专题16 集合间的基本关系（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

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专题16集合间的基本关系
学习目标

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2.在具体情境中，了解空集的含义
3.能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用
知识精讲


高中必备知识点1：Venn图的优点及其表示

(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．

高中必备知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念


[知识点拨]　(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．
(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．
(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．
(5)若A⊆B，且A≠B，则AB．

高中必备知识点3：空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集．

高中必备知识点4：集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．
(2)对于集合A，B，C，
①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；
②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．
(3)若A⊆B，A≠B，则AB．
典例剖析


高中必会题型1：确定集合的子集、真子集

1．(1)已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况．
(2)已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6-a∈M，试求M所有可能的结果．
【答案】(1){1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}；(2){3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
(1)因为{1，2}⊆M，所以1∈M，2∈M，
又因为M⊆{1，2，3，4，5}，
所以M是含有1，2的{1，2，3，4，5}的子集，
故M的所有可能情况是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．
(2)若M只含1个元素，则M={3}；
若M只含2个元素，则M={1，5}，{2，4}；
若M只含3个元素，则M={1，3，5}，{2，3，4}；
若M只含4个元素，则M={1，2，4，5}；
若M含5个元素，则M={1，2，3，4，5}．
所以M可能的结果为：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
2．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.
【答案】见解析
集合{0,1,2}的所有子集为,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.
真子集为,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.
3．已知，则求：
(1)集合A的子集的个数，并判断Æ与集合A的关系
(2)请写出集合A的所有非空真子集
【答案】(1)8，ÆÜ (2)，，，，，
(1)的子集有Æ，，，，，，，共8个，
其中ÆÜ.
(2)集合A的所有非空真子集有，，，，，.
4．(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？
【答案】(1)见解析；(2)有个子集，个真子集.
(1)集合的所有子集有：、、、、、、、、、、、、、、、；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有个子集，个真子集.
5．举出下列各集合的一个子集：
(1)A={是立德中学的学生}；
(2)B={是三角形}；
(3)；
(4).
【答案】(1){是立德中学的女生}
(2){是直角三角形}
(3)
(4)
(1){是立德中学的女生}
(2){是直角三角形}
(3)
(4)

高中必会题型2：集合间关系的判断

1．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．
【答案】(1) AB(2) BA.
(1)∵A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，
B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥}，
∴利用数轴判断A、B的关系．
如图所示，AB.

(2)∵A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A，∴B＝{0,1,2}，∴BA.
2．判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(3)A＝{x|－1 【答案】(1)AÜB；(2)DÜBÜAÜC；(3)AÜB.
(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AÜB.
(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DÜBÜAÜC.

(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AÜB.
3．指出下列集合之间的关系：
，．
【答案】Ü
集合表示的是直线上的一些孤立的点的集合，
而集合表示的是直线上所有的点的集合，
因此Ü.
4．写出下列每对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)是对角线相等且互相平分的四边形，是有一个内角为直角的平行四边形．
【答案】(1)Ü ；(2)；(3)Ü ；(4)．
(1)因为B的每个元素都属于A，而且，所以Ü．
(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和，所以．
(3)在数轴上表示出区间E和F，如图所示．

由图可知Ü．
(4)如果，则是对角线相等且互相平分的四边形，所以是矩形，从而可知是有一个内角为直角的平行四边形，所以，因此．
反之，如果，则是有一个内角为直角的平行四边形，所以是矩形，从而可知是对角线相等且互相平分的四边形，所以，因此．
综上可知，．
5．已知集合，集合，试判断与之间的关系，并说明理由．
【答案】A是B的真子集.，理由见解析
因为，
则的几何意义是轴上的点到定点与点的距离之差．即．
∵三角形两边之差的绝对值小于第三边，
∴且，，三点不共线，即．
∴．即；
又，
∴A是B的真子集.

高中必会题型3：由集合间的关系求参数问题

1．设集合，不等式 的解集为.
(1)当时，求集合，.
(2)当时，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；(2).
(1)解：当时，，
解不等式得：，即.
(2)解：若，则有：
①，即，即，符合题意，
②，有，解得：.
综合①②得：.
2．设集合，，若，求实数a的值．
【答案】a≤－1或a＝1.
∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．
(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，
∴由根与系数的关系，得解得a＝1.
(2)当时，又可分为两种情况．
①当时，即B＝{0}或B＝{－4}，
当x＝0时，有a＝±1；
当x＝－4时，有a＝7或a＝1.
又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；
②当时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1.
综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a≤－1或a＝1.
3．设集合A={x|﹣x2+3x+10≥0}，B={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，若B⊆A，求实数a的取值范围
【答案】[﹣1，]
∵集合A={x|﹣x2+3x+10≥0}={x|﹣2≤x≤5}，
B={x|x2﹣3ax+2a2＜0}={x|(x﹣a)(x﹣2a)＜0}，
B⊆A，
∴当a=0时，B=∅，成立；
当a＜0时，B={x|2a＜x＜a}，
由B⊆A，得，解得﹣1≤a＜0，
当a＞0时，B={x|a＜x＜2a}，
由B⊆A，得，解得0＜a，
综上，实数a的取值范围是[﹣1，].
4．已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，求m的取值范围．
【答案】m≤1．
∵B⊆A，
若B＝∅，则m≤0，满足B⊆A，
若B≠∅，则m＞0，由B⊆A，得m≤1，解得，0＜m≤1．
综上所述：实数m的取值范围为m≤1．
5．设A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠∅且B⊆A，求a，b.
【答案】答案见解析
因为B≠∅，B⊆A，
所以B={﹣3}或{4}或{﹣3，4}.
当B={﹣3}时，，解得a=﹣3，b=9；
当B={4}时，，解得a=4，b=16；
当B={﹣3，4}时，，解得a=，b=﹣12.
对点精练

1．若集合A={1，3，x}，B={x2，1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
解析由B⊆A，知x2=3或x2=x，
解得x=±，或x=0，或x=1，
当x=1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x=1舍去.
故选：C
2．以下四个关系：∅∈{0}，0∈∅，{∅}{0}，∅{0}，其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
集合与集合间的关系是⊆，因此∅∈{0}错误；{∅}表示只含有一个元素(此元素是∅)的集合，所以{∅}{0}错误；空集不含有任何元素，因此0∈∅错误；∅{0}正确．因此正确的只有1个．
故选：A.
3．设集合A={1，x2}，B={x}，且B⊆A，则实数x为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．0或-1
【答案】A
因为B⊆A，所以x∈A，
所以x=1或x=x2，x2≠1，解得x=0．
故选：A.
4．已知集合，.若，则的值为( )
A．2 B．1
C．-1 D．-2
【答案】A
因为，所以集合为双元素集，
即
所以.
故选：A.
5．下列集合与集合相等的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
集合表示数字和的集合.
对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误；
对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误；
对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确；
对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误.
故选：C.
6．集合的真子集的个数是(　　)
A．16 B．8 C．7 D．4
【答案】C
解：∵，
的真子集为：共7个．
故选：C．
7．设A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x等于(　　)
A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．0或±2
【答案】D
因为A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，
若B⊆A，则x2＝4或x2＝x，解得x＝2或﹣2或1或0．
①当x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足B⊆A．
②当x＝1，集合A＝{1，4，1}不满足元素的互异性．
③当x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，满足B⊆A．
④当x＝﹣2，集合A＝{1，4，﹣2}，B＝{1，4}，满足B⊆A．
综上，x＝2或﹣2或0．
故选：D．
8．设集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，则(　　)
A．M⫋N B．M⫌N
C．M＝N D．以上都不正确
【答案】B
集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，故集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，
N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}＝{x|x＝2(2n±1)，n∈Z}，
故集合N的元素是2与奇数的乘积的集合，
故N⫋M，
故选：B．
9．对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{1，3}，B＝{2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是( )个.
A．14 B．12 C．13 D．11
【答案】A
∵A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，且A＝{1，3}，B＝{2，4}，
所以A×B＝{(1，2)，(1，4)，(3，2)，(3，4)}，
共有四个元素，
则点集A×B的非空真子集的个数是：24﹣2＝14.
故选：A.
10．设集合，，若AB，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
，，由数轴表示集合，作图如下：

由图可知，即的取值范围是
故选：A
11．已知集合，则下列式子表示正确的有( )
①；②；③；④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
因为，，，
对于①，显然正确；
对于②，，是集合与集合之间的关系，显然用不对；
对于③，，根据空集是任何集合的子集知正确；
对于④，，．根据子集的定义知正确．
故选：C．
12．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且AB，则a等于
A．1 B．0 C．－2 D．－3
【答案】C
【解析】
由题意得，选C.
13．当集合时，___________，___________，___________.
【答案】
详解：由已知，所以，∴，，从而，即，∴．
故答案为1，－1，0．
14．已知A=，B=，若B⊆A，则实数m的取值范围为___．
【答案】
∵A=，B=，B⊆A，
∴m≥2，
∴实数m的取值范围为．
故答案为：．
15．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________.
【答案】0或±1
因为A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2+2x+a=0仅有一根，当a=0时，方程化为2x=0，A={0}，符合题意；当a≠0时，Δ=4-4a2=0，解得a=±1. 此时A={-1}或{1}，符合题意. 综上所述a=0或a=±1.
故答案为：0或±1.
16．已知集合，若，则实数a的取值范围为___．
【答案】．
当时，方程化为，解得，此时，满足题意，
当时，要使，则，解得且，
所以使的实数a的取值范围为．
故答案为：．
17．已知集合，，若，求实数，的值.
【答案】或.
解：由已知，得(1)或.(2)
解(1)得或，
解(2)得或，
又由集合中元素的互异性
得或.
18．已知A＝{1，1+a，1+2a}，B＝{1，b，b2}，若A＝B，求a，b．
【答案】a＝，b＝
因为A＝B，则b＝1+a，b2＝1+2a，或b＝1+2a，b2＝1+a
①若b＝1+a，b2＝1+2a，
∴(1+a)2＝1+2a，
∴a＝0.
此时A中三个都是1，不符合集合元素的互异性.
②若b＝1+2a，b2＝1+a，
∴(1+2a)2＝1+a，
∴4a2+3a＝0，
由①知a＝0不成立，
∴a＝，b＝1+2a＝．
19．已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B⊆A，求实数a，b的值．
【答案】a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．
因为B={x|x2﹣ax+b＝0}，且B⊆A，
①当B中有一个元素时，B＝{1}或B＝{﹣1}
当B＝{1}时，，解得a＝2，b＝1；
当B＝{﹣1}时，，解得a＝﹣2，b＝1；
②当B中有两个元素时，B＝A，即B＝{﹣1，1}，，解得a＝0，b＝﹣1；
③当时，只需满足a2﹣4b＜0，
综上所述，a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．
20．已知P＝{x|2≤x≤6}，Q＝{x|a≤x≤a+1}若Q⊆P，求a的范围.
【答案】[2，5]
因为P＝{x|2≤x≤6}，Q＝{x|a≤x≤a+1}，且Q⊆P，
所以，
解得2≤a≤5
所以a的取值范围是[2，5]
21．已知集合,,，且,求的取值范围.
【答案】
若A=∅，则a＜-2，故B=C=∅，满足CB；
若A∅，即a-2，
由在上是增函数，得，即
①当时，函数在上单调递减，则，即，要使,必须且只需，解得，这与矛盾；
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；
综上所述，的取值范围是.
22．已知集合，，判断这两个集合之间的关系.
【答案】
因为，，所以.
因为，，所以.
故，，
所以.