆C的焦距为2c，
由于△AF1F2为等边三角形，则
∴|AF1|＝|AF2|＝a，由题意可得a＝2c，
∴椭圆C的离心率为＝.

4．(2020·南京人民中学月考)某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷慧星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷慧星近日点距离太阳约0.6 A．U.，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约35 A．U.( A．U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，1 A．U.＝149 597 870千米)，物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约1015 kg.化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷慧星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是多少呢？(　　)

A．1.03 B．0.97 C．0.83 D．0.77
答案　B
解析　设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由题意可得解得
∴e＝＝≈0.97.
5．(2020·抚顺模拟)已知F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(00)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则双曲线E的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　取E的一条渐近线bx－ay＝0，
因为＝(l为弦长，R为圆半径，d为圆心到直线的距离)，
其中l＝2，R＝2，d＝＝，
所以4－＝2，所以c2＝2b2＝2c2－2a2，
所以c2＝2a2，所以e2＝2，所以e＝.
8．(2020·山西大同一中月考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，若|MD|＝2，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
答案　C
解析　由题意如图，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，
可知∠NMF＝60°，
MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，准线与x轴的交点为A，

所以|MN|＝|FM|，则△NMF是正三角形，
因为O是AF的中点，AN∥OD，所以D是NF的中点，
所以MD⊥NF，∠DMF＝30°，
因为|MD|＝2，所以|MF|＝＝4，则|MN|＝4，
由△NMF是正三角形可知F在MN上的射影是MN的中点B，
所以|AF|＝|BN|＝2，则F(1,0)，可得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x.
9．已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于(　　)
A. B．－ C．2 D．－2
答案　A
解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y－＝1，y－＝1，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝，所以直线l的斜率为k1＝＝＝，直线OP的斜率为k2＝，k1k2＝×＝，故选A.
10．(2020·黑龙江大庆实验中学月考)若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点F1，F2的距离之比为2∶1，且存在△PF1F2，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
答案　C
解析　＝，则|PF1|＝2|PF2|，若是椭圆，则|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，|PF2|＝，|PF1|＝；若是双曲线，则|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，A中椭圆，a＝6，c＝2，|PF2|＝4，|PF1|＝8，|F1F2|＝4，不存在△PF1F2；B中椭圆，a＝4，c＝1，|PF2|＝，|PF1|＝，|F1F2|＝2，不存在△PF1F2；C中双曲线，a＝，c＝3，双曲线上的点到右焦点距离的最小值是c－a＝3－k－9>0，解得90)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|＝|F1F2|，则椭圆的离心率为________．
答案　
解析　由题意知，|AB|2＝a2＋b2，|F1F2|2＝4c2，
∵|AB|＝|F1F2|，∴a2＋b2＝·4c2，
即a2＋a2－c2＝3c2，即a2＝2c2，
故e＝＝.
15．(2020·南京东山外国语学校模拟)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，且PF2的中点M在以O为圆心，OF1为半径的圆上，则|PF2|＝________.
答案　4
解析　如图，由双曲线－＝1，得a2＝16，b2＝20，
则c＝＝6.

则|OM|＝|OF1|＝6，|PF1|＝2|OM|＝12，
∴|PF2|＝|PF1|－8＝4.
16．(2020·扬州模拟)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为________．
答案　6＋
解析　设椭圆对应的参数为a1，b1，c，
双曲线对应的参数为a2，b2，c，
由于线段PF1的垂直平分线过F2，
所以有|F1F2|＝|PF2|＝2c.
根据双曲线和椭圆的定义有
两式相减得到4c＝2(a1－a2)，
即a1－a2＝2c⇒a1＝2c＋a2.
所以＋＝＋＝6＋＋
≥6＋2＝6＋，
当且仅当c＝2a2时取等号，
则＋的最小值为6＋.
三、解答题(本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)(2020·杭州模拟)椭圆M：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，点P(0,2)关于直线y＝－x的对称点在椭圆M上．

(1)求椭圆M的方程；
(2)如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D.
①求·的取值范围；
②当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
解　(1)因为点P(0,2)关于直线y＝－x的对称点为(－2,0)，且(－2,0)在椭圆M上，所以a＝2.
又2c＝2，故c＝，则b2＝a2－c2＝4－3＝1，
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，C(0,1)，D(0，－1)，
所以·＝－1.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，
C(x1，y1)，D(x2，y2)，
消去y整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ>0，可得4k2>3，且
x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－1＋，
所以－10)，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C2的焦点F与C1的一个焦点重合，且C1，C2有一个交点A.
(1)求C1，C2的标准方程；
(2)若直线l过点(1,0)且交C1于M，N两点，交C2于P，Q两点，求的取值范围．
解　(1)把A代入y2＝2px，可得p＝2，
故C2的标准方程为y2＝4x，焦点F(1,0)．
故椭圆C1的两焦点为F1(－1,0)，F(1,0)，
由椭圆的定义知2a＝|F1A|＋|FA|
＝＋
＝＋＝4，
所以a＝2，则b＝＝＝，
故C1的标准方程为＋＝1.
(2)易知直线l的斜率不为0，设l：x＝my＋1，
联立可得y2－4my－4＝0，
则yP＋yQ＝4m，yPyQ＝－4，
所以|PQ|＝
＝＝4(1＋m2)．
联立可得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
则yM＋yN＝，yMyN＝，
则|MN|＝
＝＝.
则＝＝，
令m2＋1＝s，s≥1，则＝＝.
构造函数f(s)＝9s＋＋6，s∈[1，＋∞)，
求导得f′(s)＝9－，由s∈[1，＋∞)，可得∈(0,1]，
所以f′(s)>0，即f(s)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝16，
所以f(s)∈[16，＋∞)，则＝∈.
故的取值范围是.