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2022-2023学年辽宁省本溪市八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年辽宁省本溪市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果a−b>0，那么下列不等式成立的是( )
A. a+b<0B. a+1>b+1C. a−b
3.不等式组解集为−1≤x<1，下列在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列等式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. a(x+y)=ax+ay
B. 2a(b+c)−3(b+c)=(2a−3)(b+c)
C. 15x5=3x2⋅5x3
D. a2+2a+1=a(a+2)+1
5.如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为(−1,1)，(−3,1)，(−1,−1).30秒后，飞机P飞到P′(4,3)位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为( )
A. Q′(2,3)，R′(4,1)
B. Q′(2,3)，R′(2,1)
C. Q′(2,2)，R′(4,1)
D. Q′(3,3)，R′(3,1)
6.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于12AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD.已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
7.如图，将△ABC沿AC边所在直线平移至△EDF，则①AE=CF，②AB=ED，③AB//ED，④∠HCF=∠HEC+∠B中正确的结论有( )
A. 一个B. 二个C. 三个D. 四个
8.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(−1,−2)和点B(−2,0)，一次函数y=2x的图象过点A，则不等式2x≤kx+b的解集为( )
A. x≤−1
B. x≤−2
C. x≥1
D. −2≤x<−1
9.如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=6，BC=8.若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A. 2B. 83C. 3D. 103
10.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，∠DAB的平分线交BC于点E，DE⊥AE，若AD=12，BC=8，则四边形ABCD的周长为( )
A. 32
B. 20
C. 16
D. 28
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.已知x−2y=−5，xy=−2，则x2y−2xy2= ______．
12.已知关于x的方程3k−5x=−9的解是非负数，则k的最小值为______．
13.已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为______．
14.如图，△ABC中，∠A=60°，∠ABC=80°，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE，若DE//BC，则旋转的最小度数为______．
15.已知不等式的x≤ax<2解集是x<2，则a的取值范围是______．
16.一张试卷共20道题，做对一题得5分，做错或A不做一题扣3分，小辛做了全部试题，若要成绩及格(注：60分及以上成绩为及格)，那么小辛至少要做对______道题．
17.在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，连接BD，若∠ABD=30°，△DBC为等腰三角形，则∠BAC的度数为______．
18.已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是______．
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算题、分解因式：
(1)x2y−2xy2+y3；
(2)3+x≤2(x−2)+75x−1<3(x+1)．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,1)、B(4,2)、C(3,5)．
(1)以点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1(A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1)；
(2)将△ABC平移，使平移后点B、C对应点B2，C2分别在y轴和x轴上，画出平移后的△A2B2C2；
(3)设点P在坐标轴上，且△APB与△ABC的面积相等，则点P的坐标为______．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF.求证：△ABC是等边三角形．
22.(本小题12分)
2023年是农历癸卯年(兔年)，兔子生肖挂件成了热销品.某商店准备购进A，B两种型号的兔子挂件.已知购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元，且A型号兔子挂件比B型号兔子挂件每件贵15元．
(1)该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
(2)该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48元，30元.假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则A型号兔子挂件至少要购进多少件？
23.(本小题12分)
【探究】(1)如图1，在四边形中ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：FD延长到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系.他的结论是______．
【拓展】(2)如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°.将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并说明理由；
【实际应用】(3)如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=5cm，则四边形ABCD的面积为______cm2．
24.(本小题12分)
如图，直线l1：y=x+3与过点A(3,0)的直线l2交于点C(1,m)，与x轴交于点B，CD⊥x轴于点D．
(1)求直线l2的函数表达式；
(2)点P是线段AC上一动点，若∠CDP=45°，求点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：∵a−b>0，
∴a>b，
A、∵a−b>0，
∴不能判断a+b<0，故A不符合题意；
B、∵a−b>0，
∴a>b，
∴a+1>b+1，故B符合题意；
C、∵a−b>0，
∴a>b，故C不符合题意；
D、∵a−b>0，
∴a>b，
∴−a<−b，故D不符合题意．
故选：B．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：不等式组解集为−1≤x<1，表示在数轴上为：
，
故选：C．
根据已知解集确定出数轴上表示的解集即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】B
【解析】解：A.a(x+y)=ax+ay，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
B.2a(b+c)−3(b+c)=(2a−3)(b+c)，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
C.15x5=3x2⋅x5，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不合题意；
D.a2+2a+1=a(a+2)+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意．
故选：B．
根据因式分解的意义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
5.【答案】A
【解析】解：由点P(−1,1)到P′(4,3)知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，
∴点Q(−3,1)的对应点Q′坐标为(2,3)，点R(−1,−1)的对应点R′(4,1)，
故选：A．
本题考查了坐标与图形变化−平移，熟练掌握在平面直角坐标系确定点的坐标是解题的关键．
由点P(−1,1)到P′(4,3)知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，据此可得．
6.【答案】A
【解析】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴点D是AB的中点，
∴S△ADC=S△BDC，
∵S△BDC−S△CDE=5，
∴S△ADC−S△CDE=5，即△ADE的面积为5，
故选：A．
根据题意得到MN是线段AB的垂直平分线，进而得到点D是AB的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．利用平移的性质对①②③直接判断；根据三角形外角性质对④进行判断．
【解答】
解：∵△ABC沿AC边所在直线平移至△EDF，
∴AE=CF，AB=DE，AB//DE，∠A=∠HEC，所以①②③正确，
∵∠HCF=∠A+∠B，
∴∠HCF=∠HEC+∠B，所以④正确．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】解：由图象可知：正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b(k≠0)的图的交点是A(−1,−2)，
∴不等式2x≤kx+b的解集是x≤−1．
故选：A．
根据图象知正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b(k≠0)的图象的交点，即可得出不等式2x≤kx+b的解集．
本题考查一次函数和一元一次不等式，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图象的关系是解答此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵△BCD与△BED关于AD成轴对称，
∴BC=BE=8，CD=DE，∠BCD=∠BED=∠DEA=90°，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，
∴AB=10，
∴AE=AB−BE=10−8=2，
设CD=DE=x，则DA=AC−CD=6−x，
在Rt△DEA中，由勾股定理，得x2+22=(6−x)2，
解得x=83，
即CD=83，
故选：B．
根据折叠的性质可得BC=BE=8，CD=DE，∠BCD=∠BED=∠DEA=90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出AE，设CD=DE=x，表示出AD，然后在Rt△DEA中，利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图所示，延长AB、DE相交于点F，
∵∠DAB的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠FAE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=∠AEF=90°，
∵AE=AE，
∴△AED≌△AEF(SAS)，
∴DE=EF，AD=AF，
∵AB//DC，
∴∠CDE=∠EFB，
在△DEC和△FEB中，
∠CDE=∠EFBDE=EF∠DEC=∠FEB，
∴△DEC≌△FEB(ASA)，
∴DC=BF，
∵AB+DC=AB+BF=AF=12，
∴四边形ABCD的周长为AD+AB+BC+DC=AD+AF+BC=12+12+8=32，
故选：A．
延长AB、DE相交于点F，根据△AED≌△AEF得到DE=EF，AD=AF，再证明△DEC≌△FEB得到DC=BF，从而推算出四边形ABCD的周长等于2AD+BC得到答案．
本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形、平行线和角平分线的相关知识．
11.【答案】10
【解析】解：∵x−2y=−5，xy=−2，
∴x2y−2xy2=xy(x−2y)=−2×(−5)=10．
故答案为：10．
提出公因式，把原式变形为xy(x−2y)，即可求解．
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
12.【答案】−3
【解析】解：方程3k−5x=−9，
解得：x=3k+95，
由题意得：3k+95≥0，
解得：k≥−3，
∴k的最小值为−3，
故答案为：−3．
把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得到答案．
此题考查了解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的范围是解题的关键．
13.【答案】±12
【解析】解：∵4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，
∴4x2+kx+9=(2x)2±12x+32=(2x±3)2，
∴k=±12，
故答案为：±12．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.【答案】40°
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=80°，
∴∠C=180°−60°−80°=40°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE，
∴∠E=∠C=40°，
∵DE//BC，
∴∠CBE=∠E=40°，
∴旋转的最小度数为40°，
故答案为：40°．
根据三角形的内角和和旋转的性质以及平行线的性质即可得到结论．
本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
15.【答案】a≥2
【解析】解：由不等式组x≤ ax<2的解集是x<2，
因此a的取值范围是a≥2．
故答案为：a≥2．
根据不等式组的求解规律：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解，探究a的取值范围即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】15
【解析】解：设小辛要做对x道题，依题意有
5x−3(20−x)≥60，
解得：x≥15．
故小辛至少要做对15道题．
故答案为：15．
设小辛做对x道题，根据共有20道选择题，对于每道题答对了得5分，做错或不做扣3分，小辛若想考试成绩及格，可列不等式求解．
本题考查一元一次不等式的应用，设出做对的，剩下的就是不做或做错的，根据考试成绩及格(60分及以上)这个不等量关系可列出不等式求解．
17.【答案】40°或20°
【解析】解：如图：
设∠BAC的度数为x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=x+30°，
分三种情况：
当BD=BC时，
∴∠BDC=∠C=x+30°，
∴∠ABC=∠C=x+30°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+x+30°+x+30°=180°，
∴x=40°，
∴∠BAC=40°；
当CB=CD时，
∴∠CDB=∠CBD=x+30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=x+30°+30°=x+60°，
∴∠ABC=∠C=x+60°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+x+60°+x+60°=180°，
∴x=20°，
∴∠BAC=20°；
当DB=DC时，
∴∠DBC=∠C，不成立，舍去；
综上所述：∠BAC的度数为40°或20°，
故答案为：40°或20°．
设∠BAC的度数为x，利用等腰三角形的性质可得：∠ABC=∠C，从而利用三角形的外角性质可得∠BDC=x+30°，然后分三种情况：当BD=BC时；当CB=CD时；当DB=DC时；分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
18.【答案】 3
【解析】解：如图，由旋转可得∠ACQ=∠B=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠BCQ=120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD=2，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ=30°，
∴CQ=12CD=1，
∴DQ= 22−12= 3，
∴DQ的最小值是 3，
故答案为 3．
根据旋转的性质，即可得到∠BCQ=120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
19.【答案】解：(1)原式=y(x2−2xy+y2)
=y(x−y)2；
(2)解不等式3+x≤2x−4+7得：x≥0，
解不等式5x−1<3x+3得：x<2，
故不等式组的解集为：0≤x<2．
【解析】(1)提取公因式并且运用完全平方公式进行分解即可；
(2)根据解不等式组的方式，分别解出每一个不等式，再找出解集的公共部分得到不等式组的解集．
本题主要考查因式分解，解一元一次不等式组．熟练掌握计算技巧是解题的关键．
20.【答案】(8,0)或(0,4)
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)△ABC的面积为：3×4−1.5−1.5−4=5，
∵△APB的面积为5，
当P在x轴上时：设P(x,0)，
∴4.5−12(x−1)−12(4−x)=5，
解得：x=8，
当P在y轴上时，设P(0,y)，
∴12×4×(1+3)−12×(y−1)−12×3×(5−y)=5，
解得：y=4，
故答案为：(8,0)或(0,4)．
(1)根据网格线的特点及旋转的意义作图；
(2)根据网格线的特点及平移的性质作图；
(3)根据割补法求解．
本题考查了旋转变换和平移变换，掌握变换的特点及割补法求面积是解题的关键．
21.【答案】证明：∵D为AB的中点，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
AD=BDDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)，
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形．
【解析】证明Rt△ADE≌Rt△BDF得到∠A=∠B，则CA=CB，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
22.【答案】解：(1)设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价(x−15)元，
根据题意得：3x+4(x−15)=220，
解得x=40，
∴x−15=40−15=25，
答：A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元；
(2)设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50−m)件，
则(48−40)m+(30−25)(50−m)>310，
解得m>20，
答：A型号兔子挂件至少要购进21件．
【解析】(1)设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价(x−15)元，根据购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元列出方程，解方程即可；
(2)设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50−m)件，根据两种挂件利润之和大于310列出不等式，解不等式即可．
本题考查一元一次不等式和一元一次方程的应用，关键是找到数量关系列出不等式和方程．
23.【答案】BE+DF=EF 12.5
【解析】解：(1)结论是：BE+DF=EF，理由如下：
延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B=∠ADC=90°，
∴∠B=∠ADG=90°，
在△ABE和△ADG中，
DG=BE∠B=∠ADGAB=AD，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=60°，
∴∠DAG+∠DAF=60°，
∴∠EAF=∠GAF=60°，
在△AEF和△AGF中，
AF=AF∠EAF=∠GAFAE=AG，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
∵DG+DF=GF，
∴BE+DF=EF；
(2)AE2+BF2=EF2，理由如下：
将△ACE绕点C逆时针旋转90°得△BCE′，连接E′F，
∵∠ACB=90°，∠EAF=45°，
∴∠ACE+∠BCF=45°，
∵∠ACE=∠BCE′，
∴∠BCE′+∠BCF=45°=∠E′CF，
∴∠ECF=∠E′CF，
在△CEF和△CE′F中，
CF=CF∠ECF=∠E′CFCE=CE′，
∴△CEF≌△CE′F(SAS)，
∴EF=E′F，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵∠CBE′=∠A=45°，
∴∠E′BF=90°，
在Rt△BE′F中，BE′2+BF2=E′F2，
∵BE′=AE，
∴AE2+BF2=EF2．
(3)解：过点A作AM⊥BC垂足为M，作AN⊥CD，交CD延长线于点N，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADN+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADN，
∵AM⊥BC，AN⊥CD，
∴∠AMB=∠N=90°，
∵AB=AD，
∴△ABM≌△ADN(AAS)，
∴AM=AN，
∵AC=AC，
∴Rt△AMC≌Rt△ANC(HL)，
∴∠ACM=∠ACN=45°，
∴∠ACM=∠CAM=45°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∵AC=5，AM2+CM2=AC2，
∴AM=CM=5 22，
∴四边形ABCD面积=四边形AMCN面积=2S△ACM=2×12×5 22×5 22=12.5．
(1)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先根据SAS证明△ABE≌△ADG得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF可得EF=FG，即可得出结论；
(2)将△ACE绕点C逆时针旋转90°得△BCE′，连接E′F，可证△CEF≌△CE′F，得E′F=EF，可证△BE′F是直角三角形，即可得出结论；
(3)过点A作AM⊥BC垂足为M，作AN⊥CD，交CD延长线于点N，先证△ABM≌△ADN，可得AM=AN，再证△AMC≌△ANC，可得∠ACM=45°，由勾股定理可得CM长，再求四边形AMCN面积，即可求得结论．
本题考查的是三角形全等的综合题，主要涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形性质及判定、勾股定理等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
24.【答案】解：(1)在y=x+3中，令y=0，得x=−3，
∴B(−3,0)，
将C(1,m)代入y=x+3得m=4，
∴C(1,4)，
设直线l2的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将C(1,4)，A(3,0)代入得，
k+b=43k+b=0，
解得k=−2b=6，
∴直线l2的函数表达式为y=−2x+6；
(2)∵B(−3,0)，C(1,4)，
∴BD=3+1=4，CD=4，
∴BD=CD，
∴∠CBD=∠BCD=45°，
∵∠CDP=45°，
∴∠CDP=∠BCD=45°，
∴DP//BC，如图：
设直线DP的函数表达式为y=mx+n(m≠0)，
∵DP//l1，
∴m=1，
∴y=x+n，
∵CD⊥x轴于点D，C(1,4)，
∴D(1,0)．
∵y=x+n过D(1,0)，
∴n=−1，
∴y=x−1，
联立方程得出：y=x−1y=−2x+6，
解得：x=73y=43，
∴P(73,43)；
(3)∵C(1,4)，CD⊥x轴于点D，
∴D(1,0)，
又∵B(−3,0)，
∴CD=4，BD=4，BC= CD2+BD2=4 2，
①当点B为等腰△BCP的顶点，即BC=BP时，
∵BC=4 2，B(−3,0)，
∴此时点P的坐标为(−3−4 2,0)或(4 2−3,0)；
②当点P为等腰△BCP的顶点，即PB=PC时，
点P与点D重合，此时点P的坐标为(1,0)；
③当点C为等腰△BCP的顶点，即CB=CP时，
∵CD⊥BP，CB=CP，
∴D为BP的中点，即BD=PD．
∵D(1,0)，BD=4，
∴此时点P的坐标为(5,0)．
综上可知，在x轴上存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为(1,0)或(−3−4 2,0)或(4 2−3,0)或(5,0)．
【解析】(1)求出B(−3,0)，C(1,4)，设直线l2的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，待定系数法即可得出答案；
(2)过点D作DP//l1交直线l2于点P，设直线DP的函数表达式为y=mx+n(m≠0)，得出y=x−1，联立方程即可得出答案；
(3)分三种情况：①当点B为等腰△BCP的顶点，即BC=BP时，②当点P为等腰△BCP的顶点，即PB=PC时，③当点C为等腰△BCP的顶点，即CB=CP时，求出答案即可．
本题考查一次函数，等腰三角形的判定，勾股定理，注意分情况讨论是解题的关键．
1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果a−b>0，那么下列不等式成立的是( )
A. a+b<0B. a+1>b+1C. a
3.不等式组解集为−1≤x<1，下列在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列等式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. a(x+y)=ax+ay
B. 2a(b+c)−3(b+c)=(2a−3)(b+c)
C. 15x5=3x2⋅5x3
D. a2+2a+1=a(a+2)+1
5.如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为(−1,1)，(−3,1)，(−1,−1).30秒后，飞机P飞到P′(4,3)位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为( )
A. Q′(2,3)，R′(4,1)
B. Q′(2,3)，R′(2,1)
C. Q′(2,2)，R′(4,1)
D. Q′(3,3)，R′(3,1)
6.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于12AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD.已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
7.如图，将△ABC沿AC边所在直线平移至△EDF，则①AE=CF，②AB=ED，③AB//ED，④∠HCF=∠HEC+∠B中正确的结论有( )
A. 一个B. 二个C. 三个D. 四个
8.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(−1,−2)和点B(−2,0)，一次函数y=2x的图象过点A，则不等式2x≤kx+b的解集为( )
A. x≤−1
B. x≤−2
C. x≥1
D. −2≤x<−1
9.如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=6，BC=8.若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A. 2B. 83C. 3D. 103
10.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，∠DAB的平分线交BC于点E，DE⊥AE，若AD=12，BC=8，则四边形ABCD的周长为( )
A. 32
B. 20
C. 16
D. 28
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.已知x−2y=−5，xy=−2，则x2y−2xy2= ______．
12.已知关于x的方程3k−5x=−9的解是非负数，则k的最小值为______．
13.已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为______．
14.如图，△ABC中，∠A=60°，∠ABC=80°，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE，若DE//BC，则旋转的最小度数为______．
15.已知不等式的x≤ax<2解集是x<2，则a的取值范围是______．
16.一张试卷共20道题，做对一题得5分，做错或A不做一题扣3分，小辛做了全部试题，若要成绩及格(注：60分及以上成绩为及格)，那么小辛至少要做对______道题．
17.在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，连接BD，若∠ABD=30°，△DBC为等腰三角形，则∠BAC的度数为______．
18.已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是______．
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算题、分解因式：
(1)x2y−2xy2+y3；
(2)3+x≤2(x−2)+75x−1<3(x+1)．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,1)、B(4,2)、C(3,5)．
(1)以点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1(A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1)；
(2)将△ABC平移，使平移后点B、C对应点B2，C2分别在y轴和x轴上，画出平移后的△A2B2C2；
(3)设点P在坐标轴上，且△APB与△ABC的面积相等，则点P的坐标为______．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF.求证：△ABC是等边三角形．
22.(本小题12分)
2023年是农历癸卯年(兔年)，兔子生肖挂件成了热销品.某商店准备购进A，B两种型号的兔子挂件.已知购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元，且A型号兔子挂件比B型号兔子挂件每件贵15元．
(1)该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
(2)该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48元，30元.假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则A型号兔子挂件至少要购进多少件？
23.(本小题12分)
【探究】(1)如图1，在四边形中ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：FD延长到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系.他的结论是______．
【拓展】(2)如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°.将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并说明理由；
【实际应用】(3)如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=5cm，则四边形ABCD的面积为______cm2．
24.(本小题12分)
如图，直线l1：y=x+3与过点A(3,0)的直线l2交于点C(1,m)，与x轴交于点B，CD⊥x轴于点D．
(1)求直线l2的函数表达式；
(2)点P是线段AC上一动点，若∠CDP=45°，求点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：∵a−b>0，
∴a>b，
A、∵a−b>0，
∴不能判断a+b<0，故A不符合题意；
B、∵a−b>0，
∴a>b，
∴a+1>b+1，故B符合题意；
C、∵a−b>0，
∴a>b，故C不符合题意；
D、∵a−b>0，
∴a>b，
∴−a<−b，故D不符合题意．
故选：B．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：不等式组解集为−1≤x<1，表示在数轴上为：
，
故选：C．
根据已知解集确定出数轴上表示的解集即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】B
【解析】解：A.a(x+y)=ax+ay，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
B.2a(b+c)−3(b+c)=(2a−3)(b+c)，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
C.15x5=3x2⋅x5，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不合题意；
D.a2+2a+1=a(a+2)+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意．
故选：B．
根据因式分解的意义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
5.【答案】A
【解析】解：由点P(−1,1)到P′(4,3)知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，
∴点Q(−3,1)的对应点Q′坐标为(2,3)，点R(−1,−1)的对应点R′(4,1)，
故选：A．
本题考查了坐标与图形变化−平移，熟练掌握在平面直角坐标系确定点的坐标是解题的关键．
由点P(−1,1)到P′(4,3)知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，据此可得．
6.【答案】A
【解析】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴点D是AB的中点，
∴S△ADC=S△BDC，
∵S△BDC−S△CDE=5，
∴S△ADC−S△CDE=5，即△ADE的面积为5，
故选：A．
根据题意得到MN是线段AB的垂直平分线，进而得到点D是AB的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．利用平移的性质对①②③直接判断；根据三角形外角性质对④进行判断．
【解答】
解：∵△ABC沿AC边所在直线平移至△EDF，
∴AE=CF，AB=DE，AB//DE，∠A=∠HEC，所以①②③正确，
∵∠HCF=∠A+∠B，
∴∠HCF=∠HEC+∠B，所以④正确．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】解：由图象可知：正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b(k≠0)的图的交点是A(−1,−2)，
∴不等式2x≤kx+b的解集是x≤−1．
故选：A．
根据图象知正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b(k≠0)的图象的交点，即可得出不等式2x≤kx+b的解集．
本题考查一次函数和一元一次不等式，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图象的关系是解答此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵△BCD与△BED关于AD成轴对称，
∴BC=BE=8，CD=DE，∠BCD=∠BED=∠DEA=90°，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，
∴AB=10，
∴AE=AB−BE=10−8=2，
设CD=DE=x，则DA=AC−CD=6−x，
在Rt△DEA中，由勾股定理，得x2+22=(6−x)2，
解得x=83，
即CD=83，
故选：B．
根据折叠的性质可得BC=BE=8，CD=DE，∠BCD=∠BED=∠DEA=90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出AE，设CD=DE=x，表示出AD，然后在Rt△DEA中，利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图所示，延长AB、DE相交于点F，
∵∠DAB的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠FAE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=∠AEF=90°，
∵AE=AE，
∴△AED≌△AEF(SAS)，
∴DE=EF，AD=AF，
∵AB//DC，
∴∠CDE=∠EFB，
在△DEC和△FEB中，
∠CDE=∠EFBDE=EF∠DEC=∠FEB，
∴△DEC≌△FEB(ASA)，
∴DC=BF，
∵AB+DC=AB+BF=AF=12，
∴四边形ABCD的周长为AD+AB+BC+DC=AD+AF+BC=12+12+8=32，
故选：A．
延长AB、DE相交于点F，根据△AED≌△AEF得到DE=EF，AD=AF，再证明△DEC≌△FEB得到DC=BF，从而推算出四边形ABCD的周长等于2AD+BC得到答案．
本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形、平行线和角平分线的相关知识．
11.【答案】10
【解析】解：∵x−2y=−5，xy=−2，
∴x2y−2xy2=xy(x−2y)=−2×(−5)=10．
故答案为：10．
提出公因式，把原式变形为xy(x−2y)，即可求解．
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
12.【答案】−3
【解析】解：方程3k−5x=−9，
解得：x=3k+95，
由题意得：3k+95≥0，
解得：k≥−3，
∴k的最小值为−3，
故答案为：−3．
把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得到答案．
此题考查了解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的范围是解题的关键．
13.【答案】±12
【解析】解：∵4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，
∴4x2+kx+9=(2x)2±12x+32=(2x±3)2，
∴k=±12，
故答案为：±12．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.【答案】40°
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=80°，
∴∠C=180°−60°−80°=40°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE，
∴∠E=∠C=40°，
∵DE//BC，
∴∠CBE=∠E=40°，
∴旋转的最小度数为40°，
故答案为：40°．
根据三角形的内角和和旋转的性质以及平行线的性质即可得到结论．
本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
15.【答案】a≥2
【解析】解：由不等式组x≤ ax<2的解集是x<2，
因此a的取值范围是a≥2．
故答案为：a≥2．
根据不等式组的求解规律：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解，探究a的取值范围即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】15
【解析】解：设小辛要做对x道题，依题意有
5x−3(20−x)≥60，
解得：x≥15．
故小辛至少要做对15道题．
故答案为：15．
设小辛做对x道题，根据共有20道选择题，对于每道题答对了得5分，做错或不做扣3分，小辛若想考试成绩及格，可列不等式求解．
本题考查一元一次不等式的应用，设出做对的，剩下的就是不做或做错的，根据考试成绩及格(60分及以上)这个不等量关系可列出不等式求解．
17.【答案】40°或20°
【解析】解：如图：
设∠BAC的度数为x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=x+30°，
分三种情况：
当BD=BC时，
∴∠BDC=∠C=x+30°，
∴∠ABC=∠C=x+30°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+x+30°+x+30°=180°，
∴x=40°，
∴∠BAC=40°；
当CB=CD时，
∴∠CDB=∠CBD=x+30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=x+30°+30°=x+60°，
∴∠ABC=∠C=x+60°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+x+60°+x+60°=180°，
∴x=20°，
∴∠BAC=20°；
当DB=DC时，
∴∠DBC=∠C，不成立，舍去；
综上所述：∠BAC的度数为40°或20°，
故答案为：40°或20°．
设∠BAC的度数为x，利用等腰三角形的性质可得：∠ABC=∠C，从而利用三角形的外角性质可得∠BDC=x+30°，然后分三种情况：当BD=BC时；当CB=CD时；当DB=DC时；分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
18.【答案】 3
【解析】解：如图，由旋转可得∠ACQ=∠B=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠BCQ=120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD=2，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ=30°，
∴CQ=12CD=1，
∴DQ= 22−12= 3，
∴DQ的最小值是 3，
故答案为 3．
根据旋转的性质，即可得到∠BCQ=120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
19.【答案】解：(1)原式=y(x2−2xy+y2)
=y(x−y)2；
(2)解不等式3+x≤2x−4+7得：x≥0，
解不等式5x−1<3x+3得：x<2，
故不等式组的解集为：0≤x<2．
【解析】(1)提取公因式并且运用完全平方公式进行分解即可；
(2)根据解不等式组的方式，分别解出每一个不等式，再找出解集的公共部分得到不等式组的解集．
本题主要考查因式分解，解一元一次不等式组．熟练掌握计算技巧是解题的关键．
20.【答案】(8,0)或(0,4)
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)△ABC的面积为：3×4−1.5−1.5−4=5，
∵△APB的面积为5，
当P在x轴上时：设P(x,0)，
∴4.5−12(x−1)−12(4−x)=5，
解得：x=8，
当P在y轴上时，设P(0,y)，
∴12×4×(1+3)−12×(y−1)−12×3×(5−y)=5，
解得：y=4，
故答案为：(8,0)或(0,4)．
(1)根据网格线的特点及旋转的意义作图；
(2)根据网格线的特点及平移的性质作图；
(3)根据割补法求解．
本题考查了旋转变换和平移变换，掌握变换的特点及割补法求面积是解题的关键．
21.【答案】证明：∵D为AB的中点，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
AD=BDDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)，
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形．
【解析】证明Rt△ADE≌Rt△BDF得到∠A=∠B，则CA=CB，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
22.【答案】解：(1)设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价(x−15)元，
根据题意得：3x+4(x−15)=220，
解得x=40，
∴x−15=40−15=25，
答：A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元；
(2)设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50−m)件，
则(48−40)m+(30−25)(50−m)>310，
解得m>20，
答：A型号兔子挂件至少要购进21件．
【解析】(1)设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价(x−15)元，根据购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元列出方程，解方程即可；
(2)设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50−m)件，根据两种挂件利润之和大于310列出不等式，解不等式即可．
本题考查一元一次不等式和一元一次方程的应用，关键是找到数量关系列出不等式和方程．
23.【答案】BE+DF=EF 12.5
【解析】解：(1)结论是：BE+DF=EF，理由如下：
延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B=∠ADC=90°，
∴∠B=∠ADG=90°，
在△ABE和△ADG中，
DG=BE∠B=∠ADGAB=AD，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=60°，
∴∠DAG+∠DAF=60°，
∴∠EAF=∠GAF=60°，
在△AEF和△AGF中，
AF=AF∠EAF=∠GAFAE=AG，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
∵DG+DF=GF，
∴BE+DF=EF；
(2)AE2+BF2=EF2，理由如下：
将△ACE绕点C逆时针旋转90°得△BCE′，连接E′F，
∵∠ACB=90°，∠EAF=45°，
∴∠ACE+∠BCF=45°，
∵∠ACE=∠BCE′，
∴∠BCE′+∠BCF=45°=∠E′CF，
∴∠ECF=∠E′CF，
在△CEF和△CE′F中，
CF=CF∠ECF=∠E′CFCE=CE′，
∴△CEF≌△CE′F(SAS)，
∴EF=E′F，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵∠CBE′=∠A=45°，
∴∠E′BF=90°，
在Rt△BE′F中，BE′2+BF2=E′F2，
∵BE′=AE，
∴AE2+BF2=EF2．
(3)解：过点A作AM⊥BC垂足为M，作AN⊥CD，交CD延长线于点N，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADN+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADN，
∵AM⊥BC，AN⊥CD，
∴∠AMB=∠N=90°，
∵AB=AD，
∴△ABM≌△ADN(AAS)，
∴AM=AN，
∵AC=AC，
∴Rt△AMC≌Rt△ANC(HL)，
∴∠ACM=∠ACN=45°，
∴∠ACM=∠CAM=45°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∵AC=5，AM2+CM2=AC2，
∴AM=CM=5 22，
∴四边形ABCD面积=四边形AMCN面积=2S△ACM=2×12×5 22×5 22=12.5．
(1)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先根据SAS证明△ABE≌△ADG得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF可得EF=FG，即可得出结论；
(2)将△ACE绕点C逆时针旋转90°得△BCE′，连接E′F，可证△CEF≌△CE′F，得E′F=EF，可证△BE′F是直角三角形，即可得出结论；
(3)过点A作AM⊥BC垂足为M，作AN⊥CD，交CD延长线于点N，先证△ABM≌△ADN，可得AM=AN，再证△AMC≌△ANC，可得∠ACM=45°，由勾股定理可得CM长，再求四边形AMCN面积，即可求得结论．
本题考查的是三角形全等的综合题，主要涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形性质及判定、勾股定理等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
24.【答案】解：(1)在y=x+3中，令y=0，得x=−3，
∴B(−3,0)，
将C(1,m)代入y=x+3得m=4，
∴C(1,4)，
设直线l2的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将C(1,4)，A(3,0)代入得，
k+b=43k+b=0，
解得k=−2b=6，
∴直线l2的函数表达式为y=−2x+6；
(2)∵B(−3,0)，C(1,4)，
∴BD=3+1=4，CD=4，
∴BD=CD，
∴∠CBD=∠BCD=45°，
∵∠CDP=45°，
∴∠CDP=∠BCD=45°，
∴DP//BC，如图：
设直线DP的函数表达式为y=mx+n(m≠0)，
∵DP//l1，
∴m=1，
∴y=x+n，
∵CD⊥x轴于点D，C(1,4)，
∴D(1,0)．
∵y=x+n过D(1,0)，
∴n=−1，
∴y=x−1，
联立方程得出：y=x−1y=−2x+6，
解得：x=73y=43，
∴P(73,43)；
(3)∵C(1,4)，CD⊥x轴于点D，
∴D(1,0)，
又∵B(−3,0)，
∴CD=4，BD=4，BC= CD2+BD2=4 2，
①当点B为等腰△BCP的顶点，即BC=BP时，
∵BC=4 2，B(−3,0)，
∴此时点P的坐标为(−3−4 2,0)或(4 2−3,0)；
②当点P为等腰△BCP的顶点，即PB=PC时，
点P与点D重合，此时点P的坐标为(1,0)；
③当点C为等腰△BCP的顶点，即CB=CP时，
∵CD⊥BP，CB=CP，
∴D为BP的中点，即BD=PD．
∵D(1,0)，BD=4，
∴此时点P的坐标为(5,0)．
综上可知，在x轴上存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为(1,0)或(−3−4 2,0)或(4 2−3,0)或(5,0)．
【解析】(1)求出B(−3,0)，C(1,4)，设直线l2的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，待定系数法即可得出答案；
(2)过点D作DP//l1交直线l2于点P，设直线DP的函数表达式为y=mx+n(m≠0)，得出y=x−1，联立方程即可得出答案；
(3)分三种情况：①当点B为等腰△BCP的顶点，即BC=BP时，②当点P为等腰△BCP的顶点，即PB=PC时，③当点C为等腰△BCP的顶点，即CB=CP时，求出答案即可．
本题考查一次函数，等腰三角形的判定，勾股定理，注意分情况讨论是解题的关键．
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