2023年高考数学(文数)一轮复习课时13《导数的运算与几何意义》达标练习（2份，答案版+教师版）

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一、选择题
已知f'(x)是函数f(x)=eq \f(1,3)x3+2x+3的导函数,则f'(-3)+f(-3)=( )
A.1 B.-1 C.11 D.12
若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3
过函数f(x)=eq \f(1,3)x3－x2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
曲线y=sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A.x－3y＋3=0 B.x－2y＋2=0 C.2x－y＋1=0 D.3x－y＋1=0
已知函数f(x)=e2x－2ex＋ax－1，曲线y=f(x)上存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为( )
A.(3，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(7,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,2))) D.(0,3)
曲线y=xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A.2e B.e C.2 D.1
若直线y=x与曲线y=ex+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切,则m=( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
若直线y=ax是曲线y=2ln x+1的一条切线,则实数a=( )
A. SKIPIF 1 < 0 B.2 SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D.2 SKIPIF 1 < 0
如图，y=f(x)是可导函数，直线l：y=kx＋2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，g(x)=xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)=( )
A.－1 B.0 C.2 D.4
已知点P在曲线y=eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，0)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))
已知直线y=kx－2与曲线y=xln x相切，则实数k的值为( )
A.ln 2 B.1 C.1－ln 2 D.1＋ln 2
已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0,|φ|A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ－eq \f(π,12)(k∈Z)
B.函数g(x)的最大值为2eq \r(2)
C.函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：y=3x－1平行
D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1，x2，则|x1－x2|最小值为eq \f(π,2)
二、填空题
若点P是曲线y=x2－lnx上任意一点，则点P到直线y=x－2距离的最小值为 .
若点P是曲线y=x2－ln x上任意一点，则点P到直线y=x－2的最小距离为________.
已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=ln(－x)＋3x，则曲线y=f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.
曲线y=x+cs x在点(eq \f(π,2)，eq \f(π,2))处的切线方程为 .
\s 0 答案解析
答案为：B；
解析：f'(x)=x2+2,所以f'(-3)+f(-3)=(-3)2+2+eq \f(1,3)×(-3)3+2×(-3)+3=11-12=-1.故选B.
答案为：A；
解析：设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，
则由题意知只需函数y=f(x)满足f′(x1)·f′(x2)=－1即可.
y=f(x)=sinx的导函数为f′(x)=csx，则f′(0)·f′(π)=－1，
故函数y=sinx具有T性质；y=f(x)=lnx的导函数为f′(x)=eq \f(1,x)，
则f′(x1)·f′(x2)=eq \f(1,x1x2)＞0，故函数y=lnx不具有T性质；
y=f(x)=ex的导函数为f′(x)=ex，则f′(x1)·f′(x2)=ex1＋x2＞0，
故函数y=ex不具有T性质；y=f(x)=x3的导函数为f′(x)=3x2，
则f′(x1)·f′(x2)=9xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)≥0，故函数y=x3不具有T性质.故选A.
答案为：B
解析：设切线的倾斜角为α.由题意得k=f′(x)=x2－2x=(x－1)2－1≥－1，
即k=tan α≥－1，解得0≤α即切线倾斜角的范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).故选B.
答案为：C
解析：y′=cs x＋ex，故切线斜率为k=2，切线方程为y=2x＋1，即2x－y＋1=0.
答案为：B；
解析：f(x)=e2x－2ex＋ax－1的导函数为f′(x)=2e2x－2ex＋a，
由题意可得2e2x－2ex＋a=3的解有两个，即有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－\f(1,2)))2=eq \f(7－2a,4)，
即为ex=eq \f(1,2)＋eq \f(\r(7－2a),2)或ex=eq \f(1,2)－eq \f(\r(7－2a),2)，即有7－2a＞0且7－2a＜1，解得3＜a＜3.5.
答案为：C
解析：∵y′=x′·ex－1＋x·(ex－1)′=(1＋x)ex－1，
∴曲线y=xex－1在点(1,1)处的切线斜率为y′|x=1=2.故选C.
答案为：C；
解析：设切点为P(x0,y0),由y=ex+m得y'=(ex+m)'=em(ex)'=ex+m,所以切线斜率k==1,
得x0+m=0,又y0==1,y0=x0,所以x0=1,于是m=-x0=-1.故选C.
答案为：B；
解析：依题意,设直线y=ax与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x0,则有y'=,
于是有解得x0=,则a==2,故选B.
答案为：B
解析：由题意知直线l：y=kx＋2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，由图可得f(3)=1.
又点(3,1)在直线l上，∴3k＋2=1，∴k=－eq \f(1,3)，∴f′(3)=k=－eq \f(1,3).
∵g(x)=xf(x)，∴g′(x)=f(x)＋xf′(x)，
则g′(3)=f(3)＋3f′(3)=1＋3×（－eq \f(1,3)）=0，故选B.
答案为：A；
解：∵y=eq \f(4,ex＋1)，∴y′=eq \f(－4ex,（ex＋1）2)=eq \f(－4ex,e2x＋2ex＋1)=eq \f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2).
∵ex＞0，∴ex＋eq \f(1,ex)≥2，∴y′∈[－1，0)，∴tan α∈[－1，0).
又α∈[0，π)，∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，故选A.
答案为：D
解析：由y=xln x得y′=ln x＋1，设切点为(x0，y0)，则k=ln x0＋1，
∵切点(x0，y0)既在曲线y=xln x上又在直线y=kx－2上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝kx0－2，,y0＝x0ln x0，))∴kx0－2=x0ln x0，∴k=lnx0＋eq \f(2,x0)，
∴ln x0＋eq \f(2,x0)=ln x0＋1，∴x0=2，∴k=ln 2＋1，故选D.
答案为：C.
解析：由函数的最值可得A=2，函数的周期T=2π=eq \f(2π,ω)，所以ω=1，
当x=eq \f(π,6)时，ωx＋φ=1×eq \f(π,6)＋φ=2kπ＋eq \f(π,2)，所以φ=2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，
令k=0可得φ=eq \f(π,3)，函数的解析式f(x)=2sin（x+eq \f(π,3)）.
则g(x)=f(x)＋f′(x)=2sin（x+eq \f(π,3)）＋2cs（x+eq \f(π,3)）=2eq \r(2)sin（x+eq \f(7π,12)），
结合函数的解析式有g′(x)=2eq \r(2)cs（x+eq \f(7π,12)）∈[－2eq \r(2)，2eq \r(2)]，
而3∉[－2eq \r(2)，2eq \r(2)]，
选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项均正确.本题选择C选项.
二、填空题
答案为：eq \r(2);
解析：由题意知y=x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，当点P是曲线的切线中与直线y=x－2平行的直线的切点时，点P到直线y=x－2的距离最小，如图所示.
故令y′=2x－eq \f(1,x)=1，解得x=1，故点P的坐标为(1,1).
故点P到直线y=x－2的最小值dmin=eq \f(|1－1－2|,\r(2))=eq \r(2).
答案为：eq \r(2).
解析：由y=x2－ln x，得y′=2x－eq \f(1,x)(x＞0)，
设点P0(x0，y0)是曲线y=x2－ln x上到直线y=x－2的距离最小的点，
则y′x=x0=2x0－eq \f(1,x0)=1，解得x0=1或x0=－eq \f(1,2)(舍去).∴点P0的坐标为(1,1).
∴所求的最小距离为eq \f(|1－1－2|,\r(2))=eq \r(2).
答案为：y=－2x－1.
解析：令x＞0，则－x＜0，f(－x)=ln x－3x，
又f(－x)=f(x)，∴f(x)=ln x－3x(x＞0)，
则f′(x)=eq \f(1,x)－3(x＞0)，∴f′(1)=－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3=
－2(x－1)，则y=－2x－1.
答案为：y=eq \f(π,2)；
解析：y'=1-sin x,则曲线y=x+cs x在点（eq \f(π,2)，eq \f(π,2)）处的切线的斜率k=1-sin eq \f(π,2)=0,
所以切线方程为y=eq \f(π,2).