通用版高考数学(文数)一轮复习第13单元《椭圆双曲线抛物线》学案(含详解)

这是一份通用版高考数学(文数)一轮复习第13单元《椭圆双曲线抛物线》学案(含详解)，共130页。
第十三单元 椭圆、双曲线、抛物线
教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过

椭圆
[过双基]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性质
范围
－b≤y≤－a≤y≤
－a≤x≤，－b≤x≤，
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为，短轴B1B2的长为
焦距
|F1F2|＝
离心率
e＝，e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
　　
1．(浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝.
2．在平面直角坐标系xOy中，△ABC上的点A，C的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，若点B在椭圆＋＝1上，则＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由椭圆＋＝1，得椭圆的半焦距为4，
则A(－4,0)和C(4,0)为椭圆＋＝1的两个焦点．
∵点B在椭圆＋＝1上， 作出示意图如图所示，
∴＝＝＝.
3．已知椭圆＋＝1(m＞0)的焦距为8，则m的值为(　　)
A．3或 B．3
C. D．±3或±
解析：选A　当m＜5时，焦点在x轴上，焦距2c＝8，则c＝4，
由25－m2＝16，得m＝3；
当m＞5时，焦点在y轴上，焦距2c＝8，则c＝4，
由m2－25＝16，得m＝，
故m的值为3或.
4．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.
解析：因为焦点在x轴上，所以0＜m＜2，
所以a2＝2，b2＝m，c2＝a2－b2＝2－m.
因为椭圆的离心率为e＝，
所以e2＝＝＝，解得m＝.
答案：
[清易错]
1．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
2．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
1．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A．－21 B．21
C．－或21 D.或－21
解析：选D　当9＞4－k＞0，即－50.
(1)当2a|F1F2|时，P点不存在．
2．标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)；
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
3．双曲线的性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
　
1．(天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：选D　由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan 60°＝.又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.
2．已知双曲线过点(2,3)，其中一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
解析：选C　由双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
可设其方程为－x2＝λ(λ≠0)．
又双曲线过点(2,3), 则－22＝λ， 解得λ＝－1，
所以双曲线的方程为－x2＝－1，即x2－＝1.
3．(张掖一诊)如图，F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．4
C. D.
解析：选A　依题意得|AB|＝|AF2|＝|BF2|，结合双曲线的定义可得|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，|F1F2|＝2c，因为△ABF2为等边三角形，所以∠F1BF2＝120°，由余弦定理，可得4a2＋16a2＋2×2a×4a×＝4c2，整理得＝，故选A.
4．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
解析：由题意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|＋|FQ|＝28，所以△PQF的周长为|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44.
答案：44
[清易错]
1．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
2．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±.
1．双曲线－＝1(0＜m＜3)的焦距为(　　)
A．6 B．12
C．36 D．2
解析：选B　∵c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6，
∴双曲线的焦距为12.
2．已知直线l：4x＋3y－20＝0经过双曲线C：－＝1的一个焦点，且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的实轴长为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：选C　∵双曲线C：－＝1的焦点在x轴上，直线l：4x＋3y－20＝0与x轴的交点为(5,0)．
∴a2＋b2＝c2＝25.①
∵直线l：4x＋3y－20＝0与双曲线C：－＝1的一条渐近线平行，∴＝.②
由①②解得a＝3，
∴双曲线C的实轴长为2a＝6.

抛物线
[过双基]
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋

1．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线－＝1的右焦点，则此抛物线的方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝10x D．y2＝20x
解析：选D　双曲线－＝1的右焦点为(5,0) ，
由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0) ，
∵抛物线的焦点为双曲线－＝1的右焦点，
∴＝5，p＝10，
∴抛物线方程为y2＝20x.
2．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A. B.
C. D．0
解析：选B　点M到准线的距离等于点M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，
故y＝.
3．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选D　设点P到准线的距离为d，则有|PF|＝d，
又抛物线的方程为y＝2x2，即x2＝y,
则其准线方程为y＝－，
所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，
即|PF|的最小值为.
4．已知抛物线y2＝6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________．
解析：可知抛物线y2＝6x的焦点F，设P(x，y)，x＞0.
由抛物线的定义，得点P到焦点的距离d1＝x＋＝x＋，
点P到y轴的距离d2＝x.
由x＋＝2x，解得x＝，∴该点的横坐标为.
答案：
[清易错]
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中的参数p，易忽视只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
1．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________．
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
2．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．
解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－y.
∴2p＝，p＝，∴焦点为.
答案：

直线与圆锥曲线的位置关系
[过双基]
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δb>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A　由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.又e＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
7．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.

解析：选C　由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.
8．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选B　如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，
|PF1|＋|PF2|＝2a1，
|PF1|－|PF2|＝2a2，
∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.
设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，
在△PF1F2中，由余弦定理得，
4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，
化简得：(2－)a＋(2＋)a＝4c2，
即＋＝4.
又∵＋≥＝，
∴≤4，即e1·e2≥，
∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.
二、填空题
9．(北京高考)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
解析：由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，所以a＝1，c＝，所以e＝＝，解得m＝2.
答案：2
10．(全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
解析：∵双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.
答案：5
11．与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为__________．
解析：由椭圆＋＝1，得a2＝9，b2＝4，
∴c2＝a2－b2＝5，
∴该椭圆的焦点坐标为.
设所求椭圆方程为＋＝1，a＞b＞0，
则c＝，又＝，得a＝5，∴b2＝25－5＝20.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12．(西安中学模拟)如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则·＝________.

解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立解得x＝±2，则A(－2,1)，D(2,1)，因为B(－1,1)，C(1,1)，所以＝(1,0)，＝(－1,0)，所以·＝－1.
答案：－1
三、解答题
13．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且函数y＝x2－的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．
解：(1)由题意可得，2b＝2，所以b＝1.
联立＋y2＝1(a＞1)与y＝x2－，消去y，
整理得x4＋x2＋＝0，
根据椭圆C与抛物线y＝x2－的对称性，可得Δ＝2－4×＝0，a＞1，解得a＝2.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，S△PMN＝×2b×a＝2；
当直线l的斜率为0时，S△PMN＝×2a×b＝2；
②当直线l的斜率存在且不为0时．
设直线l的方程为y＝kx，由
解得x2＝，y2＝.
∴|MN|＝2＝4 .
由题意可得，线段MN的中垂线方程为y＝－x，
联立可得x2＝，y2＝.
∴|OP|＝＝2 .
∴S△PMN＝·|MN|·|OP|＝≥＝，当且仅当k＝±1时取等号，此时△PMN的面积的最小值为.
∵2>，∴△PMN的面积的最小值为，直线l的方程为y＝±x.

14.已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
解：(1)由抛物线的定义得
|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2.
由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．
由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
又G(－1,0)，
所以kGA＝＝，
kGB＝＝－，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
高考研究课(一)
椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
椭圆的标准方程
5年2考
求椭圆的标准方程
椭圆的几何性质
5年5考
求离心率，求参数
直线与椭圆的位置关系
5年4考
弦长问题、面积最值、斜率范围


椭圆的定义及标准方程
[典例]　(1)若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(大庆模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－2，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解析]　(1)由题意得a＝3，c＝，则|PF2|＝2.
在△F2PF1中，由余弦定理可得
cos∠F2PF1＝
＝＝－.
又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝.

(2)设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示．
由F(－2，0)，得c＝2.
由|OP|＝|OF|＝|OF1|，
知PF1⊥PF.
在Rt△PF1F中，由勾股定理，
得|PF1|＝＝ ＝8.
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，
从而a＝6，得a2＝36，
于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
[答案]　(1)C　(2)B
[方法技巧]
(1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．　　
[即时演练]
1．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
解析：选D　∵椭圆方程为＋＝1，
∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，
连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，
得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，
可得|PB|＝4－|PB′|，
因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)
＝4＋(|PA|－|PB′|)．
∵|PA|－|PB′|≤|AB′|，
∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.
当且仅当点P在AB′延长线上时，等号成立．
综上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值为5.
2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
又∵S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
答案：3

椭圆的几何性质
[典例]　(1)(江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
(2)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.

①若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；
②若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，求椭圆离心率e的取值范围．
[解析]　(1)将y＝代入椭圆的标准方程，
得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c,0)，所以＝，
＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋2＝0，
即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，
得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．
[答案]　
(2)①由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
因此2c＝|F1F2|＝
＝＝2，
即c＝，从而b＝＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
②如图，连接F1Q，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，

得|QF1|＝＝|PF1|.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a.
于是(1＋λ＋)|PF1|＝4a，
解得|PF1|＝，
故|PF2|＝2a－|PF1|＝.
由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
从而2＋2＝4c2，
两边除以4a2，得
＋＝e2.
若记t＝1＋λ＋，
则上式变成e2＝＝82＋.
由≤λ＜，并注意到t＝1＋λ＋关于λ单调递增，得3≤t＜4，即＜≤.
进而＜e2≤，即＜e≤.
所以椭圆离心率e的取值范围为.
[方法技巧]
椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．　　
[即时演练]
1．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△F1PF2为直角三角形，则椭圆E的离心率为__________．
解析：作出示意图如图，由题可知，＝2，

即|PF2|＝2|PF1|，
又|PF2|＋|PF1|＝2a，
∴|PF1|＝ a，|PF2|＝a，
∴(2c)2＝2＋2，
即c2＝a2，∴e＝.
答案：
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点P为椭圆C与y轴的交点，若以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
解析：∵点P为椭圆C与y轴的交点，以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，即∠F1PF2≤90°，∴tan∠OPF2≤1，∴≤1，c≤b，c2≤a2－c2，∴0＜e≤.
答案：

直线与椭圆的位置关系
[典例]　(天津高考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c), △EFA的面积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点Q在线段AE上，|FQ|＝c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.
①求直线FP的斜率；
②求椭圆的方程．
[思路点拨]　(1)由已知可得(c＋a)c＝，再结合b2＝a2－c2，求得离心率；
(2)①首先设直线FP的方程为x＝my－c(m>0)，再写出直线AE的方程，联立方程得到点Q的坐标，根据|FQ|＝c得到m的值，求得直线FP的斜率；
②联立直线FP的方程和椭圆方程，求得点P的坐标，再求|FP|，|PQ|，确定直线PM和QN都垂直于直线FP，根据平面几何关系求面积，求c，得出椭圆的方程．
[解]　(1)设椭圆的离心率为e.
由已知，可得(c＋a)c＝.
又由b2＝a2－c2，
可得2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0.
又因为0＜e＜1，解得e＝.
所以椭圆的离心率为.
(2)①依题意，设直线FP的方程为x＝my－c(m＞0)，
则直线FP的斜率为.
由(1)知a＝2c，可得直线AE的方程为＋＝1，
即x＋2y－2c＝0，与直线FP的方程联立，
可解得x＝，y＝，
即点Q的坐标为.
由已知|FQ|＝c，有2＋2＝2，整理得3m2－4m＝0，所以m＝，即直线FP的斜率为.
②由a＝2c，可得b＝c，
故椭圆方程可以表示为＋＝1.
由①得直线FP的方程为3x－4y＋3c＝0，
联立消去y，整理得7x2＋6cx－13c2＝0，解得x＝－(舍去)或x＝c.
因此可得点P，
进而可得|FP|＝ ＝，
所以|PQ|＝|FP|－|FQ|＝－＝c.
由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP.
因为QN⊥FP，
所以|QN|＝|FQ|·tan∠QFN＝×＝，
所以△FQN的面积为|FQ||QN|＝，
同理△FPM的面积等于，
由四边形PQNM的面积为3c，
得－＝3c，整理得c2＝2c.
又由c＞0，得c＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
[方法技巧]
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝ (k为直线斜率)．
[提醒]　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．　　
[即时演练]
1．设椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，斜率为k的直线过右焦点F2，与椭圆交于A，B，与y轴交于C，B为CF2的中点，若|k|≤，则椭圆离心率e的取值范围为__________．
解析：椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点在x轴上，设椭圆的右焦点为F2 (c,0)，则直线的方程可设为y＝k(x－c)，
令x＝0，得y＝－kc，即C(0，－kc)．
由于B为CF2的中点，
∴B，又B为椭圆上的点，
∴＋＝1，
由b2＝a2－c2，e＝，
可得＋＝1，
∴k2＝.
∵|k|≤，∴k2≤，
即0≤≤.
又0＜e＜1, 解得≤e＜1.
答案：
2．(江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
解：(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，
所以＝，＝8，
解得a＝2，c＝1，于是b＝＝，
因此椭圆E的标准方程是＋＝1.
(2)由(1)知，F1(－1,0)，F2(1,0)．
设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，
故x0>0，y0>0.
当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．
当x0≠1时，直线PF1的斜率为，
直线PF2的斜率为.
因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为－，
直线l2的斜率为－，
从而直线l1的方程为y＝－(x＋1)，①
直线l2的方程为y＝－(x－1)．②
由①②解得x＝－x0，y＝，
所以Q.
因为点Q在椭圆上，由对称性，得＝±y0，
即x－y＝1或x＋y＝1.
又点P在椭圆E上，故＋＝1.
联立解得x0＝，y0＝；
联立无解．
因此点P的坐标为.

1．(全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝ ＝.
2．(全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
解析：选A　当0＜m＜3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
3．(全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.
4．(全国卷Ⅱ)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2.
解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
(2)证明：设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k＞0)，
代入＋＝1，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.
由x1·(－2)＝，得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝.
由题意，设直线AN的方程为y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|，得＝，
即4k3－6k2＋3k－8＝0.
设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点．f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增．又f()＝15－26＜0，f(2)＝6＞0，因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以＜k＜2.
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，消去y，
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.
由(1)得OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为xP.
由得x＝，即xP＝.
将点的坐标代入直线l的方程得b＝，
因此xM＝.
四边形OAPB为平行四边形，
当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.
于是＝2×，
解得k1＝4－，k2＝4＋.
因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，
所以当直线l的斜率为4－或4＋时，
四边形OAPB为平行四边形．

一、选择题
1．如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(0,1)　　　　　　　　　 B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选A　x2＋ky2＝2转化为椭圆的标准方程，得＋＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，
∴＞2，解得0＜k＜1.
∴实数k的取值范围是(0,1)．
2．已知直线2kx－y＋1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为(　　)
A．(1,9] B．[1，＋∞)
C．[1,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞)
解析：选C　∵直线2kx－y＋1＝0恒过定点P(0,1),
直线2kx－y＋1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，
即点P(0,1)在椭圆内或椭圆上，
∴＋≤1，即m≥1,
又m≠9，∴1≤m＜9或m＞9.
3．椭圆＋＝1(a>b>0)的中心在原点，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　如图所示，把x＝－c代入椭圆方程＋＝1(a>b>0)，
可得P，
又A(0，b)，B(a,0)，F2(c,0)，
∴kAB＝－，kPF2＝－，
∵PF2∥AB，∴－＝－，化简得b＝2c.
∴4c2＝b2＝a2－c2，即a2＝5c2，∴e＝ ＝.
4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2 ，∠AF1F2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率之积为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选A　设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，焦距为2c,
由椭圆与双曲线的定义可知，
|AF1|＋|AF2|＝2a1,
|AF1|－|AF2|＝2a2,
在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝30°，
则|AF2|＝|F1F2|＝c，|AF1|＝|F1F2|＝c,
所以2a1＝(＋1)c,2a2＝(－1)c，
即e1＝＝，e2＝＝，
所以e1·e2＝×＝2,
即椭圆与双曲线的离心率之积为2.
5．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的左、右焦点，若· 0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B　根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，
可知＝.①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a2＋b2＝9.②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，
所以C的方程为－＝1.
角度三：利用渐近线与已知直线位置关系求离心率
3．双曲线M：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线x＝a与双曲线M的渐近线交于点P，若sin∠PF1F2＝，则该双曲线的离心率为__________．
解析：如图，设双曲线右顶点为A，点P在第一象限内， 双曲线M的渐近线方程为y＝x，
∴P(a，b)，又F1(－c,0)，A(a,0)，
∴|PA|＝b，|F1A|＝a＋c.
∵sin∠PF1F2＝，∴tan∠PF1F2＝＝，
∴＝，b＝(a＋c)，
又b2＝c2－a2，∴(a＋c)2＝c2－a2，
即7c2－2ac－9a2＝0，∴7e2－2e－9＝0，
解得e＝(舍去)或e＝－1.
答案：
[方法技巧]
解决有关渐近线与离心率关系问题的2个注意点
(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝或|m|＝讨论．
(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．　　

直线与双曲线的位置关系
[典例]　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，离心率为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点C，D，如果C，D都在以点A(0，－1)为圆心的同一个圆上，求实数m的取值范围．
[思路点拨]　(1)设双曲线C的焦距为2c，运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
(2)将直线l的方程代入双曲线的方程，可得x的二次方程，运用根与系数的关系和判别式大于0，由中点坐标公式可得CD的中点M的坐标，由题意可知直线l与直线AM垂直，运用两直线垂直的条件：斜率之积为－1，可得k，m的关系式，代入判别式大于0的式子，解不等式即可得到m的取值范围．
[解]　(1)设双曲线C的焦距为2c,
由题意得2c＝4，＝，
所以c＝2，a＝，b＝＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立消去y，
得(3k2－1)x2＋6kmx＋3(m2＋1)＝0,
则
即(※)
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，线段CD的中点为M(x0，y0),
因为x1＋x2＝，
所以x0＝，y0＝kx0＋m＝，
所以点M，
可得直线AM的斜率为kAM＝＝，
由题意知，直线l与直线AM垂直，所以kAM·k＝－1，
即·k＝－1,
化简得3k2＝4m＋1，因为3k2＞0，
所以4m＋1＞0，解得m>－.
将3k2＝4m＋1代入(※)式得
解得－0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线右支交于点A，且△OAF是以AF为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率e的值．
解：(1)由题可知a＝b，所以c＝a＝b＝2，
故a＝b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)由题意知|OA|＝c，又OA的倾斜角为30°，
所以A，
代入双曲线方程得，－＝1，
结合c2＝a2＋b2，可得3c4－8a2c2＋4a4＝0，
解得e2＝2或e2＝(舍去)，
又e>1，所以e＝.

1．(全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
2．(全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选A　依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝ ＝＝2.
3．(全国卷Ⅱ)若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
解析：选C　由题意得双曲线的离心率e＝.
即e2＝＝1＋.
∵a＞1，∴0＜＜1，
∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.
4．(全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
解析：选A　由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m20)的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选C　将x＝c代入双曲线方程可得|y|＝，因为以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，所以圆的半径为，又双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，所以＝，化简可得a＝b，则双曲线的离心离为.
6．(东北四校联考)已知点F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|＝|F1F2|，∠F1F2P＝120°，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　如图，在△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，又∠F1F2P＝120°，由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·cos 120°＝12c2，所以|PF1|＝2c.由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝2c－2c＝2(－1)c.故双曲线的离心率e＝＝＝.
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若存在最小值为12a，则双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　设|PF1|－|OA|＝m，则＝＝m＋＋6a≥12a，
当且仅当m＝3a时取等号，∴|PF1|＝4a，
∴4a≥c－a，∴5a≥c，
∴25a2≥a2＋b2，∴≤2，
设双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角为α，
则0＜tan α≤2，∴cos α≥，
∴双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为.
8．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F作与x轴垂直的直线l与两条渐近线相交于A，B两点，P是直线l与双曲线的一个交点．设O为坐标原点，若有实数m，n，使得＝m＋n，且mn＝，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意可知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)，渐近线方程为y＝±x，
则A，B，
所以＝m＋n＝，
可得P，
代入双曲线方程－＝1，
得－＝1，
由e＝，整理得：4e2mn＝1，
又mn＝，所以e＝.
二、填空题
9．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．
解析：由题意得，双曲线的右准线x＝与两条渐近线y＝±x的交点坐标为.
不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，
则F1(－2,0)，F2(2,0)，
故四边形F1PF2Q的面积是
|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2.
答案：2
10．(山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p
＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以y1＋y2＝，所以＝p，
即＝，故＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
11．已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2－|PF2|2＝c2，则双曲线的离心率e＝__________.
解析：设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，F2(c,0)到渐近线的距离为d＝|PF2|＝＝b，cos∠POF2＝＝，
在△POF1中，|PF1|2＝|PO|2＋|OF1|2－2|PO|·|OF1|·cos∠POF1＝a2＋c2－2ac·＝3a2＋c2，
则|PF1|2－|PF2|2＝3a2＋c2－b2＝4a2＝c2，
∴e＝＝2.
答案：2
12．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线的离心率e的取值范围为__________．
解析：设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为(c,0)，
将x＝c代入双曲线－＝1，得y＝±，
令A，B，
∴|AB|＝.将x＝c代入y＝±x，得y＝±，
令C，D，
∴|CD|＝.
∵|AB|≥|CD|，∴≥·，即b≥c，
则b2＝c2－a2≥c2，
即c2≥a2，∴e2＝≥，即e≥.
答案：
三、解答题
13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.
解：(1)∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，
∴解得c＝3，b＝，
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)，
∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为
y＝(x－3)．
联立得5x2＋6x－27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
所以|AB|＝× ＝.
14．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得
∴k2＜1且k2≠.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝.
又∵·＞2，即x1x2＋y1y2＞2，
∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.

1．(江西吉安一中测试)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0,1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0,1)，不等式t＋＝.因为对任意x∈(0,1)，不等式t2，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设M(x0，y0)，A1(0，a)，A2(0，－a)，
则kMA1＝，kMA2＝，
∴kMA1·kMA2＝ >2.(*)
又点M(x0，y0)在双曲线－＝1上，
∴y＝a2，代入(*)式化简得，＞2，
∴＜，
∴＝e2－1＜，
解得1＜e＜.
3．已知双曲线－＝1与点M(5,3)，F为右焦点，若双曲线上有一点P，则|PM|＋|PF|的最小值为__________．
解析：双曲线－＝1，焦点在x轴上，a＝3，b＝3，c＝＝6.
∴双曲线的离心率e＝＝2，右准线l：x＝＝，
过P作PN⊥l于点N，

由双曲线的第二定义可知：＝e，
∴|PF|＝e|PN|＝2|PN|,
∴|PN|＝|PF|，
因此|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PN|，
当且仅当M，N，P三点共线时，|PM|＋|PF|＝|MN|时取得最小值，
∴|PM|＋|PF|的最小值为5－＝.
答案：
高考研究课(三)
抛物线命题3角度——求方程、研性质、用关系
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
抛物线的标准方程
未独立考查

抛物线的几何性质
5年6考
焦半径、弦长、面积等问题
直线与抛物线的位置关系
5年2考
抛物线的切线、存在性问题


抛物线的标准方程及几何性质
[典例]　(1)(宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x　　　　　　　　 B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
(2)(兰州双基过关考试)抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．4　　　　B．8　　　　C．16　　　　D．32
[解析]　(1)若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.
(2)设抛物线的准线方程为x＝－(p＞0)，则根据抛物线的性质有＋6＝10，解得p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.
[答案]　(1)D　(2)B
[方法技巧]
1．求抛物线方程的3个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．　　
2．记住与焦点弦有关的5个常用结论
如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F，有以下结论：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
[即时演练]
1．(辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是＝.
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率为(　　)
A．2 B．2
C．±2 D．±2
解析：选C　如图，当点A在第一象限．
过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，
过A作EB的垂线，垂足为C，
则四边形ADEC为矩形．
由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，
|BE|＝|BF|，
又∵|AF|＝2|BF|，
∴|AD|＝|CE|＝2|BE|，即B为CE的中点，
∴|AB|＝3|BC|.
在Rt△ABC中，|AC|＝2|BC|，
∴直线l的斜率为2.
当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为－2，
∴直线l的斜率为±2.

抛物线的定义及应用　　　　　
与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等.,常见的命题角度有：
(1)到焦点与定点距离之和最小问题；
(2)到焦点与动点距离之和最小问题；
(3)焦点弦中距离之和最小问题.
角度一：到焦点与定点距离之和最小问题
1．(赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(　　)
A．(0,0)　　　　　　　　　 B.
C．(1，) D．(2,2)
解析：选D　过M点作左准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
角度二：到焦点与动点距离之和最小问题
2．(邢台摸底)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
解析：依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.
答案：5
角度三：焦点弦中距离之和最小问题
3．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
答案：2
[方法技巧]
与抛物线有关的最值问题的2个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．　　

直线与抛物线的位置关系
[典例]　(浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
[思路点拨]　(1)由两点求斜率公式可得AP的斜率为x－，又－0.
(1)当t＝4时，
椭圆E的方程为＋＝1，A(－2,0)．
由已知及椭圆的对称性知，
直线AM的倾斜角为.
因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
(2)由题意t>3，k>0，A(－，0)．
将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1，
得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x1·(－)＝，
得x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝.
由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|，
得＝，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当k＝时上式不成立，
因此t＝.
t>3等价于＝0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意，可得弦AB的中点坐标为，
且＝，＝－.
将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得＝－·＝－2×＝3，
所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．经过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为________．
解析：∵经过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，
倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，
∴根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝x平行，
∴＝tan 60°＝，即b＝a，
∴c＝＝2a，故e＝＝2.
答案：2
9．抛物线x2＝4y与直线x－2y＋2＝0交于A，B两点，且A，B关于直线y＝－2x＋m对称，则m的值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2),
联立消去y，得x2－2x－4＝0.
则x1＋x2＝2，＝1.
∴y1＋y2＝(x1＋x2)＋2＝3，＝.
∵A，B关于直线y＝－2x＋m对称，
∴AB的中点在直线y＝－2x＋m上，
即＝－2×1＋m，解得m＝.
答案：
三、解答题
10．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F2(c,0)垂直于x轴的直线与椭圆交于P，Q两点且|PQ|＝，又过左焦点F1(－c,0)作直线l交椭圆于两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．
解：(1)由题意可知|PQ|＝＝.①
又椭圆的离心率e＝＝ ＝，则＝，②
由①②解得a2＝3，b2＝2，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)可知左焦点F1(－1,0),
依题意，直线l不垂直x轴，当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，则直线AB的方程可设为y＝－x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得(2k2＋3)x2－6kmx＋3k2m2－6k2＝0，
Δ＝(－6km)2－4×(2k2＋3)(3k2m2－6k2)＞0，
则m2k2－2k2－3＜0，③
x1＋x2＝，x1x2＝.
设AB的中点为C(xC，yC)，
则xC＝＝，yC＝.
∵点C在直线l上，∴＝k，
则m＝－2k－，④
此时m2－2－＝4k2＋＋10＞0与③矛盾，故k≠0时不成立.
当直线l的斜率k＝0时，A(x0，y0)，B(x0，－y0)(x0＞0，y0＞0)，
∴△AOB的面积S＝·2y0·x0＝x0y0.
∵＋＝1≥2 ＝x0y0，∴x0y0≤.
当且仅当＝＝时取等号．
∴△AOB的面积的最大值为.
11．已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，求直线l的方程．
解：(1)抛物线E：y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，
由抛物线的定义可知3－ ＝4，
解得p＝2，∴抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，
设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减，整理得 ＝(x1≠x2)．
∵线段AB中点的纵坐标为－1，
∴直线l的斜率kAB＝＝＝－2，
∴直线l的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.
法二：由(1)得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，
设直线l的方程为x＝my＋1，
由消去x，得y2－4my－4＝0.
设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵线段AB中点的纵坐标为－1，
∴＝＝－1，
解得m＝－，
∴直线l的方程为x＝－y＋1，即2x＋y－2＝0.
12．(海口调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当·＝0时，求点P的坐标．
解：(1)由题意可知
解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，
把y＝k(x－2)代入椭圆方程＋＝1，
整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
所以2＋x1＝⇒x1＝，则D，
所以BD中点的坐标为，
则直线BD的垂直平分线方程为
y－＝－，得P.
又·＝0，
即·＝0，
化简得＝0⇒64k4＋28k2－36＝0，
解得k＝±.
故P或.

1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x＝2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q.记λ＝，若直线l的斜率k≥，则λ的取值范围为__________．
解析：∵椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，
∴解得a＝，b＝c＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
∵过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，
∴设直线l的方程为y＝k(x－1)，
联立得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0,
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞y2，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴λ＝＝
＝
＝
＝
＝＝ .
∵k≥，
∴当k＝时，λmax＝ ＝，
当k→＋∞时，λmin→，
∴λ的取值范围是.
答案：
2．已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x＝－2的距离小1.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N.设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
(3)在(2)的条件下，求△FPQ面积的最小值．
解：(1)由题意可知，动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x＝－1的距离，根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线，
所以点M的轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)证明：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则点P的坐标为.
由题意可设直线l1的方程为y＝k(x－1)，k≠0，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0.
因为直线l1与曲线C交于A，B两点，
所以x1＋x2＝2＋，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝.
所以点P的坐标为.
由题知，直线l2的斜率为－，同理可得点Q的坐标为(1＋2k2，－2k)．
当k≠±1时，有1＋≠1＋2k2，此时直线PQ的斜率
kPQ＝＝.
所以直线PQ的方程为y＋2k＝(x－1－2k2)，
整理得yk2＋(x－3)k－y＝0.
于是直线PQ恒过定点E(3,0)；
当k＝±1时，直线PQ的方程为x＝3，也过点E(3,0)．
综上所述，直线PQ恒过定点E(3,0)．
(3)由(2)得|EF|＝2，
所以△FPQ面积S＝|EF|
＝2≥4，
当且仅当k＝±1时，“＝”成立，
所以△FPQ面积的最小值为4.
高考研究课(五)
圆锥曲线的综合问题——最值、范围、证明问题
[全国卷5年命题分析]

考点
考查频度
考查角度
最值问题
5年2考
求面积最值
范围问题
5年2考
求面积的范围、求参数范围
证明问题
5年3考
证明直线过定点、证明定值、证明等式


最值问题
[典例]　(山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.

(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
[思路点拨]　(1)由离心率为，得a2＝2(a2－b2)，由椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2，得a2－＝2，求得椭圆的方程为＋＝1；
(2)由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，确定D，|ND|2＝，然后求的范围，即可得到sin∠NDF的范围，确定其最小值就可求出∠EDF的最小值．
[解]　(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)．
又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，
所以a2＝4，b2＝2，
因此椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程消去y，
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，
由Δ＞0得m2＜4k2＋2.　(*)
且x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝，
所以D，
又N(0，－m)，
所以|ND|2＝2＋2，
整理得|ND|2＝.
因为|NF|＝|m|，
所以＝＝1＋.
令t＝8k2＋3，t≥3.
故2k2＋1＝，
所以＝1＋＝1＋.
令y＝t＋，
所以y′＝1－.
当t≥3时，y′＞0，
从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，
因此t＋≥，
当且仅当t＝3时等号成立，此时k＝0，
所以≤1＋3＝4，
由(*)得－＜m＜且m≠0，
故≥，
设∠EDF＝2θ，
则sin θ＝≥，
所以θ的最小值为.
从而∠EDF的最小值为，此时直线l的斜率是0.
综上所述：当k＝0，m∈(－，0)∪(0，)时，∠EDF取到最小值.
[方法技巧]
最值问题的3个求解方法
(1)建立函数模型：利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
(2)建立不等式模型：利用基本不等式求最值．
(3)数形结合：利用相切、相交的几何性质求最值．　　
[即时演练]
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与y2＝4x的焦点重合，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(－1,0)，求△OPQ面积的最大值(O为坐标原点)．
解：(1)∵抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，
故c＝，
∴a2＝b2＋3.①
∵点在椭圆C上，
∴＋＝1.②
联立①②解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，P，Q的中点为(x0，y0)，
将直线y＝kx＋m代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
∴Δ＝16(1＋4k2－m2)＞0，()
x1＋x2＝－，x1x2＝，
则x0＝(x1＋x2)＝－，
y0＝kx0＋m＝.
∵(－1,0)是以PQ为对角线的菱形的一顶点，且不在椭圆上，
∴＝－，即3km＝1＋4k2，代入()得k2>.
又O到直线的距离为d＝，
则S△OPQ＝d|PQ|
＝··
＝ ＝ ，
当＝，即k＝±时，(S△OPQ)max＝1，
∴△OPQ面积的最大值1.

范围问题
[典例]　已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)离心率为，过点E(－，0)的椭圆的两条切线相互垂直.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若存在过点(t,0)的直线l交椭圆于A，B两点，使得FA⊥FB(F为右焦点)，求t的取值范围.
[思路点拨]　(1)由椭圆的离心率公式，求得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，由椭圆的对称性可知：ME的直线方程为y＝x＋，代入椭圆方程，由Δ＝0，即可求得c值，求得a和b，得椭圆方程；
(2)设l的方程为x＝my＋t，代入椭圆方程，利用根与系数的关系及向量数量积的坐标运算，即可求得t的取值范围．
[解]　(1)由椭圆的离心率e＝＝，
得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2.
不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，由椭圆的对称性知kME＝1，直线ME的方程为y＝x＋，
联立消去y，
整理得7x2＋8x＋28－12c2＝0，
由Δ＝(8)2－4×7×(28－12c2)＝0，得c＝1，
∴a＝2，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x，
整理得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝.
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋(mt－m)(y1＋y2)＋t2－2t＋1＝0，
∴(m2＋1)(3t2－12)＋(mt－m)(－6mt)＋(t2－2t＋1)·(3m2＋4)＝0，
化简得7t2－8t－8＝9m2.
要满足题意，则7t2－8t－8＝9m2有解，
∴7t2－8t－8≥0，解得t≥或t≤.
∴t的取值范围为 ∪.
[方法技巧]
求参数范围的4个常用方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．
(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．　　
[即时演练]
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且|PF|max·|QF|min＝.
(1)求椭圆的长轴与短轴的比值；

(2)如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求的取值范围．
解：(1)设F(c,0)，
则|PF|max＝a＋c，|QF|min＝a－c，
∴a2－c2＝.
∵b2＋c2＝a2，∴a2＝4b2，
∴长轴与短轴的比值为2a∶2b＝2.
(2)由(1)知a＝2b，可设椭圆方程为＋＝1.
依题意，直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为y＝k(x－c)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消去y，
得(4k2＋1)x2－8k2cx＋4k2c2－4b2＝0，
则x1＋x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2c)＝－，
∴M.
∵MD⊥PQ，设D(x3,0)，
∴·k＝－1，
解得x3＝，∴D.
∵△DMF∽△DOE，
∴＝＝＝>，
∴的取值范围为.

证明问题
[典例]　(北京高考)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
[思路点拨]　(1)根据条件可知a＝2，＝，以及b2＝a2－c2，求得椭圆C的方程；
(2)设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)，根据条件求直线DE的方程，与直线BN的方程联立，求得两条直线的交点E的纵坐标，又＝，所以可将△BDE与△BDN的面积分别用点E，N的纵坐标表示出来即可得证．
[解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|，
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
[方法技巧]
圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．　　
[即时演练]
(成都一诊)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.
解：由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．
(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.
∴直线l1的方程为y＝x－1.
代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴|AB|＝·
＝× ＝.
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．
代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，
∴＝，∴y0＝.
而y0－y2＝－y2＝－k(x2－1)
＝
＝＝0.
∴直线BN∥x轴，即BN⊥l.

1．(2014·全国卷Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，
x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝.
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，
S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ的面积最大时，
l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
2．(2013·全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，
所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为＋＝1.
(2)由解得或
因此|AB|＝.
由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由
得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x3,4＝.
因为直线CD的斜率为1，
所以|CD|＝|x4－x3|＝.
则四边形ACBD的面积
S＝|CD|·|AB|＝·.
当n＝0时，S取得最大值，最大值为.
所以四边形ACBD面积的最大值为.
3．(全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝|x1－x2|＝.
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，点A到直线m的距离为，
所以|PQ|＝2＝4.
故四边形MPNQ的面积
S＝|MN||PQ|＝12.
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，
故四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．

1．已知A，B分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴与短轴的一个端点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，D是椭圆上的一点，△DF1F2的周长为6，|AB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P是圆x2＋y2＝7上任一点，过点P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，求证：PM⊥PN.
解：(1)由△DF1F2的周长为6，得2a＋2c＝6，
由|AB|＝，得a2＋b2＝7，
又b2＋c2＝a2，∴a＝2，b＝，c＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：①当切线PM的斜率不存在或为零时，此时取P(2，)，
显然直线PN：y＝与直线PM：x＝2恰是椭圆的两条切线．
由圆及椭圆的对称性，可知PM⊥PN.
②当切线PM，PN斜率存在且不为零时，
设切线PM的方程为y＝k1x＋m，
PN的方程为y＝k2x＋t，P(x0，y0)(x0≠±2)，
由消去y，
得(4k＋3)x2＋8k1mx＋4(m2－3)＝0，
∵PM与椭圆C相切，
∴Δ＝64km2－16(4k＋3)(m2－3)＝0，
∴m2＝4k＋3.
∵y0＝k1x0＋m，∴m＝y0－k1x0，
∴(y0－k1x0)2＝4k＋3.
即(x－4)k－2x0y0k1＋y－3＝0；
同理(x－4)k－2x0y0k2＋y－3＝0，
∴k1，k2是方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－3＝0的两个根，
又∵点P在圆上，
∴x＋y＝7，
∴y＝7－x，
∴k1k2＝＝＝－1，
∴PM⊥PN.
综上所述，PM⊥PN.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆M：x2＋2＝上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|＋|CD|的最小值．
解：(1)由题意可知2b＝2，b＝1.
又椭圆C的顶点在圆M上，则a＝，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)当直线AB的斜率不存在或为零时，
|AB|＋|CD|＝3；
当直线AB的斜率存在，且不为零时，设直线AB的方程为
y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2),
联立消去y，整理得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
故|AB|＝·＝.
同理可得：|CD|＝，
∴|AB|＋|CD|＝.
令t＝k2＋1，则t＞1,0b>0)，
由|AB|＝4，|F1F2|＝2，可知a＝2，c＝，
则b＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设D(x1，y1)，C(x2，y2)，易知N(0，m)，M，
由消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ＞0，得4k2－m2＋1＞0，即m2＜4k2＋1，
且x1＋x2＝，x1x2＝.
又|CM|＝|DN|，即＝，可得x1＋x2＝－，
即＝－，解得k＝.
(3)＝＝
＝＝＝2.
由题知，点M，F1的横坐标xM≥xF1，有－2m≥－，
则m∈，满足m2＜2.
即＝－＝－1＋，则∈(1,7＋4]，
所以的取值范围为(1,97＋56]．

　已知椭圆C：
＋＝1(a＞b＞0)的右准线l的方程为x＝，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过定点B(1,0)作直线l与椭圆C相交于P，Q(异于A1，A2)两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M(2x0，y0)．
①试用x0，y0表示点P，Q的坐标；
②求证：点M始终在一条定直线上．
解：(1)由解得或
故椭圆C的方程为＋y2＝1或＋y2＝1.
(2)①不妨取椭圆C的方程为＋y2＝1，A1(－2,0)，A2(2，0),
则MA1的方程为：y＝(x＋2)，
即x＝y－2，代入＋y2＝1,
得2＋y2＝1，
即y2－y＝0.
∴yP＝＝，
则xP＝·－2＝－2.
即P.
同理：MA2的方程为y＝(x－2)，
即x＝y＋2，代入＋y2＝1,
得2＋y2＝1，
即y2＋y＝0.
∴yQ＝＝.
则xQ＝·＋2＝＋2.
即Q.
②证明：设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，
∵P，Q，B三点共线，∴kPB＝kQB，即＝.
∴＝，
即＝.
由题意知，y0≠0，
∴＝.
即3(x0＋1)(x0－1)2－(x0＋1)y＝(x0－1)(x0＋1)2－3(x0－1)y.
∴(2x0－4)(x＋y－1)＝0.
则2x0－4＝0或x＋y＝1.
若x＋y＝1，即＋y＝1，
则P，Q，M为同一点，不合题意．
∴2x0－4＝0，即点M始终在定直线x＝4上．
高考研究课(六)
圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
定点问题
未考查
直线过定点
定值问题
5年2考
证明斜率积为定值、证定值
探索性问题
5年2考
探索点的存在性问题


定点问题
[典例]　已知右焦点为F的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M，直线x＝a与抛物线C1：x2＝y交于点N，且＝，其中O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于A，B两点．若直线l与x轴垂直，过点P(4,0)的直线PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点．
[解]　(1)设N(a，y0)，连接MN，由＝，得四边形OMNF为平行四边形，则y0＝，
将N代入抛物线方程，得a2＝4，
解得a＝2，
再将M代入椭圆方程，得＋＝1，
解得b2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：由题意，直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y＝k(x－4)，B(x1，y1)，E(x2，y2)，则A(x1，－y1)．
联立消去y，整理得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.①
又直线AE的方程为y－y2＝(x－x2)，
令y＝0，得x＝x2－，
由y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4),
得x＝，
即x＝＝1，∴x＝1，
∴直线AE与x轴相交于定点(1,0)．
[方法技巧]
定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．　　

[即时演练]如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A(2,1)作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B，C两点．
(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；
(2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．
解：(1)设抛物线E的标准方程为x2＝ay，a＞0，
将A(2,1)代入得，a＝4.
所以抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1.
(2)证明：由题意得，直线AB的方程为y＝k1x＋1－2k1，
直线AC的方程为y＝k2x＋1－2k2，
联立
消去y，得x2－4k1x－4(1－2k1)＝0，
解得x＝2或x＝4k1－2，
因此点B，
同理可得C.
于是直线BC的斜率k＝＝＝k1＋k2－1，
又k1＋k2＝k1k2，所以直线BC的方程为y－(2k2－1)2＝(k1k2－1)·，
即y＝(k1k2－1)x－2k1k2－1＝(k1k2－1)(x－2)－3.
故直线BC恒过定点(2，－3).

定值问题
[典例]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
[解]　(1)由题意得解得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设P(x0，y0)，则x＋4y＝4.
当x0≠0时，
直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，
从而|BM|＝|1－yM|＝.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
从而|AN|＝|2－xN|＝.
所以|AN|·|BM|＝·
＝
＝＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
综上，|AN|·|BM|为定值．
[方法技巧]
求定值问题常见的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．　　
[即时演练]
设抛物线C1：y2＝8x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2.以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记为C2.
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设N(0，－2)，过点P(1,2)作直线l，交椭圆C2于异于N的A，B两点．
①若直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值；
②以B为圆心，以BF2为半径作圆B，是否存在定圆M，使得圆B与圆M恒相切？若存在，求出圆M的方程，若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得F1(－2,0)，F2(2,0)．
令椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得
所以椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)①证明：当直线l的斜率不存在时，l：x＝1,
由得或
不妨取A，B，
此时，k1＝＋2，k2＝－＋2，所以k1＋k2＝4.
当直线l的斜率存在时，设l：y－2＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，整理得(1＋2k2)x2＋(8k－4k2)x＋2k2－8k＝0，
则Δ＝(8k－4k2)2－4(1＋2k2)(2k2－8k)＞0，
得k＞0或kb>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程．
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知，C(0，－b)，D(0，b)．
又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1，
于是解得a＝2，b＝.
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而·＋λ·
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＝－－λ－2.
所以当λ＝1时，－－λ－2＝－3.
此时·＋λ·＝－3为定值．
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.
此时，·＋λ·＝·＋·
＝－2－1＝－3.
故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.
[方法技巧]
解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在．　　
角度二：探索是否存在点或直线的问题
2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝2与y的轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过焦点F的直线l的斜率为－1，判断C上是否存在两点M，N，使得M，N关于直线l对称，若存在，求出|MN|的值，若不存在，说明理由．
解：(1)设Q(x0,2)，代入y2＝2px，得x0＝，
所以|PQ|＝，|QF|＝＋，
所以＋＝2×，
解得p＝2或p＝－2(舍去)，
所以C的方程为y2＝4x.
(2)由已知得，直线l的方程为x＋y－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则kMN＝＝，
∵M，N关于直线l对称，∴MN⊥l，∴＝1.①
∵MN的中点T的坐标为，中点T在直线l上，∴＝－＋1.②
由①②可得y1＋y2＝4，y1y2＝4，
∴y1，y2是方程y2－4y＋4＝0的两个根，此方程有两个相等的根，
∴C上不存在M，N，使得M，N关于直线l对称.
[方法技巧]
探索是否存在直线时要注意判断直线的斜率是否存在．探究是否存在点时要注意利用特殊情况先判断再证明或直接判断．　　
角度三：探索最值或定值的存在性问题
3．(湖南六校联考)如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的任一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.

(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为k1，k2，求证：k1k2为定值；
(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
解：(1)证明：因为直线OP：y＝k1x与圆M相切，
所以＝，
化简得(x－2)k－2x0y0k1＋y－2＝0，
同理(x－2)k－2x0y0k2＋y－2＝0，
所以k1，k2是方程(x－2)k2－2x0y0k＋y－2＝0的两个不相等的实数根，所以k1·k2＝.
因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，
即y＝3－x，所以k1k2＝＝－.
即k1k2为定值－.
(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值为9.
理由如下：
法一：(ⅰ)当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立解得
所以x＋y＝，同理得x＋y＝，
由k1k2＝－，
得|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y＝＋＝＋＝＝9.
(ⅱ)当直线OP，OQ落在坐标轴上时，
显然有|OP|2＋|OQ|2＝9.
综上，|OP|2＋|OQ|2＝9.
法二：(ⅰ)当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为k1k2＝－，所以yy＝xx，
因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，
所以即
所以＝xx，整理得x＋x＝6，
所以y＋y＝＋＝3，
所以|OP|2＋|OQ|2＝9.
(ⅱ)当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9.
综上，|OP|2＋|OQ|2＝9.
[方法技巧]
解决探索性问题的注意事项
解决探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．　

1．(全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
解：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，
故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上．
因此解得
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由题设k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.
解得k＝－.
当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，
即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
解：(1)由题意知＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4，所以C的方程为＋＝1.
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1，
得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
3．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
解：(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)．
又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，
即x－y－a＝0.
y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，
即x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)存在符合题意的点．证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋
＝＝.
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，
则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，
所以点P(0，－a)符合题意．

1.如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，其中一个顶点为B(0,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ.试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.
解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得b＝1，
且e2＝＝＝ ，
解得a2＝4，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)直线PQ恒过定点．
法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将直线PQ的方程代入x2＋4y2＝4，
消去y，整理得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
则x1＋x2＝－，x1x2＝.①
因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，
所以·＝－1，
整理得 x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.②
因为y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m，y1y2＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2.③
将③代入②，整理得(1＋k2)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0.④
将①代入④，整理得5m2－2m－3＝0.
解得m＝－或m＝1(舍去)．
所以直线PQ恒过定点.
法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y＝kx＋1.
将直线BP的方程代入x2＋4y2＝4，消去y，得 (1＋4k2)x2＋8kx＝0.
解得x＝0或x＝.
设P(x1，y1)，所以x1＝，y1＝kx1＋1＝，
所以P.
以－替换点P坐标中的k，可得Q.
从而，直线PQ的方程是＝.
依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．
在上述方程中，令x＝0，解得y＝－.
所以直线PQ恒过定点.
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．
解：(1)由题意知，e＝＝，＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，此时，原点O到直线AB的距离为.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，
则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，
由OA⊥OB得kOA·kOB＝－1，即·＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝＝0，即m2＝(1＋k2)，
所以原点O到直线AB的距离为＝.
综上，原点O到直线AB的距离为定值.
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由e＝，得＝，
即c＝a，①
又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，
且该圆与直线2x－y＋6＝0相切，
所以a＝＝，代入①得c＝2，
所以b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，
使得2＋·＝(＋)·＝·为定值，
则·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)
＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)
＝，
要使上式为定值，即与k无关，
只需3m2－12m＋10＝3(m2－6)，
解得m＝，
此时， 2＋·＝m2－6＝－，
所以在x轴上存在定点E使得2＋·为定值，且定值为－.
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；
(3)过椭圆C1：＋＝1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2＋y2＝的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：＋为定值．
解：(1)由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1，①
又点P在椭圆C上，所以＋＝1，②
由①②可解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，
因为Δ＝16(12k2－3)>0，所以k2>，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为∠AOB为锐角，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，
所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0，
所以(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4>0，
即(1＋k2)·＋2k·＋4>0，
解得k2，所以0有解，即a>有解，所以a>min.令u(x)＝，则u′(x)＝≥0在[1，e]恒成立，∴u(x)min＝u(1)＝0，则a>0.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．
解析：由抛物线方程可得焦点坐标为(－3,0)，所以c＝3，则a2＝c2－1＝8，则双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x.
答案：y＝±x
14．在数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}前12项和等于________．
解析：法一：∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2－a1＝1，a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，a8－a7＝13，a9＋a8＝15，a10－a9＝17，a11＋a10＝19，a12－a11＝21，∴从第一项开始，相邻的两个式子作差得：a1＋a3＝a5＋a7＝a9＋a11＝2，即依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，相邻的两个式子相加得：a4＋a2＝8，a6＋a8＝24，a12＋a10＝40，即依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
以上式子相加可得，S12＝a1＋a2＋…＋a12＝(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋(a9＋a11)＋(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＝3×2＋8＋24＋40＝78.
法二：由题意，当n为奇数时，an＋1－an＝2n－1，an＋2＋an＋1＝2n＋1，
两式相减得an＋2＋an＝2；
当n为偶数时，an＋1＋an＝2n－1，an＋2－an＋1＝2n＋1，
两式相加得an＋2＋an＝4n.
所以S12＝(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)
＝2×3＋4(2＋6＋10)＝78.
答案：78
15．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－1)2＋y2＝2，圆C2：(x－m)2＋(y＋m)2＝m2，若圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线PA，PB，切点为A，B，△ABP的面积为1，则正数m的取值范围为________．

解析：由已知得，C1(1,0)，C2(m，－m)，作出示意图如图所示，由题意可得|PA|2＝|PG|·|PC1|，
又|PA|2＝|PC1|2－2，
所以|PG|＝，
|AG|＝＝，所以S△PAB＝2×××＝1，令＝t(t≥0)，化简可得t3－t2－4＝0，解得t＝2，即＝2，所以|PC1|＝2，因为圆C2：(x－m)2＋(y＋m)2＝m2的点P到C1距离的最小值为|C1C2|－m＝－m, 最大值为|C1C2|＋m＝＋m，由－m≤2≤＋m，解得1≤m≤3＋2，所以正数m的取值范围为[1,3＋2]．
答案：[1,3＋2]
16．若函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________．
解析：由题意可知，函数y＝f(f(x))－1的零点，即为f(f(x))－1＝0的解，则或则f(x)＝0或f(x)＝2，显然或解得x＝1或x＝4，故所求零点个数为2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－.
(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f＝，且sin B＋sin C＝，求bc的值．
解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin，
因此f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由f＝2sin＝2sin A＝，且A为锐角，所以A＝.
由正弦定理可得2R＝＝＝，
sin B＋sin C＝＝，
则b＋c＝×＝13，
所以cos A＝＝＝，
所以bc＝40.
18．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝k·3n－m，且a1＝3，a3＝27.
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)若anbn＝log3an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)证明：∵Sn＝k·3n－m，
∴S1＝a1＝3k－m＝3，a3＝S3－S2＝18k＝27，
解得k＝m＝，
则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝·3n－·3n－1＝3n.
又a1＝3，∴∀n∈N*，an＝3n，
则有＝3为常数，故由等比数列的定义可知，数列{an}是等比数列．
(2)∵anbn＝log3an＋1，∴bn＝，
则Tn＝＋＋＋…＋＋，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减，得
Tn＝＋－
＝＋－＝－，
所以Tn＝.
19．(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．
(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1­AEF的体积．
解：(1)证明：∵B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，
∴B1B⊥AE.
∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC.
∵B1B∩BC＝B，B1B⊂平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，
∴AE⊥平面B1BCC1.
∵AE⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)∵VB1­AEF＝VA­B1EF，AE＝，
S△B1EF＝S▱B1BCC1－S△B1BE－S△FEC－S△FB1C1
＝4－1－－1＝，
∴VB1­AEF＝VA­B1EF＝××＝.
20．(本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．
解：(1)由题意，得解得
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l：x＝ky＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x，得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，
则Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0，且y1＋y2＝，y1y2＝，
∵＝λ，∴y1＝λy2.
∴＝＋＋2＝，
从而λ＋＋2＝.
由λ∈[－2，－1]，得∈，
从而－≤≤0，解得0≤k2≤.
∵＝＋＝(x1＋x2－4，y1＋y2)
＝，，
∴||2＝16－＋.
令t＝，≤t≤，
则||2＝8t2－28t＋16，
∵y＝8t2－28t＋16在上是减函数，
∴当t＝时，|QC|min＝2.
故对角线QC长度的最小值为2.
21．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆分别交于两点M，N，求·的取值范围．
解：(1)由题意知解得
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)①若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴，
则M，N，
∴＝，＝，故·＝.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去y，整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k(x1－1)·k(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2
＝＋＋1＋k2
＝＝－.
由k2≥0，可得·∈.
综合①②可知，·的取值范围为.
22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝xex－asin xcos x(a∈R，其中e是自然对数的底数)．
(1)当a＝0时，求f(x)的极值；
(2)若对于任意的x∈，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝ex(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

极小值


所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝－，无极大值．
(2)①当a≤0时，由于对于任意x∈，有sin xcos x≥0，所以f(x)≥0恒成立，即当a≤0时，符合题意；
②当0