2021-2022学年河北省衡水市第二中学高二下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年河北省衡水市第二中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知实数，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数性质可判断，的范围，

利用角的范围判断出的取值范围，由此可得答案.

【详解】因为，，

而 ，故，

所以,

故选：A.

2．已知双曲线：的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的实轴长为（       ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】取双曲线的一条渐近线和一个焦点，根据题意列出等式，求得，即得答案.

【详解】不妨取双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点为，

点到直线的距离，所以，

所以双曲线的实轴长为4，

故选：C.

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.

又因为椭圆与双曲线有公共焦点，

双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.

由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.

故选：B.

4．已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】记，，根据双曲线定义结合余弦定理可得，再利用三角形面积公式可推得，即可求得答案.

【详解】记，，，

∵，∴，

在中，由余弦定理得，

配方得，即，

∴，

由任意三角形的面积公式得，

∴，而，，，

故选：A.

5．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面垂直向量的数量积表示可得，利用平面向量的线性运算将变形为，设()，利用两点坐标求出，结合二次函数的性质即可求出最小值.

【详解】由题意得，由,得，

则,

设()，由，得，

则，

又，由二次函数的性质可知，

，

所以的最小值为.

故选：C.

6．已知椭圆的左、右焦点分别是，焦距，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆C的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】画出图形，利用已知条件，推出，延长交椭圆于点，得到直角和直角，设，则，根据椭圆的定义转化求解，即可求得椭圆的方程.

【详解】如图所示，，则，

延长交椭圆于点，可得直角和直角，

设，则，

根据椭圆的定义，可得，

在直角中，，解得，

又在中，，

代入可得，所以，

所以椭圆的方程为.

故选：A.

7．如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得平面，建立如图所示空间直角坐标系，由已知可得的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即可得到方程，求出，即可求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得；

【详解】解：依题意，，，平面，所以平面，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，依题意为直角三角形，所以的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的体积；

故选：B

8．已知椭圆的两个焦点分别为，，设为椭圆上一点，角的外角平分线所在直线为，过点，分别做的垂线，垂足分别为，，当点在椭圆上运动时，点，的轨迹所围成的图形的面积为：（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】延长交的延长线于，可证得，且是的中点，由此可求得的长度是定值，即可求点的轨迹的几何特征，从而可得出答案．

【详解】解：由题意，是以，为焦点的椭圆上一点，过焦点作外角平分线的垂线，垂足为，

延长交的延长线于，得，

由椭圆的定义知，故有，

连接，知是三角形的中位线，

，即点到原点的距离是定值，

由此知点的轨迹是以原点为圆心、半径等于的圆．

同理可得，点的轨迹是以原点为圆心、半径等于的圆．

故点，所形成的图形的面积为．

故选：C.

【点睛】本题考查求轨迹方程，关键是证出是中位线以及利用题设中所给的图形的几何特征求出的长度，进而求出的长度，再利用圆的定义得出点的轨迹是一个圆，难度较大．

二、多选题

9．已知曲线：，则（       ）

A．若，则曲线是圆，其半径为

B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上

C．若曲线过点，，则是双曲线

D．若，则曲线不表示任何图形

【答案】BC

【分析】对于A，曲线可化为，表示圆，可求半径，判断A; 对于B，时，曲线可化为，可判断表示椭圆，判断B; 对于C，将点，，代入曲线：，求得曲线方程，判断C; 对于D，可举特例进行说明，判断D.

【详解】对于A，时，曲线可化为，其半径为，故A错误；

对于B，时，曲线可化为表示的是椭圆，而，

所以其焦点在轴上，故B正确；

对于C，将点，，代入曲线：，

有，，所以曲线是双曲线，故C正确；

对于D，若，，满足条件，此时曲线：，表示两条直线，

故D错误，

故选：BC.

10．已知向量，，函数，则下列结论正确的是（       ）

A．的最小正周期是

B．的图象关于点对称

C．在上单调递增

D．是偶函数

【答案】AD

【分析】根据数量积的坐标运算求得，并化为只含一个三角函数形式，

由此求得最小正周期，可判断A；将 代入函数解析式验证，可判断B；

求出函数的单调递增区间，可判断C；求出的表达式，可判断D.

【详解】，

因为，所以A正确；

因为，所以的图象关于点对称，

所以B错误；

令，解得,

当时，，

因为，所以在上不单调，则C错误；

因为，所以是偶函数，则D正确，

故选：AD.

11．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，的共轭复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，且复数满足，下列结论正确的是（       ）

A．的坐标为

B．点在一条直线上

C．在点的轨迹上

D．的最小值为

【答案】BC

【分析】根据复数的几何意义可得到点的坐标，判断A;由点对应的复数满足，

结合模的几何意义可判断B;验证坐标是否满足点的轨迹方程，可判断C;

将可转化为点到直线的距离，求出该距离，可判断D.

【详解】A.复数在复平面内对应的点为，∴的共轭复数在复平面内对应的点.因此A错误；

B.设点，，由复数满足.结合复数的几何意义，

可知复数到点与点的距离相等，

则复数对应的点在线段的垂直平分线上，因此B正确；

C.在上，因此C正确；

D.的最小值为点到直线的距离，因此D错误,

故选：BC.

12．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是E上异于顶点的一动点，圆I（圆心为I）与的三边，，分别切于点A，B，C，延长PI交x轴于点D，作交于点H，则（       ）

A．为定值 B．为定值

C．为定值 D．为定值

【答案】ACD

【分析】根据椭圆的定义即可判断A；

根据余弦定理可得，进而判断B；

根据切线长定理和椭圆的定义可得，进而判断C；

根据三角形面积公式和相似三角形的性质可得，进而判断D.

【详解】A：根据椭圆的定义，得，则A正确；

B：设，，，，

由余弦定理，得，

即，解得，

由于P在E上运动，所以的值也随之变化，从而mn不是定值，则B错误；

C：根据切线长定理和椭圆的定义，得，

且，则，

所以为定值，则C正确；

D：连接IA，则，

由，解得；

由，得为定值，则D正确．

故选ACD．

三、填空题

13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，.双曲线上有一点，若，则______.

【答案】1或1313或1

【分析】利用双曲线的定义求解.

【详解】因为双曲线：，

所以a=3，

所以，

又因为，

所以或，

故答案为：1或13.

14．已知双曲线C：的右顶点为A，右焦点为F，直线x－my＝0与双曲线左、右支分别交于M、N两点，其中＋＝2，M，A，P三点共线，则双曲线的渐近线方程为_________.

【答案】y＝2x

【分析】由题设令、，且是的中点，由中点公式求坐标，再由M，A，P三点共线及斜率两点式列方程求双曲线参数关系，进而可得渐近线方程.

【详解】由题设，，，若，则，且，

又＋＝2，即是的中点，故，

因为M，A，P三点共线，则，可得，

所以，故渐近线方程为.

故答案为：.

15．公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点P（不同于A，B）作长轴的垂线，垂足为Q，则为常数k．若，则该椭圆的离心率为______．

【答案】

【分析】设椭圆方程为、并确定坐标，可得，，，代入题设等式，结合椭圆参数的关系列方程求离心率即可.

【详解】设椭圆方程为且，

若，，则，，，

所以，而，即，

所以.

故答案为：.

四、双空题

16．已知动点到点的距离与它到直线：的距离之比为.则动点的轨迹所形成曲线的方程为______，过作圆：的两条切线、，切点分别为、，则的最小值为______.

【答案】         

【分析】设，由求曲线方程；设，利用数量积运算和得到求解.

【详解】解：设，由题意得，

整理得，

如图所示：

不妨设，由对称性可知：，

则，

，

在中，，

所以，

因为，设，

所以，

因为，所以当时，的最大值为48，

故的最小值为，

故答案为：；.

五、解答题

17．（1）已知A，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.求点的轨迹方程，并判断轨迹的形状：

（2）已知过双曲线上的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于A，两点，求.

【答案】（1）轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点；（2）.

【分析】（1）设，根据题意列出等式，化简即可得轨迹方程，判断轨迹形状，即得答案；

（2）求出直线方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，根据弦长公式求出弦长即得答案.

【详解】（1）设，

因为，，所以，

整理得，

故点的轨迹方程为，

轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点.

（2）由得，，，所以,即，

所以右焦点，因为直线的倾斜角是，且直线经过右焦点，

所以直线的方程为,

由可得：，所以，，

所以.

18．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴顶点分别为、，四边形的面积为32.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接由离心率和四边形的面积建立关于的方程，解方程即可；

（2）直接通过点差法求出直线斜率，再通过点斜式写出方程即可.

【详解】(1)因为离心率，所以，

因为，所以.

因为四边形的面积为32，所以，所以，，

故椭圆的标准方程为

(2)设，，则

两式相减得，所以.

因为的中点坐标为在椭圆内部，所以，所以直线的斜率为1，

故直线的方程为，即.

19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在中，内角、、的对边分别为、、，且满足______.

(1)求角；

(2)若，，求边上的高.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①,根据正弦定理，边化角，利用两角和差的正弦公式，化简，即可求得答案；

选②，根据正弦定理，边化角，利用两角和差的正弦公式，化简，即可求得答案；

选③，由正弦定理，以及切化弦，将化简，结合两角和的正弦公式即可求得答案；

（2）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理将可化简为，即可求得，进而用余弦定理求得，利用等面积法求得答案.

【详解】(1)选①,由题意可得，

由正弦定理知，，

即，

又，且 ,，所以,

由于，所以;

选②,由正弦定理可得，

故，

即，所以，

而为三角形内角，故,所以，

因为，所以;

选③,在中，因为，

所以由正弦定理得：，

即，

因为， ，

所以，即，

因为，所以；

(2)因为，所以，

而，即，所以，

其中为三角形外接圆的半径，所以，即，

所以，

故，所以，

其中为边上的高，故.

20．第24届冬季奥林匹克运动会（The   XXIV   Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中．

(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；

(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；

(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．

【答案】(1)甲进入决赛可能性最大

(2)

(3)分布列见解析

【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较即可；

（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，列方程求解；

（3）先确定进入决赛的人数为的取值，依次求出每一个值所对应的概率，列表即可.

【详解】(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：

乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：

丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：

∵，∴，

∴

∴甲进入决赛可能性最大．

(2)

，

整理得，解得或，

又∵，∴；

(3)由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，

进入决赛的人数为可能取值为， ，，，

，

，

，

，

∴的分布列为

21．已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，是和的等差中项．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若A为椭圆的右顶点，直线AP与y轴交于点H，过点H的另一直线与椭圆交于M、N两点，且，求直线MN的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据是和的等差中项可得，再利用在椭圆上可解得，即可求解；

（2）分直线斜率存在不存在两种情况，直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可得，，由可得，即可求出斜率，求出直线方程.

【详解】(1)解：因为是和的等差中项，即，所以，得，又，所以，又在椭圆上，所以，所以，所以，，

可得椭圆的标准方程为．

(2)解：因为，由（1）计算可知，所以直线为，令，得，所以，

当直线与轴垂直时，要使，则、，所以，，不合题意．

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为

联立直线与椭圆的方程，可得，

由于在椭圆内，∴恒成立，

设，，由韦达定理可得 ①，

由，可得，又，

所以，得，

代入①，可得

所以，解得，当时两直线重合舍去，

所以直线的方程为

22．已知函数其中，a为非零实数.

(1)当时，求的极值；

(2)讨论的单调性；

(3)若有两个极值点，，且，求证：.

【答案】(1)的极小值为，无极大值；

(2)当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在单调递增；

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据求导公式和运算法则求出，令求出极值点，进而可得函数的单调性，即可得出函数的极值；

(2)求出函数的导数，通过讨论参数a的取值范围，分别求出对应的单调区间即可；

(3)将所证问题转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性即可证明.

【详解】(1)函数的定义域为，

当时，，

则，

令，解得或(舍去)，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以函数的极小值为，无极大值；

(2)函数的定义域为，则，

当即时，，函数在上单调递增；

当即时，令，得、，

则当时，，

当时，，

故在和上单调递增，在上单调递减；

当时，，舍去.

所以在上单调递减，在上单调递增；

(3)因为有两个极值点，由(2)知当时，、，

所以且，

要证

，

令，

则，

所以在上单调递增，且，

故，即.