高考数学一轮复习检测：第2章第1节 导数的运算、几何意义 含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·衡阳模拟)曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a＝(　　)

A．1　　　　　　　 B．－1

C．7  D．－7

解析：选C.f′(x)＝＝，

又∵f′(1)＝tan＝－1，∴a＝7.

2．(2018·福州质检)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)

A．－1  B．0

C．2  D．4

解析：选B.依题意得f(3)＝k×3＋2＝1，k＝－，则f′(3)＝k＝－，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0，故选B.

3．(2018·成都模拟)直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　)

A．2  B．ln 2＋1

C．ln 2－1  D．ln 2

解析：选C.∵y＝ln x的导数为y′＝，∴＝，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.

4．若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．2

解析：选C.依题意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，

于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，b＝0，

m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.

5．(2018·四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)

A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)

B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)

C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)

D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)

解析：选C.由函数f(x)的图象可得函数f(x)的导函数f′(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，f(x)在[2，3]上的平均变化率小于函数f(x)在点(2，f(2))处的瞬时变化率，大于f(x)在点(3，f(3))处的瞬时变化率，所以0＜f′(3)＜＜f′(2)，即0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)．

6．(2018·江西南昌二中月考)已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为(　　)

A．e  B．－e

C.  D．－

解析：选C.解法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝.设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝＝，∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝＝.

解法二：(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x及曲线f(x)＝ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.

7．(2018·江西新余质检)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)

A．－1  B．－3

C．－4  D．－2

解析：选D.∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴直线l的方程为y＝x－1.

g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)图象的切点为(x0，y0)，则

∴－m＝(1－m)2＋m(1－m)＋，得m＝－2，故选D.

8．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1，0)处的切线方程为________．

解析：由y＝2ln x得y′＝.因为k＝y′|x＝1＝2，点(1，0)为切点，

所以切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.

答案：2x－y－2＝0

9．(2018·长沙模拟)已知函数y＝f(x)的图象在点M(2，f(2))处的切线方程是y＝x＋4，则f(2)＋f′(2)＝________．

解析：y＝f(x)的图象在点M(2，f(2))处的切线方程是y＝x＋4，可得f(2)＝2＋4＝6，f′(2)＝1，则f(2)＋f′(2)＝6＋1＝7.

答案：7

10．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．

解析：令x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，

又f(－x)＝f(x)，

∴f(x)＝ln x－3x(x＞0)，

则f′(x)＝－3(x＞0)，

∴f′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝

－2(x－1)，则y＝－2x－1.

答案：y＝－2x－1

B级　能力提升练

11．(2018·烟台模拟)若直线y＝ax是曲线y＝2ln x＋1的一条切线，则实数a＝(　　)

A．e－　　　　　　　　　 B．2 e－　

C．e－　 D．2 e－　

解析：选B.依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2ln x＋1的切点的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝，于是有解得x0＝，a＝＝2 e－　，选B.

12．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A.∵y＝，

∴y′＝＝＝.

∵ex＞0，∴ex＋≥2，

∴y′∈[－1，0)，∴tan α∈[－1，0)．

又α∈[0，π)，∴α∈，故选A.

13．(2018·赣中南五校联考)已知函数fn(x)＝xn＋1，n∈N的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 020x1＋log2 020x2＋…＋log2 020x2 019的值为(　　)

A．－1  B．1－log2 0202 019

C．－log2 0192 018  D．1

解析：选A.由题意可得点P的坐标为(1，1)，f′n(x)＝(n＋1)·xn，所以fn(x)图象在点P处的切线的斜率为n＋1，故可得切线的方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，所以切线与x轴交点的横坐标为xn＝，则log2 020x1＋log2 020x2＋…＋log2 020x2 019＝log2 020(x1x2·…·x2 019)＝log2 020

＝log2 020＝－1，故选A.

14．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)

A．y＝sin x  B．y＝ln x

C．y＝ex  D．y＝x3

解析：选A.设函数y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，则由题意知，只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可，y＝f(x)＝sin x的导函数为f′(x)＝cos x，则f′(0)f′(π)＝－1, 故函数y＝sin x具有T性质：y＝f(x)＝ln x的导函数为f′(x)＝，则f′(x1)·f′(x2)＝＞0，故函数y＝ln x不具有T性质；y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)＝ex，则f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2＞0，故函数y＝ex不具有T性质；y＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，则f′(x1)f′(x2)＝9xx≥0，故函数y＝x3不具有T性质．故选A.

15．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．

解析：由题意可知f′(x)＝a－，

所以f′(1)＝a－1，

因为f(1)＝a，所以切点坐标为(1，a)，

所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，

即y＝(a－1)x＋1.

令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.

答案：1

16．(2018·潍坊模拟)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

解析：∵f(x)＝x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，

∴f′(x)＝x－a＋.

∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，

即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．

答案：[2，＋∞)

C级　素养加强练

17．(2018·长沙市模拟)已知f(x)＝ax3－x2－x＋b(a，b∈R，a≠0)，g(x)＝ex(e是自然对数的底数)，f(x)的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋.

(1)求a，b的值；

(2)探究：直线y＝x＋是否可以与函数g(x)的图象相切？若可以，写出切点的坐标；若不可以，说明理由．

解：(1)因为f(x)＝ax3－x2－x＋b，所以f′(x)＝3ax2－2x－1，

因为f(x)＝ax3－x2－x＋b的图象在x＝－处的切线方程是y＝x＋，

所以f′＝，即3a×－2×－1＝，解得a＝1.

因为f(x)的图象过点，所以－－＋b＝，解得b＝.

综上，a＝1，b＝.

(2)设直线y＝x＋与函数g(x)的图象相切，切点为点B(x0，y0)，

因为g′(x)＝ex，所以过点B的切线的斜率是g′(x0)＝ex0.

又直线y＝x＋的斜率是，所以ex0＝，解得x0＝－.

将x0＝－代入y＝ex得点B的坐标为，

所以直线y＝x＋可以与函数g(x)的图象相切，切点坐标为.