2023年高考数学一轮复习《椭圆》课后练习基础练（2份打包，教师版+原卷版）

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、选择题
椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m＜n＜0)的焦点坐标是( )
A.(0，±eq \r(m－n)) B.(±eq \r(m－n)，0) C.(0，±eq \r(n－m)) D.(±eq \r(n－m)，0)
【答案解析】答案为：C；
解析：化为标准方程是eq \f(x2,－n)＋eq \f(y2,－m)＝1，
∵m＜n＜0，∴0＜﹣n＜﹣m.∴焦点在y轴上，且c＝eq \r(n－m).
曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k＜9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
【答案解析】答案为：D；
解析：曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，
离心率为eq \f(4,5).曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k＜9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2eq \r(25－k)，
短轴长为2eq \r(9－k)，焦距为8，离心率为eq \f(4,\r(25－k)) .对照选项，知D正确.故选D.
椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
【答案解析】答案为：C
解析：当m＞4时，m﹣4＝1，∴m＝5；当0＜m＜4时，4﹣m＝1，∴m＝3.
综上，m的值为5或3.
椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A.(﹣1,0)，(1,0) B.(﹣6,0)，(6,0)
C.(﹣eq \r(6)，0)，(eq \r(6)，0) D.(0，﹣eq \r(6))，(0，eq \r(6))
【答案解析】答案为：D
解析：方程化为标准形式为x2＋eq \f(y2,6)＝1，其焦点在y轴上，由于a2＝6，∴a＝eq \r(6).
∴长轴的端点坐标为(0，±eq \r(6))，故选D.
已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )
A.(±1,0) B.(0，±1) C.(±eq \r(7)，0) D. (0，±eq \r(7))
【答案解析】答案为：D
解析：本题考查椭圆的性质.由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(42－32)＝eq \r(7)，所以椭圆的焦点坐标是(0，±eq \r(7))，故选D.
设P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
【答案解析】答案为：B
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|﹣|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2eq \r(16－12)＝4，∴△PF1F2为直角三角形.
若直线x﹣2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D. 以上答案都不对
【答案解析】答案为：C.
解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(﹣2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，
所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.]
如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(﹣5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1 C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
【答案解析】答案为：C；
解析：由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，
∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(102－62)＝8，
由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，得a2＝49，
于是b2＝a2﹣c2＝72﹣52＝24，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1，故选C.
已知F1，F2是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个交点，过F1的直线与椭圆交于M,N两点，则△MNF2的周长为（ ）
A.16 B.8 C.25 D.32
【答案解析】答案为：A；
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为eq \f(1,3)，则椭圆方程是( )
A.eq \f(x2,144)＋eq \f(y2,128)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1 C.eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,36)＝1 D.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1
【答案解析】答案为：D
解析：由2a＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，解得a＝6，c＝2，∴b2＝62﹣22＝32.
∵焦点在x轴上，∴椭圆的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1.
已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,4)＋y2＝1
【答案解析】答案为：C；
解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝eq \f(c,a)⇒a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，
因此其方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，故选C.
如图所示，A、B、C分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(－1＋\r(5),2) B.1﹣eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2)﹣1 D.eq \f(\r(2),2)
【答案解析】答案为：A
解析：由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，∵b2＝a2﹣c2，∴c2＋ac﹣a2＝0，
∵e＝eq \f(c,a)，∴e2＋e﹣1＝0，∴e＝eq \f(－1＋\r(5),2).
、填空题
已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，﹣2eq \r(3))且a＝2b，则椭圆的标准方程为________.
【答案解析】答案为：eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1.
解析：[∵c＝2eq \r(3)，a2＝4b2，∴a2﹣b2＝3b2＝c2＝12，b2＝4，a2＝16.
又焦点在y轴上，∴标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1.]
一个焦点坐标是(0,4)，过点B(1，eq \r(15))的椭圆的标准方程为__________.
【答案解析】答案为：eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1
解析：设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，∴a2﹣b2＝16，①
又过点B(1，eq \r(15))，∴eq \f(15,a2)＋eq \f(1,b2)＝1，②
∴由①②知，a2＝20，b2＝4，∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________.
【答案解析】答案为：eq \f(\r(3),3).
解析：本题主要考查椭圆的离心率.由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，
所以|PF2|＝2|PF1|.设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝eq \r(3)x，
又|F1F2|＝2c，所以x＝eq \f(2c,\r(3)).即|PF1|＝eq \f(2c,\r(3))，|PF2|＝eq \f(4c,\r(3)).
由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以eq \f(2c,\r(3))＋eq \f(4c,\r(3))＝2a，即e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
已知P为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时，cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则椭圆的离心率为________.
【答案解析】答案为：eq \f(\r(3),3)；
解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与y轴的交点，
由余弦定理及椭圆的定义得2a2﹣eq \f(2a2,3)＝4c2，即a＝eq \r(3)c，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).