高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习08《导数的概念与几何意义、导数的运算》 (教师版)

刷题增分练 8　导数的概念与几何意义、导数的运算

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一、选择题

1．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，

则 的值为(　　)

A．f′(x0)　　　B．2f′(x0)     C．－2f′(x0)   D．0

答案：B

解析： ＝2

＝2 ＝2f′(x0)．故选B.

2．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　)

A．e2  B．e             C.  D．ln2

答案：B

解析：f′(x)＝lnx＋1.因为f′(x0)＝2，所以lnx0＋1＝2，解得x0＝e.故选B.

3．已知f′(x)是f(x)＝sinx＋acosx的导函数，且f′＝，则实数a的值为(　　)

A.  B.         C.  D．1

答案：B

解析：由题意可得f′(x)＝cosx－asinx，由f′＝，得－a＝，解得a＝.故选B.

4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝(　　)

A．－e  B．－1        C．1    D．e

答案：B

解析：由题可得f′(x)＝2f′(1)＋，则f′(1)＝2f′(1)＋1，

解得f′(1)＝－1，所以选B.

5．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)

A．26   B．29             C．212  D．215

答案：C

解析：f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝212.故选C.

6．下列函数中，导函数在(0，＋∞)上是单调递增函数的是(　　)

A．y＝3lnx－x   B．y＝ex＋x

C．y＝3x＋2    D．y＝x3－x2＋2x

答案：B

解析：对于A，因为y＝3lnx－x，所以y′＝－1在(0，＋∞)上是单调递减函数；对于B，因为y＝ex＋x，所以y′＝ex＋1在(0，＋∞)上是单调递增函数；对于C，因为y＝3x＋2，所以y′＝3在(0，＋∞)上是常函数；对于D，因为y＝x3－x2＋2x，所以y′＝3x2－2x＋2在(0，＋∞)上不单调．故选B.

7.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列选项正确的是(　　)

A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)

B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)

C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)

D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)

答案：C

解析：由题意知，(2，f(2))，(3，f(3))两点连线的斜率为＝f(3)－f(2)，而f′(2)、f′(3)分别表示函数f(x)的图象在点(2，f(2))，(3，f(3))处切线的斜率，由图象可知0<f′(3)<<f′(2)，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．

8．已知函数f(x)＝xlnx，则f′(1)＋f(4)的值为(　　)

A．1－8ln2  B．1＋8ln2     C．8ln2－1  D．－8ln2－1

答案：B

解析：因为f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝0＋1＝1，所以f′(1)＋f(4)＝1＋4ln4＝1＋8ln2.故选B.

二、非选择题

9．曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为________．

答案：y＝2x－2

解析：∵y′＝，y′|x＝1＝2，∴切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.

∴ 切线方程为y＝2x－2.

10．曲线f(x)＝xlnx在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是________．

答案：

解析：因为f′(x)＝1＋lnx，且f(1)＝0，f′(1)＝1，所以切线l的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1.令x＝0，得y＝－1，令y＝0，得x＝1，∴切线l与两坐标轴的交点坐标分别为A(0，－1)，B(1,0)，则|OA|＝1，|OB|＝1，∴S△ABO＝×1×1＝.

11．曲线f(x)＝lnx＋x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．

答案：(－∞，1]

解析：由题意，得f′(x)＝＋x＋a，故存在切点P(t，f(t))，使得＋t＋a＝3，所以3－a＝＋t有解．因为t>0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时取等号)，即a≤1.

12．设点P、Q分别是曲线y＝xe－x(e是自然对数的底数)和直线y＝x＋3上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为________．

答案：

解析：y′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，令(1－x)e－x＝1，得ex＝1－x，ex＋x－1＝0，令h(x)＝ex＋x－1，显然h(x)是增函数，且h(0)＝0，即方程ex＋x－1＝0只有一个解x＝0，又曲线y＝xe－x在x＝0处的切线方程为y＝x，两平行线x－y＝0和x－y＋3＝0之间的距离为d＝＝，故P、Q两点间距离的最小值为.

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一、选择题

1．若f′(x0)＝－3，则 ＝(　　)

A．－3  B．－6        C．－9  D．－12

答案：B

解析：f′(x0)＝－3，则

＝

＝ ＋

＝2f′(x0)＝－6.故选B.

2．已知函数f(x)＝x(2 017＋lnx)，f′(x0)＝2 018，则x0＝(　　)

A．e2   B．1          C．ln2  D．e

答案：B

解析：由题意可知f′(x)＝2 017＋lnx＋x·＝2 018＋lnx.由f′(x)＝2 018，得lnx0＝0，解得x0＝1.

3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3xf′(1)＋2lnx，则f′(1)＝(　　)

A．－e  B．－1        C．1    D．e

答案：B

解析：∵f′(x)＝3f′(1)＋，∴f′(1)＝3f′(1)＋2，解得f′(1)＝－1.故选B.

4．已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为(　　)

A．ln2     B．1         C．1－ln2  D．1＋ln2

答案：D

解析：由y＝xlnx知y′＝lnx＋1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)·(x－x0)，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2)，所以－2－x0lnx0＝(lnx0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，选D.

5．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x  B．y＝－x     C．y＝2x    D．y＝x

答案：D

解析：∵ f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，

∴ f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.

又f(x)为奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)恒成立，

即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，

∴ a＝1，∴ f′(x)＝3x2＋1，∴ f′(0)＝1，

∴ 曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.

故选D.

∵ f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，

∴ f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，

∴ a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴ f′(0)＝1，

∴ 曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.

故选D.

6．过函数f(x)＝x3－x2图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为(　　)

A.  B.∪

C.  D.

答案：B

解析：设切线的倾斜角为α.由题意得k＝f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，即k＝tanα≥－1，解得0≤α<或≤α<π，则切线倾斜角的范围为∪.故选B.

7．已知函数f(x)＝x2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数y＝lnx，x∈(0,1)的图象相切，则x0必满足(　　)

A．0<x0<    B.<x0<1      C.<x0<   D.<x0<

答案：D

解析：由题意，得f′(x)＝2x，所以f′(x0)＝2x0，f(x0)＝x，所以切线l的方程为y＝2x0(x－x0)＋x＝2x0x－x.因为l也与函数y＝lnx(0<x<1)的图象相切，设切点坐标为(x1，lnx1)，易知y′＝，则切线l的方程为y＝x＋lnx1－1，则有又0<x1<1，所以x0>1，所以1＋ln2x0＝x，x0∈(1，＋∞)．令g(x)＝x2－ln2x－1，x∈(1，＋∞)，则g′(x)＝2x－＝>0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln2<0，g()＝1－ln2<0，g()＝2－ln2>0，所以存在x0∈(，)，使得g(x0)＝0，故<x0<，选D.

8．已知函数f(x)＝x，曲线y＝f(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－e2，＋∞)  B．(－e2,0)    C.    D.

答案：D

解析：∵曲线y＝f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴f′(x)＝a＋(x－1)e－x＝0有两个不同的解，即a＝(1－x)e－x有两个不同的解．设y＝(1－x)e－x，则y′＝(x－2)e－x，∴当x<2时，y′<0，当x>2时，y′>0，则y＝(1－x)e－x在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝2时，函数y取得极小值－e－2.又∵当x>2时总有y＝(1－x)e－x<0且f(0)＝1>0，∴可得实数a的取值范围是.故选D.

二、非选择题

9．已知函数f(x)＝xsinx，则f(x)在x＝处的导数为________．

答案：1

解析：∵f(x)＝xsinx，∴f′(x)＝sinx＋xcosx，

故f′＝sin＋cos＝1.

10．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.

答案：－3

解析：∵ y′＝(ax＋a＋1)ex，∴ 当x＝0时，y′＝a＋1，

∴ a＋1＝－2，得a＝－3.

11．已知函数f(x)＝x3－x.

(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；

(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．

解析：(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.

故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.

(2)设切点为(x0，x－x0)，则切线方程为y－(x－x0)＝f′(x0)(x－x0)．

又切线过点(1，b)，所以(3x－1)(1－x0)＋x－x0＝b，

即2x－3x＋b＋1＝0.

由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．

记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，

而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图象可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．