2023年高考数学(文数)一轮复习课时26《平面向量的数量积》达标练习（2份，答案版+教师版）

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一、选择题
已知△ABC中，AB=6，AC=3，N是边BC上的点，且eq \(BN,\s\up15(→))=2eq \(NC,\s\up15(→))，O为△ABC的外心，
则eq \(AN,\s\up15(→))·eq \(AO,\s\up15(→))的值为( )
A.8 B.10 C.18 D.9
【答案解析】答案为：D；
解析：由于eq \(BN,\s\up15(→))=2eq \(NC,\s\up15(→))，则eq \(AN,\s\up15(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up15(→))，取AB的中点为E，连接OE，
由于O为△ABC的外心，则eq \(EO,\s\up15(→))⊥eq \(AB,\s\up15(→))，∴eq \(AO,\s\up15(→))·eq \(AB,\s\up15(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up15(→))＋\(EO,\s\up15(→))))·eq \(AB,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up15(→))2=eq \f(1,2)×62=18，
同理可得eq \(AC,\s\up15(→))·eq \(AO,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up15(→))2=eq \f(1,2)×32=eq \f(9,2)，
所以eq \(AN,\s\up15(→))·eq \(AO,\s\up15(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up15(→))＋\f(2,3)\(AC,\s\up15(→))))·eq \(AO,\s\up15(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AO,\s\up15(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up15(→))·eq \(AO,\s\up15(→))=eq \f(1,3)×18＋eq \f(2,3)×eq \f(9,2)=6＋3=9，故选D.
a，b为平面向量，已知a=(4,3)，2a＋b=(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A.eq \f(8,65) B.－eq \f(8,65) C.eq \f(16,65) D.－eq \f(16,65)
【答案解析】答案为：C
解析：由题可知，设b=(x，y)，则2a＋b=(8＋x,6＋y)=(3,18)，
所以可以解得x=－5，y=12，故b=(－5,12).由cs〈a，b〉=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(16,65).故选C.
已知平面向量a=(－2，m)，b=(1，eq \r(3))，且(a－b)⊥b，则实数m的值为( )
A.－2eq \r(3) B.2eq \r(3) C.4eq \r(3) D.6eq \r(3)
【答案解析】答案为：B
解析：∵a=(－2，m)，b=(1，eq \r(3))，∴a－b=(－2，m)－(1，eq \r(3))=(－3，m－eq \r(3)).
由(a－b)⊥b，得(a－b)·b=0，即(－3，m－eq \r(3))·(1，eq \r(3))=－3＋eq \r(3)m－3=eq \r(3)m－6=0，
解得m=2 eq \r(3).故选B.
已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
【答案解析】答案为：C.
解析：∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)=0，∴2|a|2＋a·b=0，
即2|a|2＋|a||b|cs〈a，b〉=0.∵|b|=4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cs〈a，b〉=0，
∴cs〈a，b〉=－eq \f(1,2)，∵0≤〈a，b〉≤π.∴〈a，b〉=eq \f(2π,3).]
已知向量a=(eq \r(3)，1)，b=(0,1)，c=(k，eq \r(3)).若a＋2b与c垂直，则k=( )
A.－3 B.－2 C.1 D.－1
【答案解析】答案为：A
解析：因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c=0，即a·c＋2b·c=0，
所以eq \r(3)k＋eq \r(3)＋2eq \r(3)=0，解得k=－3.
在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq \(AB,\s\up15(→))=(1，－2)，eq \(AD,\s\up15(→))=(2,1)，
则eq \(AD,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案解析】答案为：A
解析：由四边形ABCD是平行四边形，知eq \(AC,\s\up15(→))=eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AD,\s\up15(→))=(1，－2)＋(2,1)=(3，－1)，
故eq \(AD,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))=(2,1)·(3，－1)=2×3＋1×(－1)=5.
已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，eq \r(3))，且(a－b)⊥b，则实数m的值为( )
A.－2eq \r(3) B.2eq \r(3) C.4eq \r(3) D.6eq \r(3)
【答案解析】答案为：B
解析：因为a＝(－2，m)，b＝(1，eq \r(3))，所以a－b＝(－2，m)－(1，eq \r(3))＝(－3，m－eq \r(3)).
由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，m－eq \r(3))·(1，eq \r(3))＝－3＋eq \r(3)m－3＝eq \r(3)m－6＝0，
解得m＝2eq \r(3)，故选B.
在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2,1)，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案解析】答案为：A
解析：由四边形ABCD是平行四边形，知eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，
故eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.
已知|a|=6，|b|=3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为( )
A.12 B.8 C.－8 D.2
【答案解析】答案为：A
解析：∵|a|cs〈a，b〉=4，|b|=3，∴a·b=|a||b|·cs〈a，b〉=3×4=12.
已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量eq \(CD,\s\up6(→))在eq \(BA,\s\up6(→))方向上投影是( )
A.－3eq \r(5) B.－eq \f(3\r(2),2) C.3eq \r(5) D.eq \f(3\r(2),2)
【答案解析】答案为：A.
解析：依题意得，eq \(BA,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(5,5)，
eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|eq \(BA,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，
因此向量eq \(CD,\s\up6(→))在eq \(BA,\s\up6(→))方向上的投影是eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)＝eq \f(－15,\r(5))＝－3eq \r(5).
如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB=2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，
则eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))的最大值是( )
A.2 B.1 C.0 D.－1
【答案解析】答案为：B；
解析：连接BC，则∠ACB=90°.∵AP⊥PC，∴eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))=eq \(AC,\s\up7(―→))·(eq \(PC,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→)))
=eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(PC,\s\up7(―→))=(eq \(AP,\s\up7(―→))＋eq \(PC,\s\up7(―→)))·eq \(PC,\s\up7(―→))=eq \(PC,\s\up7(―→))2.依题意可证Rt△APC∽Rt△ACB，
∴eq \f(|eq \(PC,\s\up7(―→))|,|eq \(CB,\s\up7(―→))|)=eq \f(|eq \(AC,\s\up7(―→))|,|eq \(AB,\s\up7(―→))|)，即|eq \(PC,\s\up7(―→))|=eq \f(|AC―→||CB―→|,2).∵|eq \(AC,\s\up7(―→))|2＋|eq \(CB,\s\up7(―→))|2=|eq \(AB,\s\up7(―→))|2，
∴|eq \(AC,\s\up7(―→))|2＋|eq \(CB,\s\up7(―→))|2=4≥2|eq \(AC,\s\up7(―→))||eq \(CB,\s\up7(―→))|，即|eq \(AC,\s\up7(―→))||eq \(CB,\s\up7(―→))|≤2，
当且仅当|eq \(AC,\s\up7(―→))|=|eq \(CB,\s\up7(―→))|时取等号，∴|eq \(PC,\s\up7(―→))|≤1，
∴eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))=eq \(PC,\s\up7(―→))2≤1，∴eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))的最大值为1，故选B.
在等腰三角形AOB中，若|eq \(OA,\s\up7(―→))|=|eq \(OB,\s\up7(―→))|=5，且|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|≥eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up7(―→))|，
则eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))的取值范围为( )
A.[－15,25) B.[－15,15] C.[0,25) D.[0,15]
【答案解析】答案为：A；
解析：|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|≥eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up7(―→))|=eq \f(1,2)|eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))|，所以|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|2≥eq \f(1,4)|eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))|2，
即(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))2≥eq \f(1,4)(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))2，所以eq \(OA,\s\up7(―→))2＋2eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))2
≥eq \f(1,4)(eq \(OB,\s\up7(―→))2－2eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OA,\s\up7(―→))2)，即52＋2eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＋52≥eq \f(1,4)(52－2eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＋52)，
则eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))≥－15.又eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))≤|eq \(OA,\s\up7(―→))||eq \(OB,\s\up7(―→))|=5×5=25，
当且仅当eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))同向时取等号，因此上式等号不成立，
所以eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))的取值范围为[－15,25)，故选A.
二、填空题
已知向量a=(m,2)，b=(2，－1)，且a⊥b，则eq \f(|2a－b|,a·a＋b)的值为________.
【答案解析】答案为：1.
解析：∵a⊥b，∴2m－2=0，∴m=1，则2a－b=(0,5)，a＋b=(3,1)，
∴a·(a＋b)=1×3＋2×1=5，|2a－b|=5，∴eq \f(|2a－b|,a·a＋b)=eq \f(5,5)=1.
已知平面向量a，b满足|a|=|b|=1，a⊥(a－2b)，则|a＋b|= .
【答案解析】答案为：eq \r(3).
解析：∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)=0，解得2a·b=1，
∴|a＋b|=eq \r(|a|2＋|b|2＋2a·b)=eq \r(3).
已知动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，点C为直线l上一点，且满足eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(5,2)eq \(CA,\s\up6(→))，若M是线段AB的中点，则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))的值为 .
【答案解析】答案为：3.
解析：解法1：动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接OA，OB，
因为满足|AB|＝2，所以△AOB为等边三角形，于是不妨设动直线l为y＝eq \r(3)(x＋2)，
如图所示，根据题意可得B(－2,0)，A(－1，eq \r(3))，因为M是线段AB的中点，
所以M(－eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2)).设C(x，y)，因为eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(5,2)eq \(CA,\s\up6(→))，
所以(－2－x，－y)＝eq \f(5,2)(－1－x，eq \r(3)－y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2－x＝\f(5,2)－1－x，,－y＝\f(5,2)\r(3)－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3)，,y＝\f(5\r(3),3)，))所以C(－eq \f(1,3)，eq \f(5\r(3),3))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝(－eq \f(1,3)，eq \f(5\r(3),3))·(－eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))＝eq \f(1,2)＋eq \f(5,2)＝3.
解法2：连接OA，OB，因为直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，
所以△AOB为等边三角形，因为eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(5,2)eq \(CA,\s\up6(→))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(5,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))，
又M为AB的中点，所以eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，且eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，
则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \f(5,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(5,6)eq \(OA,\s\up6(→))2－eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cs60°
＝eq \f(5,6)×4－eq \f(1,3)×4＋eq \f(1,2)×2×2×eq \f(1,2)＝3.
已知平面向量a，b满足|b|=1，且a与b－a的夹角为120°，则|a|取值范围为______.
【答案解析】答案为：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3))).
解析：在△ABC中，设eq \(AB,\s\up7(―→))=a，eq \(AC,\s\up7(―→))=b，则b－a=eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))=eq \(BC,\s\up7(―→))，
∵a与b－a的夹角为120°，∴∠B=60°，
由正弦定理得eq \f(1,sin 60°)=eq \f(|a|,sin C)，∴|a|=eq \f(sin C,sin 60°)=eq \f(2\r(3),3)sin C，
∵0°