高中4.3 对数教案

《4.3.1对数的概念》教学设计

一．教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的第三节《对数》（第一课时）。以下是本节两个课时的安排：

二，学情分析

      学生已经学习了指数幂的运算及指数函数，在指数幂概念及运算的基础上，引入对数，符合学生的认知规律，也比较自然，但是有具体的实例归纳出对数的概念对学生的要求还是很高的。

三．学习目标

1、了解对数的概念；

2、会进行对数式与指数式的互化；

3、会求简单的对数值．

四．教学重点

重点：在指数幂的基础上得出并掌握对数的概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养。

难点：从不同的问题情境中提炼出对数的概念，并由指数幂的性质得出对数的性质。

五．教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

    对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.Napier也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍.”经过20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》(“Mirifici logarithmorum canonis descriptio”)中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(Nap­logX).

【想一想】对数的主要作用是什么？

提示：简化运算.

2. 探索交流，解决问题

【问题1】 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，

2个分裂成4个，4个分裂成8个…….

【思考1】（1）那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为16个，256个呢？

（2）如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？

【提示】  （1）N＝2x，4次，8次.。

（2）由2x＝N可知当N已知时，x的值即为分裂次数.

【设计意图】

 由问题引发学生思考：已知底数和幂，如何求指数？凸显学习新运算的必要性，培养学生数学抽象的核心素养。

（二）对数的概念

1.对数：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2.对概念的深度剖析：

（1）指数式ax＝N中a的取值在对数式中x＝logaN一样，不会发生改变，都是a>0，且a≠1.

指数函数值域为（0，+∞），所以真数N的取值是（0，+∞）．

（2）常用对数与自然对数：

以10为底的对数叫做常用对数，记作log10N，可简记为lg N；

以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，记作logeN，可简记为ln N．

（3）指数式和对数式的关系

若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.

【做一做】  　将下列指数式与对数式互化

(1)2－2＝；(2)102＝100；(3)ea＝16；(4)＝；(5)log39＝2；(6)logxy＝z(x>0且x≠1，y>0)．

解：　(1)log2＝－2.                     (2)log10100＝2，即lg 100＝2.

(3)loge16＝a，即ln 16＝a.              (4)log64＝－.

(5)32＝9.                             (6)xz＝y.    

【设计意图】

通过指数式与对数式的相互转化，加深学生对对数的理解。

【探究1】指数式和对数式互化时不变的量是哪个？

提示：底数。

（三）对数的性质

【思考2】1.对数的概念中，真数N需满足什么条件？为什么？

提示：真数N需满足由对数的定义：ax＝N(a>0，且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．

2.对数的概念中，如果，x的值是多少？时呢？

提示：　

3.如果将对数式x＝logaN代入到指数式ax＝N中会得到哪个式子？

提示：　.

【设计意图】

充分利用指数式和对数式的互化，得出对数的性质，培养学生数学抽象的核心素养。

对数的性质

1、零和负数没有对数．

2、1的对数为零；即loga1＝0．

3、底数的对数为1；即logaa＝1.

4、对数恒等式：.

【做一做】  求下列各式中的x值。

（1）若logx8＝3，则x＝________.

（2）logx25＝2        （3）2log3x＝4        （4）log2[log3(log2x)]＝1.

提示：（1）由指对互化知x3＝8，所以x＝2.   

      （2）由logx25＝2，得x2＝25.  ∵x>0，且x≠1，∴x＝5.

      （3）由2log3x＝4＝22，得log3x＝2，所以x＝32，即x＝9.

      （4）由log2[log3(log2x)]＝1，∴log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29.

【设计意图】

通过具体的例子，使学生掌握对数的性质.

（四）对数的概念及性质的应用

1.对数的概念

例1  若对数log(x－1)(2x－3)有意义，则x的取值范围是        ．

解：　由得得x>且x≠2.

所以x的取值范围是（，2）∪(2，＋∞)

【类题通法】对数的概念

(1)底数a>0，且a≠1；

(2)真数N的取值是（0，+∞）．

巩固练习1.方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为(　　)

A．－3           B．3            C．－1或3           D．1或－3

解析：B  由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，

解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.

2.指数和对数的互化

例2  将下列指数式与对数式互化：

(1)log216＝4； (2)＝－3； (3)43＝64； (4)－2＝16.

解：　(1)由log216＝4，可得24＝16.

(2)由＝－3，可得－3＝27.

(3)由43＝64，可得log464＝3.

(4)由－2＝16，可得＝－2.

【类题通法】指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

巩固练习2.若loga＝c，则下列等式正确的是(　　)

A．b5＝ac  B．b＝a5c  C．b＝5ac  D．b＝c5a

解析：B  由loga＝c，得ac＝，所以b＝a5c.

3.利用指数和对数的关系求值

例3  求下列各式中x的值：

(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x.

解：　(1)＝4－2＝.

(2)因为x6＝8，所以

(3)10x＝100＝102，于是x＝2.

延伸拓展：求下列各式中x的值

(1)logx16＝－4；（2）log(－1)＝x.

提示：(1)∵logx16＝－4，∴x－4＝16，即x4＝＝4，∴x＝.

（2）∵log(－1)＝x，∴(－1)x＝＝＝＝－1，

∴x＝1.

【类题通法】

要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．

巩固练习3.(1)计算log927；的值；

(2)求下列各式中x的值：

①log27x＝－；②log5x2＝2.

解：(1)  设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴2x＝3，x＝.

设，则＝81,＝34，∴＝4，x＝16.

(2)①∵log27x＝－，∴＝3－2＝.

②由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，

∴x＝5或x＝－5.

4.利用对数的性质及对数恒等式求值

例4  求下列各式中x的值：

(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)

解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.

(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.

(3)

【类题通法】(1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．logaN＝0⇒N＝1；logaN＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．

(2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：

巩固练习4.（1）计算：2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________.

（2）已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为(　　)

A.  1        B.  －1       C.   5           D.  

解析：（1）原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.

（2）A　由log3(log5a)＝0得log5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故＝1.

（五）操作演练  素养提升

1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确说法的个数为(　　)

A．1        B．2        C．3       D．4

2. （多选题）下列四个等式正确的是(　　)

A．lg(lg 10)＝0 B．lg(ln e)＝0

C．若lg x＝10，则x＝10   D．若ln x＝e，则x＝e2

3.若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(　　)

A．15       B．75      C．45      D．225

【答案】 1.C   ①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．

 2.AB    选项A.  lg(lg 10)＝lg 1＝0,正确；

选项B.  lg(ln e)＝lg 1＝0,正确；

选项C．若lg x＝10，则x＝1010,错误；

选项D．若ln x＝e，则x＝ee,错误.故只有AB正确．

3.C    由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.

【设计意图】

通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。

（六）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。

六．布置作业

完成教材：第123页  练习1,2,3