专题02 分解因式-初升高数学衔接必备教材（解析版）

这是一份专题02 分解因式-初升高数学衔接必备教材（解析版），共18页。试卷主要包含了十字相乘法，首项系数不为1的十字相乘法等内容，欢迎下载使用。

专题02分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

高中必备知识点1：十字相乘法

要点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则.
要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，
则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号；
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
要点二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即
，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即
.
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号
里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

典型考题

【典型例题】
阅读与思考：将式子分解因式．
法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.
由，；
分析：这个式子的常数项，一次项系数，
所以.
解：.
法二：配方的思想.



.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）用两种方法分解因式：；
（2）任选一种方法分解因式：.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）法一：
,
法二：



,
（2）


.
或






.
【变式训练】
阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．
例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
运用上述方法分解因式：
（1）x2+6x+8；
（2）x2﹣x﹣6；
（3）x2﹣5xy+6y2；
（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．
【答案】（1）（2）；（3）（4）.
【解析】
解：；
；
；
．
故答案为：(1)(2)；(3)(4).
【能力提升】
由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
实例　分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试　分解因式：x2＋6x＋8；
(2)应用　请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
【答案】(1) (x+2)(x＋4)；(2) x＝4或x＝－1.
【解析】
(1)原式=(x+2)(x＋4)；　
(2)x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)＝0，所以x－4＝0或x＋1＝0，即x＝4或x＝－1.

高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法

1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：
3.提公因式的步骤：
（1） 确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）

4.注意事项：因式分解一定要彻底

典型考题

【典型例题】
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).
【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x＋1）；(3) (x＋1)
【解析】
（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．
故答案为：提公因式法，2次；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，
=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+ x(x+1)2003]
⋯
=
=（1+x）2005，
故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．
故答案为：（x+1）n+1．
【变式训练】
因式分解：
（1）16a2﹣4b2
（2）x3﹣2x2+x
（3）（a2﹣2b）2﹣（1﹣2b）2
【答案】（1）4（2a+b）（2a﹣b）；（2）x（x﹣1）2；（3）（a2﹣4b+1）（a+1）（a﹣1）．
【解析】
解：（1）原式＝4（4a2﹣b2）
＝4（2a+b）（2a﹣b）；
（2）x3﹣2x2+x
＝x（x2﹣2x+1）
＝x（x﹣1）2；
（3）（a2﹣2b）2﹣（1﹣2b）2
＝（a2﹣2b+1﹣2b）（a2﹣2b﹣1+2b）
＝（a2﹣4b+1）（a+1）（a﹣1）．
【能力提升】
分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5），求的值
【答案】（1）-2b（2a+4b-5）；（2）（n-m）（2n-m）；（3）3y（a-b）[5a-5b+1]；（4）6（n-m）2（m-n-2）；（5）0
【解析】
（1） = -2b（2a+4b-5）；
（2）=（n-m）（2n-m）；
（3）
（4）
（5）

高中必备知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解

若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.

典型考题

【典型例题】
因式分解：
【答案】
【解析】
解：原式
​
【变式训练】
分解因式：．
【答案】（x2-x+3）（x+1）（x-2）．
【解析】
原式=（x2-x+3）（x2-x-2）
=（x2-x+3）（x+1）（x-2）．
【能力提升】
阅读材料：
对于多项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式．但对于多项式x2＋2ax－3a2就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，再减去a2这项，使整个式子的值不变．
解题过程如下：
x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2(第一步)
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(第二步)
＝(x＋a)2－(2a)2(第三步)
＝(x＋3a)(x－a)．(第四步)
参照上述材料，回答下列问题：
(1)上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法(　　)
A．提公因式法 B．平方差公式法
C．完全平方公式法 D．没有因式分解
(2)从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：__________；
(3)请你参照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解．
【答案】(1)C；(2)平方差公式法；(3)(m－2n)(m－4n)．
【解析】
(1)C；
(2)平方差公式法；
(3)m2－6mn＋8n2
＝m2－6mn＋8n2＋n2－n2
＝m2－6mn＋9n2－n2
＝(m－3n)2－n2
＝(m－2n)(m－4n)．
专题验收测试题

1．下列分解因式正确的是（　　）
A．m4﹣8m2+64=（m2﹣8）2
B．x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）
C．4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2
D．a（x﹣y）﹣b（y﹣x）=（x﹣y）（a﹣b）
【答案】C
【解析】
A. 原式不能合并，错误；
B. 原式=(x2+y2)(x2−y2)=(x2+y2)(x+y)(x−y)，错误；
C. 原式=(2a−1)2，正确；
D. 原式=(x−y)(a+b)，错误.
故答案选C.
2．将b3﹣4b分解因式，所得结果正确的是（　　）
A．b（b2﹣4） B．b（b﹣4）2
C．b（b﹣2）2 D．b（b+2）（b﹣2）
【答案】D
【解析】
解：b3﹣4b＝b（b2﹣4）＝b（b+2）（b﹣2）．
故选：D．
3．下列各式因式分解正确的是( )
A．a2+4ab+4b2=(a+4b)2 B．2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2
C．3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b) D．a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)
【答案】D
【解析】
a2+4ab+4b2=(a+2b)2，故选项A不正确；
2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2不是因式分解，B不正确；
3a2-12b2=3(a+2b)(a-2b)，故选项C不正确；
a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)是因式分解，D正确，
故选D．
4．下列运算结果正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A选项：（a2）3=（a2）•（a2）•（a2）=a6，∴A选项的答案不对；
B选项：先默写完全平方公式；（a-b）2=a2-2ab+b2，∴B选项的答案不对；
C选项：提取公因数a2b；-3a2b-2a2b=（-2-3）a2b=-5a2b，∴C选项的答案正确；
D选项：提取公因数a2；-a2b+a2=（-b+1）a2  ，∴D选项的答案不对；
故选：C．
5．多项式3x2y﹣6y在实数范围内分解因式正确的是（　　）
A． B．3y（x2﹣2）
C．y（3x2﹣6） D．
【答案】A
【解析】
解：3x2y﹣6y
＝3y（x2﹣2）
＝3y（x+）（x﹣）
故选：A．
6．下列变形属于因式分解的是（　　）
A．4x+x＝5x B．（x+2）2＝x2+4x+4
C．x2+x+1＝x（x+1）+1 D．x2﹣3x＝x（x﹣3）
【答案】D
【解析】
解：A、是整式的计算，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确．
故选：D．
7．在实数范围内把二次三项式x2+x﹣1分解因式正确的是（　　）
A．（x﹣）（x﹣） B．（x﹣）（x+）
C．（x+）（x﹣） D．（x+）（x+）
【答案】D
【解析】
解：令x2+x-1=0，
解得：x1=，x2=，
则x2+x-1=（x+）．（x+）
故选：D．
8．下列分解因式正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：A、原式不能分解，错误；
B、原式，错误；
C、原式 ，正确；
D、原式，错误．
故选：C．
9．下列各式中，不是多项式2x2﹣4x+2的因式的是（　　）
A．2 B．2（x﹣1） C．（x﹣1）2 D．2（x﹣2）
【答案】D
【解析】
原式＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2。
故选：D．
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
解：∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，
∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，
∴（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，
∴a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，
∴（a-b）（a2+b2-c2）=0，
∴a-b=0或a2+b2-c2=0．
∴a=b或a2+b2=c2．
故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.
故选：C．
11．因式分解：＝___.
【答案】
【解析】
a2（a-b）-4（a-b）
=（a-b）（a2-4）
=（a-b）（a-2）（a+2），
故答案为：（a-b）（a-2）（a+2）．
12．分解因式：______．
【答案】
【解析】
解：．
故答案为：．
13．在实数范围内分解因式：xy2﹣3x＝_____．
【答案】x（y+）（y﹣）
【解析】
解：xy2﹣3x
＝x（y2﹣3）
＝x[y2﹣]
＝x（y+）（y﹣），
故填：x（y+）（y﹣），
14．分解因式：2a3b﹣8ab＝_____．
【答案】2ab(a+2)(a﹣2)
【解析】
解：原式＝2ab(a2﹣4)＝2ab(a+2)(a﹣2)，
故答案为：2ab(a+2)(a﹣2)．
15．把多项式分解因式的结果是__________．
【答案】
【解析】
==
故答案为：
16．分解因式：ab2﹣2a2b+a2＝___．
【答案】a（b2﹣2ab+a）．
【解析】
原式＝a（b2﹣2ab+a）．故答案为：a（b2﹣2ab+a）．
17．阅读下列材料，解决问题：
12345678987654321这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由1到9，是连续的自然数），到数9时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由9到1），它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数．记第一个橄榄数为a1＝1，第二个橄榄数为a2＝121，第三个橄榄数为a3＝12321……有趣的是橄榄数还是一个平方数，如1＝12，121＝112，12321＝1112，1234321＝11112……而且，橄榄数可以变形成如下对称式：


……
根据以上材料，回答下列问题
（1）11111112＝　 　；将123454321变形为对称式：123454321＝　 　．
（2）一个两位数（十位大于个位），交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数相加，就能得到橄榄数121，求这个两位数．
（3）证明任意两个橄榄数am，an的各数位之和的差能被m﹣n整除（m＝1，2…9，n＝1，2…9，m＞n）
【答案】（1）；（2）65，74，83，92；（3）任意两个橄榄数am，an的各数位之和的差能被m﹣n整除．
【解析】
（1）根据题中给出的定义，直接可得：
11111112＝1234567654321，123454321＝；
（2）设十位数字是x，个位数字是y，x＞y，
10x+y+10y+x＝11（x+y）＝121，
∴x+y＝11，
∴这个两位数是65，74，83，92；
（3）am的各数位之和1+2+3+…+m+（m﹣1）+…+2+1＝＝m2，
an的各数位之和1+2+3+…+m+（m﹣1）+…+2+1＝＝n2，
∴am，an的各数位之和的差为m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），
∵m＞n，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）能被m﹣n整除，
∴任意两个橄榄数am，an的各数位之和的差能被m﹣n整除．
18．如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值．
【答案】21.
【解析】
解：x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，得
A＝2，B＝﹣15．
3A﹣B＝3×2+15＝21．
故答案为：21．
19．阅读例题，回答问题：
例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝(x+3)(x+n)，则x2﹣4x+m＝x2+(n+3)x+3n．
∴
∴
∴另一个因式为x﹣7，m＝21．
仿照以上方法解答下面的问题：
已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k的值．
【答案】另一个因式为(x+4)，k的值为20．
【解析】
解：设另一个因式为(x+n)，得2x2+3x﹣k＝(2x﹣5)(x+n)＝2x2+(2n﹣5)x﹣5n，
则
解得：n＝4，k＝20，
故另一个因式为(x+4)，k的值为20．
20．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题，已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x＋n)，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
∴，
解得n＝－7，m＝－21，
∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21.
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2＋5x－m有一个因式是(3x－1)，求另一个因式以及m的值．
【答案】另一个因式为(x＋2)，m的值为2.
【解析】
解：设另一个因式为(x＋n)，
则3x2＋5x－m＝(3x－1)(x＋n)，
则3x2＋5x－m＝3x2＋(3n－1)x－n，
∴，
解得n＝2，m＝2，
∴另一个因式为(x＋2)，m的值为2.
21．阅读下列材料，解答下列问题：
材料1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式．如果把整式的乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程．
公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法．如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式．但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）
材料2．因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把c2﹣6c+8分解因式；
（2）结合材料1和材料2完成下面小题：
①分解因式：（a﹣b）2+2（a﹣b）+1；
②分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+3．
【答案】（1）(c-4)(c-2)；（2）①（a-b+1）2；②（m+n-1）（m+n-3）.
【解析】
（1）c2-6c+8
=c2-6c+32-32+8
=（c-3）2-1
=（c-3+1）（c-3+1）
=(c-4)(c-2)；
（2）①（a-b）2+2（a-b）+1
设a-b=t，
则原式=t2+2t+1=（t+1）2，
则（a-b）2+2（a-b）+1=（a-b+1）2；
②（m+n）（m+n-4）+3
设m+n=t，
则t（t-4）+3
=t2-4t+3
=t2-4t+22-22+3
=（t-2）2-1
=（t-2+1）（t-2-1）
=（t-1）（t-3），
则（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）．
22．已知x4+y4+2x2y2﹣2x2﹣2y2﹣15=0，求x2+y2的值．
【答案】x2+y2=5．
【解析】
∵x4+y4+2x2y2﹣2x2﹣2y2﹣15=0，
（x2+y2）﹣2（x2+y2）﹣15=0
（x2+y2﹣5）（x2+y2+3）=0
∴x2+y2﹣5=0，x2+y2+3=0，
∴x2+y2=5，x2+y2=﹣3（不合题意，舍去），
故x2+y2=5．