人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时教案设计

《5.6函数》

第2课时        函数习题课

教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第六节《函数）》。以下是本节的课时安排：

二、学情分析

对学生而言，前面已经学习了正弦、余弦函数的图象及性质，掌握了作正弦、余弦函数图象的五点作图法，有了前面的基础，再对函数的图象与性质进行深入学习，学生学习起来还是比较感兴趣的．

三、学习目标

1.会用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象，培养直观想象的核心素养。

2.会根据函数图象求对应的函数解析式，提升逻辑推理的核心素养。

四、教学重点

重点：利用参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，求函数解析式；

       用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象。

难点：φ的求法的理解.

五、教学过程

（一）新知导入

复习引入

参数A，ω，φ的对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响

(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．

(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．

(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．

【想一想】“五点法”作正弦、余弦函数的图象时，需要作出哪五个点？

【提示】

【设计意图】通过复习函数图象的变换、正余弦函数图象的作法，引导学生思考函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的画法，引入本节新课。

（二）函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象

y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)五点的变化关系：

由图象作法可知：

1.A的取值与最值有关；

2.利用周期,求ω;

3.确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：

(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在升区间上还是在下降区间上)．

(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；

“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；

“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；

“第五点”为ωx＋φ＝2π.

【思考】函数的最大值、最小值与A的关系？

【提示】;

（三）典型例题

1.根据图象求解析式

例1.如图所示为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，则函数的一个解析式为                                                                                                       (　　)

A．f(x)＝2sin    B．f(x)＝2sin

C．f(x)＝2sin     D．f(x)＝2sin

【解析】由图象知A＝2，＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2，

∵图象过，∴2＝2sin，

∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

∴φ＝＋2kπ，k∈Z，

又∵0＜|φ|＜，∴φ＝.

∴函数解析式f(x)＝2sin.

【变式1】本例条件变为右图，问题不变．

【解析】由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，

所以ω＝2，又图象过点，所以f ＝3sin＝0，

所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin.

【变式2】本例条件不变，求f 的值．

【解析】由本例知f(x)＝2sin，

∴f ＝2sin＝2sin＝－.

【类题通法】由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式，关键在于确定参数A，ω，φ的值．

(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.

(2)因为T＝，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.

(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.

【巩固练习1】如图，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)的图象，由图中条件写出该函数的解析式．

【解析】由图象可得T＝3π，ω＝，A＝2，

将最高点坐标代入y＝2sin，

得2sin＝2，∴＋φ＝2kπ＋，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．

又－π<φ<π，∴φ＝.∴此函数的解析式为y＝2sin.

2.五点法作函数图象

例2. 用五点法作出函数y＝2sin的图象，并指出函数的单调区间．

【解析】(1)列表：

(2)描点．

(3)连线．用平滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示为该函数在一个周期内图象，然后将图象左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R内的图象．

可见在一个周期内，函数在上递减，又因为函数的周期为π，所以函数的递减区间为(k∈Z)．同理，递增区间为(k∈Z)．

【变式】已知方程2sin－1＝a，x∈有两解，求a的取值范围．

【解析】　构造函数y＝2sin及y＝a＋1，用五点作图法作出函数y＝2sin在上的图象如图．

显然要使y＝a＋1与图象有两个交点，

只须－2<a＋1<0或a＋1＝2.解得－3<a<－1或a＝1，即a的取值范围为{a|－3<a<－1或a＝1}.

【类题通法】用“五点法”作函数f(x)y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤

第一步：列表

第二步：在同一坐标系中描出各点．

第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．

【巩固练习2】　用“五点法”作出函数y＝2sin的图象．

【解析】令t＝＋，列表如下：

描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：

（四）操作演练  素养提升

1．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则(　　)

A．ω＝，φ＝  B．ω＝，φ＝

C．ω＝，φ＝  D．ω＝，φ＝

2. 已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是(　　)

3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝________.

4..利用“五点法”作函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象时，其五点的坐标分别为，，，，，则A＝________，T＝________.

答案：1.C  2.D  3. 3sin     4.　π

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

六、布置作业

完成教材：第239页  练习     第1，题

         第240 页   习题5.6  第2,4题