2021-2022学年河南省实验中学高一下学期期期中考试数学试卷含答案

河南省实验中学2021——2022学年下期期中试卷

高一  数学  命题人：宋苗珂  审题人：程建辉

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数（3+i）m﹣（2+i）对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（　　）

A．m B．m＜1 C．m＜1 D．m＞1

2．已知向量，，若向量与向量垂直，则实数λ＝（　　）

A． B．1 C．2 D．3

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B

等于（　　）

A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°

4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等

腰梯形，则这个平面图形的面积是（　　）

A． B． 

C． D．

5．已知两条不同的直线m，n和平面α，下列结论正确的是（　　）

①m∥n，n⊥α，则m⊥α；

②m∥α，n∥α，则m∥n；

③m⊥α，n⊥α，则m∥n；

④m与平面α所成角的大小等于n与平面α所成角的大小，则m∥n．

A．①③ B．①② C．②③ D．①④

6．已知i，j为互相垂直的单位向量，，，且与的

夹角为钝角，则λ的取值范围为（　　）

A．（3，+∞） B．（3，4）∪（4，+∞） 

C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3）

7．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+bcosA＝b，则△ABC

是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

8．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E为BC的中点，则异面直线CB1与DE所成角的

余弦值为（　　）

A． B． C． D．

9．锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且（acosB+bcosA）＝2csinB，

a＝2．则边长b的取值范围是（　　）

A． B． C．（，2） D．

10．如图所示，点在以为圆心2为半径的圆弧上运动，且，则的最小值为　　

A．B．C．0D．2

11．如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积　　

A．存在最大值，最大值为B．存在最小值，最小值为

C．为定值D．不确定，与，的位置有关

12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，a•cosC+3c•cosA

＝0，则△ABC面积的最大值为（　　）

A．1 B． C．2 D．4

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13． 若O为△ABC的重心（重心为三条中线交点），且，则λ＝　 　．

14．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点A出发，绕圆锥

侧面一周，再次回到A点，则该质点经过的最短路程为　   　．

15．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2i，则|z1﹣z2|＝　   　．

16．已知体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝2，∠ABC＝120°，则球O的体积最小值为　   　．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，其

余试题每题12分）

17．已知复数，z2＝4﹣3i，其中a是实数．

(1) 若z1＝iz2，求实数a的值；

(2) 若是纯虚数，求a的值．

18．已知，，且，的夹角为．

(1) 求；

(2) 若，求实数k的值．

19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC

＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明：MN∥平面PAB；

(2) 求四面体N﹣BCM的体积．

20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC．

(1) 求角B的大小；

(2) 若，角B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求△ABC的周长．

21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝2，AB＝BC，

D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

(1)  求证：PA⊥BD；

(2)  求证：平面BDE⊥平面PAC；

(3)  当PA∥平面BDE时，求直线EB与平面ABC所成的角．

22．如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已

知c＝1且2csinAcosB＝asinA﹣bsinBbsinC，cos∠BAD．

(1)  求b边的长度；

(2)  设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积

为△ABC面积的一半，求的最小值．

河南省实验中学2021--2022高一数学期中考试答案

参考答案

13．1 14．15．216．

17.证明:解：(1)∵，z2＝4﹣3i，z1＝iz2，

∴（a+i）2＝a2﹣1+2ai＝3+4i，从而，解得a＝2，

所以实数a的值为2．……5分

(2)依题意得：，

因为是纯虚数，所以：，从而a＝2或；

又因为a是正实数，所以a＝2．……10分

18.解：解：(1)∵，，，∴，

∴；……6分

(2)方法一：，

则存在非零实数λ，使，

由共面定理得，则k＝±1．……12分

方法二：由已知或，

当，，，

∴，则k＝±1，

同理时，k＝±1，

综上，k＝±1．……12分

19.证明：(1)取BC中点E，连结EN，EM，

∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，

又∵AD∥BC，∴BE∥AD，

∵AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，

∴BEBC＝AM＝2，∴四边形ABEM是平行四边形，

∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．……6分

(2)取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，

∴NF∥PA，NF2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，

如图，延长BC至G，使得CG＝AM，连结GM，

∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC＝MG＝3，

又∵ME＝3，EC＝CG＝2，∴△MEG的高h，

∴S△BCM2，

∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM．……12分

20.解：(1)因为cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC．

所以1﹣sin2C＝sin2A+1﹣sin2B+sinAsinC，

即sin2B＝sin2A+sin2C+sinAsinC，由正弦定理得，b2＝a2+c2+ac，

由余弦定理得，cosB，由B为三角形内角得，B＝120°；……5分

(2)由题意得，S△ABC＝S△ABD+S△BCD，且ABDCBDB＝60°，BD＝1，

所以acsinBc•BD•sin60°•BD•sin60°，所以（a+c），即ac＝a+c，

因为b＝2，由余弦定理得，b2＝12＝a2+c2﹣2accos120°＝a2+c2+ac，

因为（a+c）2＝a2+c2+2ac＝12+ac＝（ac）2，所以ac=a+c＝4或ac＝﹣3（舍），

故△ABC的周长为．……12分

21.解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，而AB∩BC＝B，

可得PA⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD；……3分

(2)证明：由BD⊥PA，又△ABC为等腰直角三角形，可得BD⊥AC，

而PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，

而BD⊂平面PBD，可得平面BDE⊥平面PAC；……7分

(3)由PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面DEB＝DE，所以PA∥DE，

则DEPA，由于PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，

所以∠EBD为直线EB与平面ABC所成角．

因为BDAC＝1，所以tan∠EBD，

所以∠EBD＝60°．即直线EB与平面ABC所成角为60°．……12分

22.解：(1)由条件，

可得：，化简可得：4c＝b，而c＝1，所以：b＝4．……4分

(2)设，因为△AEF的面积为△ABC面积的一半，所以xy＝2，

设，则，

又E，G，F共线，所以设，

则，

所以：，解得：，

所以：，又，

所以：

，

又xy＝2，所以化简可得：，

又y≤4，所以，

所以，当x＝1时等号成立．……12分