2023年高考数学(文数)一轮复习课时27《数系的扩充与复数的引入》达标练习（2份，答案版+教师版）

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一、选择题
对于复数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A.0 B.2 C.-2 D.-1
【答案解析】C；
若复数z满足(z－1)i=4＋2i，则|z|=( )
A.25 B.eq \r(17) C.5 D.17
【答案解析】答案为：C；
解析：由(z－1)i=4＋2i，得z－1=eq \f(4＋2i,i)=2－4i，所以z=3－4i，所以|z|=5.
已知i为虚数单位，若复数z=eq \f(1－ai,1＋i)(a∈R)的虚部为－3，则|z|=( )
A.eq \r(10) B.2eq \r(3) C.eq \r(13) D.5
【答案解析】答案为：C.
解析：因为z=eq \f(1－ai,1＋i)=eq \f(1－ai1－i,1＋i1－i)=eq \f(1－a－a＋1i,2)=eq \f(1－a,2)－eq \f(a＋1,2)i，
所以－eq \f(a＋1,2)=－3，解得a=5，所以z=－2－3i，所以|z|=eq \r(－22＋－32)=eq \r(13).
已知复数z满足z＋|z|=1＋i，则z=( )
A.－i B.i C.1－i D.1＋i
【答案解析】答案为：B.
解析：设z=a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|=(a＋eq \r(a2＋b2))＋bi=1＋i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2＋b2)＝1，,b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1，))所以z=i，故选B.
设复数z满足 SKIPIF 1 < 0 =1－i，则z=( )
A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i
【答案解析】答案为：C；
解析：由题意得z=eq \f(1＋i2,1－i)=eq \f(2i,1－i)=eq \f(2i1＋i,1－i1＋i)=－1＋i.
已知复数eq \f(\x\t(z),1＋i)＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A.－1＋3i B.1－3i C.－1－3i D.1＋3i
【答案解析】答案为：B
解析：由题意得，eq \x\t(z)＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，所以z＝1－3i.
已知i为虚数单位，a∈R，若eq \f(1－i,a＋i)为纯虚数，则复数z=(2a＋1)＋eq \r(2)i的模等于( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(6) D.eq \r(11)
【答案解析】答案为：D；
解析：因为eq \f(1－i,a＋i)=eq \f(1－ia－i,a2＋1)=eq \f(a－1,a2＋1)－eq \f(a＋1,a2＋1)i，为纯虚数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝0，,a＋1≠0，))解得a=1.
所以|z|=|(2a＋1)＋eq \r(2)i|=|3＋eq \r(2)i|=eq \r(32＋\r(2)2)=eq \r(11).
已知复数z1=2＋6i，z2=－2i.若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=( )
A.eq \r(5) B.5 C.2eq \r(5) D.2eq \r(17)
【答案解析】答案为：A；
解析：因为复数z1=2＋6i，z2=－2i，z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2,6)，B(0，－2)，线段AB的中点C(1，2)对应的复数z=1＋2i，则|z|=eq \r(12＋22)=eq \r(5).故选A.
若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则eq \x\t(z)＝( )
A.3－2i B.3＋2i C.2＋3i D.2－3i
【答案解析】答案为：D
解析：因为z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以eq \x\t(z)＝2－3i.
已知复数z=1＋eq \f(2i,1－i)，则1＋z＋z2＋…＋z2 015=( )
A.1＋i B.1－i C.i D.0
【答案解析】答案为：D.
解析：z=1＋eq \f(2i,1－i)=1＋eq \f(2i1＋i,2)=i，
∴1＋z＋z2＋…＋z2 015=eq \f(1×1－z2 016,1－z)=eq \f(1－i2 016,1－i)=eq \f(1－i4×504,1－i)=0.
计算(eq \f(1＋i,1－i))2 027＋(eq \f(1－i,1＋i))2 027=( )
A.－2i B.0 C.2i D.2
【答案解析】答案为：B.
解析：∵eq \f(1＋i,1－i)=eq \f(2i,2)=i，eq \f(1－i,1＋i)=－i，∴(eq \f(1＋i,1－i))2 027＋(eq \f(1－i,1＋i))2 027=(i4)506·i3＋[(－i)4]506·(－i)3
=－i＋i=0，故选B.]
复数z1，z2满足z1=m＋(4－m2)i，z2=2cs θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1=z2，则λ的取值范围是( )
A.[－1,1] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，1)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，7))
【答案解析】答案为：C
解析：由复数相等的充要条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2cs θ，,4－m2＝λ＋3sin θ，))
化简得4－4cs2 θ=λ＋3sin θ，
由此可得λ=－4cs2 θ－3sin θ＋4=－4(1－sin2 θ)－3sin θ＋4
=4sin2 θ－3sin θ=4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－\f(3,8)))2－eq \f(9,16)，因为sin θ∈[－1,1]，
所以4sin2 θ－3sin θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7)).
二、填空题
复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________.
【答案解析】答案为：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,3)))
解析：z=(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，
故3m－2