必修 第一册3.4 函数的应用（一）学案

函数的应用(一)

知识点　基本模型

1．一次函数模型：解析式y＝__kx＋b__，条件k≠__0__；

2．二次函数模型：(1)一般式：y＝__ax2＋bx＋c__(a≠0)；

(2)顶点式：y＝__a＋__(a≠0)；

(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).

3．幂函数模型：(1)解析式：y＝__axα＋b__(a，b，α为常数，a≠0)；

(2)单调性：其增长情况由xα中的__α__值确定．

4．分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)在一次函数模型中，k>0时，函数是增长的．(　√　)

(2)在用函数模型解决实际问题时，得到的数学问题的解就是实际问题的解．(　×　)

(3)现实生活中有很多问题都可以用分段函数来描述，如出租车计费，个人所得税等．(　√　)

(4)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系可以用一次函数模型来刻画．(　√　)

【解析】 (1)k>0时，一次函数是增函数．

(2)在用函数模型解决实际问题时，得到的数学问题的解还要用实际问题进行检验，以确定是否符合实际．

(3)可以用分段函数来描述实际问题，正确．

(4)h＝20－5t(0≤t≤4)，是一次函数，正确．

 某服装厂每天可以生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元，每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元．由于资金有限，该厂每月成本支出不超过23万元，为使盈利最大，若按每月30天计算，应安排生产童装和西服各多少天(天数为整数)？求出最大利润．

解：设生产童装的天数为x，总利润为y元，则生产西服的天数为(30－x)，每月生产童装和西服的套数分别为200x和50(30－x)，每月生产童装和西服的成本分别为(40×200x)元和[150×50×(30－x)]元，每月生产童装和西服的利润分别为(22×200x)元和[80×50×(30－x)]元，则总利润为y＝22×200x＋80×50×(30－x)，

化简得y＝400x＋120 000.

由于每月成本不超过23万元，则40×200x＋150×50×(30－x)≤230 000，解得0≤x≤10，且x为整数．显然当x＝10时，盈利最大．

故每月应安排生产童装10天，生产西装20天，每月的最大利润是124 000元．

[规律方法]

用一次函数模型解决实际问题的解题方法：

(1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围；

(2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型；

(3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验．

活学活用

为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：小时)与通话费用y1，y2(单位：元)的关系如图所示：

(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；

(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．

解：(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.

故y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0).

(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，

则x＝96.

当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；

当x<96时，y1>y2，使用“便民卡”便宜；

当x>96时，y1<y2，使用“如意卡”便宜．

 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000.已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解：设可获得的总利润为W万元，

则W＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000

＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210).　

因为W在[0，210]上单调递增，所以当x＝210时，

Wmax＝－(210－220)2＋1 680＝1 660(万元).

所以年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润为1 660万元．

[规律方法]

用二次函数模型解题的策略：

(1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式).

(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．

(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象．

活学活用

某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q(万元)，它们与投入资金m(万元)的关系有如下公式：P＝m＋60，Q＝70＋6，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．

(1)设对乙种产品投入资金x(万元)，求总利润y(万元)关于x的函数关系式及其定义域；

(2)如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润．

解：(1)根据题意，对乙种产品投入资金x万元，对甲种产品投入资金(200－x)万元，

那么y＝(200－x)＋60＋70＋6＝－x＋6＋230，

由解得25≤x≤175，

所以函数的定义域为[25，175].

(2)令t＝，则y＝－t2＋6t＋230＝－(t－6)2＋248，

因为x∈[25，175]，所以t∈[5，5].

当t∈[5，6]时函数单调递增；

当t∈[6，5]时函数单调递减，

所以当t＝6，即x＝36时，ymax＝248，

所以当甲种产品投入资金164万元，乙种产品投入资金36万元时，总利润最大，最大总利润为248万元．

 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；

(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？

(一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)

解：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋，则x0＝550.

因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．

(2)当0<x≤100时，P＝60；

当100<x≤550时，

P＝60－0.02(x－100)＝62－；

当x>550时，P＝51.

所以P＝f(x)＝(x∈N)

(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，

则L＝(P－40)x＝(x∈N)

当x＝500时，L＝6 000；当x＝1 000时，L＝11 000.

因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；

如果订购1 000个，利润是11 000元．

[规律方法]

分段函数的特点是在每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．

活学活用

某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元．经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元).

(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润f(x)表示为年产量x的函数；

(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？

解：(1)当0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件．

所以f(x)＝

即f(x)＝

(2)当0<x≤5时，f(x)＝－x2＋4.75x－0.5，

所以当x＝4.75(百件)时，

f(x)有最大值，f(x)max＝10.781 25(万元).

当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元).

故当这种产品的年产量为475件时，当年所得利润最大．

1．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m2)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m2，则y与x的函数关系为(　A　)

A．y＝3x(x≥0)    B．y＝3x

C．y＝x(x≥0)    D． y＝x

【解析】 由题意设y＝kx(k≠0)，将(36，108)代入上式，得k＝3.又含氧量不能为负，所以x≥0.故选A.

2．为了改善某地的生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年)的一次函数，则这个函数的图象是(　A　)

　A.　　　　　　　　　　B.

　C.　　　　　　　　　　D.

【解析】 函数解析式为y＝0.5＋(x－1)＝x－0.5，实际问题取值范围是x≥1，故选A.

3．某厂日产暖手袋的总成本y(元)与日产量x(个)之间的关系为y＝4x＋36 000.而暖手袋出厂价格为每个 10元，要使该厂不亏本，至少日产暖手袋(　C　)

A．4 000个

B．5 000个

C．6 000个

D．7 000个

【解析】 由题意得4x＋36 000≤10x，解得x≥6 000，即日产至少6 000个暖手袋才不亏本．

4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数m＝162－3x，若要使每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为(　B　)

A．30元

B．42元

C．54元

D． 60元

【解析】 设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(162－3x)，30≤x≤54，将上式配方得y＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，利润最大．故选B.

5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，x代表拟录用人数，y代表面试人数，计算公式为：y＝，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为__25__．

【解析】 当y＝60时，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25.