(新高考)高考数学一轮复习过关练考点07 导数的运算及几何意义（含解析）

考点07  导数的运算及几何意义

①了解导数的概念，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义；

②理解导数额概念，理解基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则，能利用导数公式和求导法则求简单的导数；

导数的运算与导数的几何意义重点体现在求函数的切线方程，在最近几年高考中经常考查，不仅体现在填空题中也体现在大题大题的第一问中。多数都是以送分题的形式出现。

在高考复习中要注意以下几点：

1、解决在点处的切线问题要抓住两点：（1）切点即在曲线上也在曲线的切线上。（2）切线l的斜率

2、求函数的导数是掌握基本初等函数的求导公式以及运算法则，在求导的过程中，要仔细分析函数解析式的结构特点，紧扣求导法则把函数分解或者综合合理变形，正确求导。

3、在解题过程中要充分利用好曲线的切线，挖掘切线的价值，在有些问题中，可利用切线求两个曲线上的点的之间距离或求参的范围。

1、【2020年全国1卷】.函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B.

2、【2020年全国3卷】.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）

A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+

【答案】D

【解析】】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

3、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．   B．a=e，b=1

C．   D．，

【答案】D

【解析】∵

∴切线的斜率，，

将代入，得.

故选D．

【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.

4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.

故选D.

5、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.

【答案】4.

【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.

由，得，，

即切点，

则切点Q到直线的距离为，

故答案为：．

6、(2019年江苏卷)..在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.

【答案】.

【解析】设点，则.又，

当时，，

点A在曲线上的切线为，

即，

代入点，得，

即，

考查函数，当时，，当时，，

且，当时，单调递增，

注意到，故存在唯一的实数根，此时，

故点的坐标为.

7、【2020年山东卷】已知函数．

（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

【答案】（1）（2）

【解析】（1），，.

，∴切点坐标为(1,1+e),

∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,

切线与坐标轴交点坐标分别为,

∴所求三角形面积为;

8、【2020年天津卷】.已知函数，为的导函数．

（Ⅰ）当时，

（i）求曲线在点处的切线方程；

【解析】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；

g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.

9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.

【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+∞）．

因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．

因为f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零点．

综上，f（x）有且仅有两个零点．

（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．

由题设知，即，故直线AB的斜率．

曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，

所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．

10、【2020年北京卷】已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）因为，所以，

设切点为，则，即，所以切点为，

由点斜式可得切线方程：，即.

（Ⅱ）显然，

因为在点处的切线方程为：，

令，得，令，得，

所以，

不妨设时，结果一样，

则，

所以

，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为.

11、【2019年高考北京理数】已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：；

（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．

【答案】（Ⅰ）与；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）由得.

令，即，得或.

又，，

所以曲线的斜率为1的切线方程是与，

即与.

（Ⅱ）令.

由得.

令得或.

的情况如下：

所以的最小值为，最大值为.

故，即.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

当时，；

当时，；

当时，.

综上，当最小时，.

题型一 导数的几何意义

1、（2010届北京西城区第4中学期中）已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，

将代入得，故选D．

2、（北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）直线经过点，且与直线平行，如果直线与曲线相切，那么等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直线经过点，且与直线平行，则直线方程为：

直线与曲线相切，，切点为 代入直线方程

解得：

故选：A

3、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）曲线在处的切线方程为，则实数______.

【答案】1；

【解析】因为，

所以，所以，，

故曲线在处的切线过且斜率，故切线方程为

所以

故答案为：

4、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线在处的切线斜率为-1，则___________.

【答案】

【解析】，

.

故答案为:-2.

5、（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线在点处的切线的方程为__________．

【答案】

【解析】

6、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线与曲线相切，则__________.

【答案】

【解析】函数的导函数，

设切点坐标，则，解得：.

故答案为：

.7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________ .

【答案】1

【解析】函数f(x)=ax−lnx,可得,切线的斜率为：，

切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)，

l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1.

故答案为1.

8、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）给出下列三个函数：①；②；③，则直线()不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）．

【答案】①

【解析】直线的斜率为k＝，

对于①，求导得：，对于任意x≠0，＝无解，所以，直线不能作为切线；

对于②，求导得：有解，可得满足题意；

对于③，求导得：有解，可得满足题意；

故答案为：①

9、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数.

（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；

【解析】

（Ⅰ）解：，

当时，，，

所以曲线在点处的切线方程为，即；

10、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）当时，，，

所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.

（2）因为，

因为函数处有极小值，所以，

所以

由，得或，

当或时，，

当时，，

所以在，上是增函数，在上是减函数，

因为，，

所以的最大值为.

题型二   函数图像的切线的综合问题

1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线和曲线E：交于三点时，曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，则过点可作曲线E的切线的条数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】直线过定点

由题意可知：定点是曲线的对称中心，

，解得，所以曲线，

f′（x）= ，设切点M（x0，y0），

则M纵坐标y0=，又f′（x0）=，

∴切线的方程为：

又直线过定点

，

得﹣-2=0，

，

即

解得：

故可做两条切线

故选C

2、（北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考数学试题）已知函数，，其中．若的图象在点处的切线与的图象在点处的切线重合，则a的取值范围为（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵，

∴，，

函数在点处的切线方程为：，

函数在点处的切线方程为：，

两直线重合的充要条件是①，②，

由①及得，

故，

令，则，且，

设，

，

当时，恒成立，即单调递减，

，时，，

即a的取值范围为，故选A.

3、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在平面直角坐标系中，曲线在点处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数.若点，的面积为3，则的值是______.

【答案】

【解析】由题，，切线斜率，则切线方程为，令，解得，又的面积为3，，解得.

故答案为：

4、（2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟）已知P为指数函数图象上一点，Q为直线上一点，则线段PQ长度的最小值是_______

【答案】

【解析】设图象上斜率为1的切线的切点是，由，，，，即．到直线的距离是．

故答案为：．

5、(2019苏锡常镇调研）已知点P在曲线C：上，曲线C在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为       ．

【答案】.

【解析】设，因为，所以切线l的斜率，且，则直线，即

令，消得：，设，则，即，又因为点在曲线上，所以，故

因为，所以，即，化简得，则，所以点的纵坐标为

6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数.

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时，若曲线与曲线存在唯一的公切线，求实数的值;

【解析】(1)，

当时，恒成立，在上单调递减，

当时，由，解得，

由于时，导函数单调递增，

故，单调递减，

单调递增.

综上，当时在上单调递减;

当时， 在上单调递减，在上单调递增. .

(2)曲线与曲线存在唯一公切线，设该公切线与分别切于点，显然.

由于，

所以，

，

由于，故，且

因此，

此时，

设

问题等价于直线与曲线在时有且只有一个公共点，

又，令，解得，

则在上单调递增，上单调递减，

而，当时，

所以的值域为.

故.

7、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为.

（1）求a；

【解析】（1）对求导，得.

因此.又因为，

所以曲线在点处的切线方程为

，

即.

由题意，.

显然，适合上式.

令，

求导得，

因此为增函数：故是唯一解.