2021-2022学年河南省实验中学高二下学期期期中考试数学理含答案

河南省实验中学2021——2022学年下期期中试卷

高二  理科数学 

命题人：

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数满足，为虚数单位，则的虚部是（    ）

A．          B．             C．              D．2

2．已知函数的导函数为，且，则（    ）

A．            B．             C．                D．

3．下列说法错误的是（    ）

A．由函数的性质猜想函数的性质是类比推理

B．由，，…猜想是归纳推理

C．由锐角满足及，推出是合情推理

D．“因为恒成立，所以函数是偶函数”是省略大前提的三段论

4．下列结论正确的个数为（    ）

①若，则；     ②若，则；

③若，则；    ④若，则．

A．1            B．2            C．3            D．4

5．函数的图象如图所示，则阴影部分的面积是（    ）

A．           B．  

C．            D．

6．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（    ）

A．      B．

C．       D．

7．设，是复数，则下列命题中为假命题的是（    ）

A．若，则             B．若，则 

C．若，则         D．若，则

8．已知函数，则＝（    ）

A．21           B．20           C．16           D．11

9．已知函数的定义域为，其导函数为，若，则下列式子一定成立的是（    ）

A．   B．   C． D．

10．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为（   ）

A．         B．        C．         D．

11．由数字1、2、3组成六位数，每个数字最多出现三次，则这样的六位数的个数是（   ）

A．420            B．450            C．510            D．520

12. 已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（   ）

A．         B．        C．         D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．______.

14．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”. “天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙寅、丙戌、…、癸已；…；共得到60个组合，称为六十甲子，周而复始，无穷无尽.干支纪年在我国历史学中广泛使用，特别是近代史中很多重要历史事件的年代常用干支纪年表示.例如甲午战争､戊戌变法､辛亥革命等等.1911年的辛亥革命推翻了统治中国两千多年的封建君主专制制度，建立了中国历史上第一个资产阶级共和政府，使民主共和的观念开始深入人心；1949年中华人民共和国的成立开辟了中国历史的新纪元，从此，中国结束了一百多年来被侵略被奴役的屈辱历史，真正成为独立自主的国家，中国人民从此站起来了，成为国家的主人. 1911年是“干支纪年法”中的辛亥年，1949年是“干支纪年法”中的己丑年，那么2072年是“干支纪年法”中的______年.

15.定义在R的函数满足，的导函数为，则      .

16．已知函数，若对，，都有，则k的取值范围是______．

三.解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数）．

（Ⅰ）设复数，求；

（Ⅱ）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．

18．（本小题满分12分）

如图，在半径为6 m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长|AB|x m，圆柱的体积为V m3.

（Ⅰ）求体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；

（Ⅱ）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大 最大体积是多少?

19．（本小题满分12分）

已知一班有名选手，二班有名选手，现从两个班中选派人参加4×100米接力赛，分别跑1、2、3、4棒，求在下列情形中各有多少种选派方法：

（Ⅰ）选取一班选手名，二班选手名；

（Ⅱ）二班的选手甲必须被选，且他不能跑第一棒.

20．（本小题满分12分）

证明下列命题：

（Ⅰ）已知是不相等的正数，求证：；

（Ⅱ）用数学归纳法证明：（）.

21．（本小题满分12分）

已知，为的导函数.

（Ⅰ）设，讨论在定义域内的单调性；

（Ⅱ）若在内单调递减，求实数的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；

（Ⅱ）若函数的极大值不小于，求实数的取值范围.

河南省实验中学2021——2022学年下期期中试卷

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13.      14. 壬辰     15.  0     16.  

三.解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 解：，．

．……………………2分

又为纯虚数，，解得．．……………………4分

（Ⅰ），；…………………………6分

（Ⅱ），，……………………7分

又复数所对应的点在第一象限，，………………9分

解得：．所以实数的取值范围为．………………10分

18.解：（Ⅰ）连接，在中，，，

设圆柱底面半径为，则，即，…………3分

，其中．……………………6分

（Ⅱ）由及，得，………………8分

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；………………10分

∴当时，有极大值，也是最大值为 m3．…………12分

19.解：（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：

①在一班3名选手中选出2人 ，在二班5名选手中选出2人，有种选法；

②将选出的4人安排跑1、2、3、4棒，有种情况，

则有选派方法；………………………………6分

（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：

①二班的选手甲必须被选，且他不能跑第一棒，则甲的安排方法有3种，

②在剩下7人中选出3人，安排在其他三棒，有种排法，

则有种选派方法. ………………………………12分

20. （Ⅰ）证明：要证明

只需证明

只需证明   

只需证明                

只需证明                       

而已知是不相等的正数，所以成立，故成立.  ……………6分       

（Ⅱ）证明：①当时，左边，右边，所以等式成立.     ……………7分        

②假设当时，等式成立，即成立.             

那么，当时，     

而，

这就是说，当时等式成立. ……………11分 

由①, ②可知（）成立.……………12分 

21.（Ⅰ）设，其中x>0，

则，………………………………2分

当时，，故在上为减函数；………………………………3分

当时，由可得；

若，则，故在上为增函数；

若，则，故在上为减函数；………………………………5分

综上所述：当时，在上为减函数；

当时，在上为增函数，在上为减函数.………………………………6分

（Ⅱ）

因为在内单调递减，则于恒成立，

故在恒成立，即.………………………………9分

令，则.

令得，当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以，所以，

经检验可得，时满足条件，因此a的取值范围为.……………………12分

22. 解：（Ⅰ）解：因为，则，

在直线方程中，令，可得，………………………………2分

由题意可得，解得.………………………………4分

（Ⅱ）因为函数的定义域为，.

当时，对任意的，，即函数在上单调递增，此时函数无极值；……6分

当时，由，可得，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，………………………………8分

故函数的极大值为，

整理可得，………………………………10分

令，其中，则，故函数在上单调递增，

且，由可得，解得.

因此，实数的取值范围是.………………………………12分