【2023届必备】2023版高考一轮复习训练29　椭　圆

这是一份【2023届必备】2023版高考一轮复习训练29　椭　圆，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
训练29　椭　圆一、单选题1．点P为椭圆＋＝1上一点，F为焦点，则PF的最大值为(　　)A．1  B．3  C．5  D．7答案　C解析　∵＋＝1，∴a2＝9，b2＝5⇒c2＝4，即a＝3，c＝2，所以PF的最大值为a＋c＝3＋2＝5.2．(2022·新乡模拟)椭圆C：＋＝1(a>0)的焦点在x轴上，其离心率为，则(　　)A．椭圆C的短轴长为B．椭圆C的长轴长为4C．椭圆C的焦距为4D．a＝4答案　B解析　由椭圆的性质可知，椭圆C的短轴长为2，离心率e＝＝，则a2＝4，即a＝2，c2＝a2－3＝1，所以椭圆C的长轴长2a＝4，椭圆C的焦距2c＝2.3．(2022·江南十校模拟)已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若OP＝OF，∠POF＝120°，则椭圆C的离心率为(　　)A.  B.  C.－1  D.－1答案　D解析　记椭圆C的左焦点为E，在△POF中，可得PF＝＝c，在△POE中，可得PE＝c，故PE＋PF＝(＋1)c＝2a，故e＝＝＝－1.4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆相交于A，B两点．若AF＋BF＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为(　　)A.   B.C.   D.答案　C解析　设椭圆的左焦点为F′，P为短轴的上端点，连接AF′，BF′，如图所示．由椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，则OA＝OB，又OF′＝OF，∴四边形AFBF′为平行四边形，∴AF＝BF′，∴AF＋BF＝BF＋BF′＝2a＝6，解得a＝3，点P到直线l的距离d＝≥，解得b≥2，即＝≥2，∴0<c≤，∴e＝∈.二、多选题5．(2022·韶关模拟)设P是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，焦距为2c(c>0)，若∠F1PF2是直角，则(　　)A．OP＝c (O为原点)B．＝b2C．△F1PF2的内切圆半径r＝a－cD．(PF1)max＝a＋c答案　ABC解析　在Rt△F1PF2中，O为斜边F1F2的中点，所以OP＝F1F2＝c，故A正确；设PF1＝m，PF2＝n，则有m2＋n2＝(2c)2，m＋n＝2a，所以mn＝[(m＋n)2－(m2＋n2)]＝2b2，所以＝mn＝b2，故B正确；由＝(m＋n＋2c)·r＝b2，得r＝＝＝＝a－c，故C正确；当且仅当P为椭圆右顶点时，PF1＝a＋c，此时P，F1，F2不构成三角形，故D错误．6．已知O为坐标原点，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　　)A．离心率的取值范围为B．当离心率为时，QF1＋QP的最大值为4＋C．存在点Q使得·＝0D.＋的最小值为1答案　BD解析　因为长轴长为4，所以2a＝4，即a＝2，因为点P(，1)在椭圆内部，所以＋<1，又b<a，故可得<b<2.对于选项A，因为∈，故∈，e＝＝∈，故A不正确；对于选项B，当e＝，即＝＝时，解得c＝，所以F2，则PF2＝＝，由椭圆定义，得QF1＋QP＝4－QF2＋QP，如图所示，当点Q，F2，P共线且Q在x轴下方时，4＋QP－QF2取最大值4＋PF2，所以QF1＋QP的最大值为4＋，故B正确；对于选项C，若·＝0，则OQ＝F1F2＝c，由A选项知，a＝2，c＝ae∈(0，)，b∈，所以OQmin＝b>c，所以不存在点Q使得·＝0，故C不正确；对于选项D，由基本不等式可得(QF1＋QF2)·＝2＋＋≥4，当且仅当QF1＝QF2时取得等号．又QF1＋QF2＝4，所以＋≥1，故D正确．三、填空题7．(2022·南京模拟)已知椭圆＋＝1的右顶点为A，右焦点为F，以A为圆心，R为半径的圆与椭圆相交于B，C两点，若直线BC过点F，则R的值为________．答案　解析　由已知A(2,0)，F(1,0)，因为BC过焦点F，又由对称性知BC⊥x轴，所以BC＝＝＝3，FA＝1，所以R＝＝.8．(2022·蓉城模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在点M使△MF1F2的面积为b2，则椭圆C的离心率e的取值范围是____________．答案　解析　设F1(－c，0)，F2(c，0)，M(x，y)，则＝×F1F2×|y|＝c|y|，若存在点M使△MF1F2的面积为b2，则c|y|＝b2，可得|y|＝，因为0<|y|≤b，所以0<≤b，即b≤c，可得c2≥3b2＝3(a2－c2)，整理可得4c2≥3a2，所以e2＝≥，解得e≥，所以≤e<1，所以椭圆C的离心率e的取值范围是.四、解答题9．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆上的点到F2的最近距离为4，最远距离为16.(1)求椭圆方程；(2)P为该椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．解　(1)依题意知∴a＝10，c＝6.∴b＝8.∴所求椭圆方程为＋＝1.(2)∵∠F1PF2＝60°，∴F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos 60°，即PF＋PF－PF1·PF2＝144.∴(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝144.又PF1＋PF2＝20，∴PF1·PF2＝.∴＝PF1·PF2·sin 60°＝××＝.10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且该椭圆过点A.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称的点为点P′，若直线P′Q与x轴相交于点D，求△DPQ面积的最大值．解　(1)由椭圆的定义可得2a＝AF1＋AF2＝＋＝4，解得a＝2.又b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由题意可设直线l的方程为x＝my＋4(m≠0)．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P′(x1，－y1)．由消去x可得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0，∵Δ＝16(m2－12)>0，∴m2>12，∴y1＋y2＝－，y1y2＝，∵kP′Q＝＝，∴ 直线P′Q的方程为y＋y1＝(x－x1)．令y＝0，可得x＝＋4＝＋4＝1，∴D(1,0)，∴S△DPQ＝|S△BDQ－S△BDP|＝BD|y1－y2|＝＝，令t＝，t∈(0，＋∞)，则S△DPQ＝＝≤，当且仅当t＝4，即m＝±2时等号成立，∴△DPQ面积的最大值为.