2023年高考数学(理数)一轮复习课时13《导数的运算与几何意义》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时13

《导数的运算与几何意义》达标练习

一 、选择题

1.已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于(　　)

A.4           B.5            C.           D.

2.直线y=x＋b是曲线y=ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　)

A.2         B.ln 2＋1       C.ln 2－1         D.ln 2

3.已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为              (　　)

A.1             B.-1           C.2            D.-2

4.曲线y=ax在x=0处的切线方程是xln 2＋y－1=0，则a=(　　)

A.         B.2       C.ln 2         D.ln

5.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)

A.0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)

B.0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)

C.0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)

D.0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)

6.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b=(　　)

A.－1         B.0       C.1         D.2

7.已知曲线y=在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为(　　)

A.2x＋y＋2=0

B.2x＋y＋2=0或2x＋y－18=0

C.2x－y－18=0

D.2x－y＋2=0或2x－y－18=0

8.设函数f(x)=xsin x＋cos x的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为g(t)，则函数y=g(t)的图象一部分可以是(　　)

9.已知f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图像都相切,且与f(x)图像的切点为(1,f(1)),则m的值为              (　　)

A.-1                        B.-3              C.-4                      D.-2

10.已知变量a，b满足b=－a2＋3ln a(a＞0)，若点Q(m，n)在直线y=2x＋上，

则(a－m)2＋(b－n)2的最小值为(　　)

A.           B.           C.9            D.3

11.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)

A.－1         B.0           C.2            D.4

12.已知各项均为正数的等比数列{an}，a3·a5=2，若f(x)=x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)，

则f′(0)=(　　)

A.8         B.－8       C.128         D.－128

二 、填空题

13.已知a∈R，设函数f(x)=ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.

14.函数f(x)=ln x+x2+ax的图像上存在与直线3x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是　　　　.

15.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)=x＋ex，则f′(1)的值为        .

16.已知曲线y=x＋ln x在点(1，1)处的切线为l.若l与曲线y=ax2＋(a＋2)x＋1相切，

则a=________.

0.答案解析

1.答案为：C

解析：∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，

∴f′(－1)＝8，切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，

令y＝0，得x＝－，∴所求面积S＝××10＝.故选C.

2.答案为：C；

解：∵y=ln x的导数为y′=，∴=，解得x=2，∴切点为(2，ln 2).

将其代入直线y=x＋b，得b=ln 2－1.

3.答案为：A；

解析：设x+1=t,则x=t-1,所以f(t)==2-,故f(x)=2-,所以f'(x)=,

故切线的斜率k=1,故选A.

4.答案为：A

解析：由题知，y′=axln a，y′|x=0=ln a，又切点为(0,1)，

故切线方程为xln a－y＋1=0，∴a=，故选A.

5.答案为：C；

解：由函数f(x)的图象可得函数f(x)的导函数f′(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，

f(x)在[2，3]上的平均变化率小于函数f(x)在点(2，f(2))处的瞬时变化率，

大于f(x)在点(3，f(3))处的瞬时变化率，

所以0＜f′(3)＜＜f′(2)，即0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2).

6.答案为：C；

解：依题意得，f′(x)=－asin x，g′(x)=2x＋b，

于是有f′(0)=g′(0)，即－asin 0=2×0＋b，b=0，

m=f(0)=g(0)，即m=a=1，因此a＋b=1.

7.答案为：B

解析：y′==－，y′|x=2=－=－2，因此kl=－2，

设直线l方程为y=－2x＋b，即2x＋y－b=0，由题意得=2，

解得b=18或b=－2，所以直线l的方程为2x＋y－18=0或2x＋y＋2=0.故选B.

8.答案为：A

解析：由f(x)=xsin x＋cos x可得f′(x)=sin x＋xcos x－sin x=xcos x.

即y=g(t)=tcos t，是奇函数，排除选项B，D；

当t∈（0，）时，y=g(t)＞0，排除选项C.故选A.

9.答案为：D；

解析：因为f'(x)=,所以直线l的斜率k=f'(1)=1,

又f(1)=0,所以切线l的方程为y=x-1.g'(x)=x+m,

设直线l与g(x)的图像的切点坐标为(x0,y0),

则有解得m=-2.故选D.

10.答案为：A；

解析：由题意知，y=2x＋表示斜率为2的直线，变量a，b满足b=－a2＋3ln a，

设函数f(x)=－x2＋3ln x，则f′(x)=－x＋，设当切线斜率为2时，

函数f(x)图象的切点的横坐标为x0，则－x0＋=2，所以x0=1，

此时切点坐标为（1，－），切点到直线y=2x＋的距离d=，

所以(a－m)2＋(b－n)2的最小值为d2=.

11.答案为：B

解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率等于－，

∴f′(3)＝－.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，

∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，

所以g′(3)＝1＋3×(－)＝0.故选B.

12.答案为：B

解析：令f(x)=x·g(x)，其中g(x)=(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a7)，

则f′(x)=g(x)＋x·g′(x)，

因为{an}是等比数列，所以f′(0)=g(0)=－a1·a2·a3·…·a7=－a，

又因为a3·a5=a=2及{an}各项均为正数，所以a4=，故f′(0)=－8.故选B.

二 、填空题

13.答案为：1.

解析：由题意可知f′(x)=a－，所以f′(1)=a－1，

因为f(1)=a，所以切点坐标为(1，a)，

所以切线l的方程为y－a=(a－1)(x－1)，即y=(a－1)x＋1.

令x=0，得y=1，即直线l在y轴上的截距为1.

14.答案为：(-∞,1]；

解析：由题意,得f'(x)=+x+a,故曲线y=f(x)上存在切点P(t,f(t))满足+t+a=3,

所以3-a=+t有解.因为t>0,所以3-a=+t≥2(当且仅当t=1时取等号),得a≤1.

15.答案为：2.

解：令t=ex，故x=ln t，∴f(t)=ln t＋t，即f(x)=ln x＋x，

∴f′(x)=＋1，∴f′(1)=2.

16.答案为：8.

解析：依题意得，y′=2，切线l的方程为y－1=2(x－1)，

即y=2x－1，由消去y得ax2＋(a＋2)x＋1=2x－1，

即ax2＋ax＋2=0，Δ=a2－8a=0(a≠0)，解得a=8(a=0舍去).