2023年高考数学(理数)一轮复习课时25《平面向量的基本定理及坐标表示》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时25

《平面向量的基本定理及坐标表示》达标练习

一 、选择题

1.如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为(　 　)

A.e1＋e2      B.－2e1＋e2        C.2e1－e2      D.2e1＋e2

【答案解析】答案为：B；

解析：以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

由题意可得e1=(1,0)，e2=(－1,1)，a=(－3,1)，

因为a=xe1＋ye2=x(1,0)＋y(－1,1)=(x－y，y)，

则解得故a=－2e1＋e2.

2.已知平面向量a=(1，－2)，b=(2，m).若a∥b，则3a＋2b=(　　)

A.(7,2)        B.(7，－14)　    C.(7，－4)        D.(7，－8)

【答案解析】答案为：B

解析：∵a∥b，∴m＋4=0，∴m=－4，∴b=(2，－4)，

∴3a＋2b=3(1，－2)＋2(2，－4)=(7，－14).

3.设向量a=(cosx，－sinx)，b=，且a=tb，t≠0，则sin2x=(　　)

A.1         B.－1        C.±1         D.0

【答案解析】答案为：C；

解析：因为b==(－sinx，cosx)，a=tb，

所以cosxcosx－(－sinx)(－sinx)=0，即cos2x－sin2x=0，

所以tan2x=1，即tanx=±1，所以x=＋(k∈Z)，

则2x=kπ＋(k∈Z)，所以sin2x=±1，故选C.

4.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　 　)

A.x＝，y＝    B.x＝，y＝    C.x＝，y＝     D.x＝，y＝

【答案解析】答案为：A.

解析：由题意知＝＋，又因为＝2，所以＝＋＝＋(－)

＝＋，所以x＝，y＝.

5.已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　　)

A.(,－)          B.(,－)      C.(－,)         D.(－,)

【答案解析】答案为：A.

解析：=－=(4，－1)－(1,3)=(3，－4)，

∴与同方向的单位向量为=(,－)，故选A.]

6.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，

若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　 　)

A.1        B.        C.        D.

【答案解析】答案为：D.

解析：∵＝＋＝＋，∴2＝＋，即＝＋.故λ＋μ＝＋＝.

7.已知角α的顶点为坐标原点O，始边为x轴正半轴，终边在第二象限，A(x，y)是其终边上一点，向量m=(3，4)，若m⊥，则tan=(　　)

A.7              B.－                     C.－7              D.

【答案解析】答案为：D；

解析：由m⊥，得3x＋4y=0，即y=－x，所以tan α=－，

tan===.

8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行，则A＝(　 　)

A.        B.       C.        D.

【答案解析】答案为：B.

解析：因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.

9.已知向量a=(5,2)，b=(－4，－3)，c=(x，y).若3a－2b＋c=0，则c=(　　)

A.(－23，－12)        B.(23,12)　     C.(7,0)        D.(－7,0)

【答案解析】答案为：A

解析：由题意可得3a－2b＋c=3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)=(23＋x，12＋y)=(0,0)，

所以解得所以c=(－23，－12).

10.已知||=1，||=，·=0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设=m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　)

A.2　        B.2.5           C.3　         D.4

【答案解析】答案为：C；

解析：∵·=0，∴⊥，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，

=(1,0)，=(0，)，=m＋n=(m，n).

∵tan30°==.∴m=3n，即=3.

11.已知向量，满足||=||=1，⊥，=λ＋μ(λ，μ∈R).若M为AB的中点，并且||=1，则λ＋μ的最大值是(　 　)

A.1－      B.1＋       C.      D.1＋

【答案解析】答案为：B.

解析：因为向量，满足||=||=1，⊥，

所以可以分别以，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1).

又因为M为AB的中点，所以M(，).因为=λ＋μ(λ，μ∈R)，

所以=λ＋μ=λ(1,0)＋μ(0,1)=(λ，μ)，即点C(λ，μ).

所以=(λ-,μ-).因为||=1，所以(λ-)2＋(μ-)2=1，

即点C(λ，μ)在以(，)为圆心，1为半径的圆上.令t=λ＋μ，

则直线λ＋μ－t=0与此圆有公共点，所以d=≤1，

解得－＋1≤t≤＋1，即λ＋μ的最大值是1＋.故选B.

12.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2)，b=(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　 　)

A.(－∞，2)         B.(2，＋∞)

C.(－∞，＋∞)      D.(－∞，2)∪(2，＋∞)

【答案解析】答案为：D.

解析：由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.

二 、填空题

13.已知向量m=（，），n=(1，0)，若m(m－λn)，则实数λ=________.

【答案解析】答案为：2.

解析：由m⊥(m－λn)可得m·(m－λn)=0，即m2=λm·n，而m2=1，m·n=，所以λ=2.

14.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，

以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P(如图所示)，若=λ＋μ，

则λ＋μ的值是        .

【答案解析】答案为：.

解析：建立如图所示直角坐标系xAy，

则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，E(1,0)，F(，)，

所以=(－1,1)，=(，)，则=λ＋μ=－λ＋μ，λ＋μ，

又因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P，

所以点P的坐标为P(,)，=P(,)，

所以－λ＋μ=，λ＋μ=，所以λ=，μ=，所以λ＋μ=.

15.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠DCA=2∠BAC，若=x＋y(x，y∈R)，则x－y的值为        .

【答案解析】答案为：-1；

解析：如图，延长DC，AB交于点E，

因为∠DCA=2∠BAC，所以∠BAC=∠CEA.又∠ABC=90°，所以=－.

因为=x＋y，所以=－x＋y.

因为C，D，E三点共线，所以－x＋y=1，即x－y=－1.

16.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的四等分点，若=(m+)＋，则m=    .

【答案解析】答案为：.

解析：由已知，得=，=－=4－，因为=(m+)＋，

所以=(m+)＋(4－)=m＋.

因为B，P，N三点共线，所以m＋=1，m=.