河南省开封市2021-2022学年高二第二学期期末数学理科试题（含答案）

开封市2201—2022学年度第二学期期末调研考试

高二理科数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，若，则（    ）

A．1   B．2   C．3   D．4

2．命题“，”的否定是（    ）

A．，    B．，

C．，    D．，

3．复数的共轭复数是（    ）

A．   B．   C．   D．

4．已知数列，都是等差数列，且，，则（    ）

A．    B．    C．1    D．2

5．若，则（    ）

A．    B．     C．   D．

6．已知A，B是上两点，若弦AB的长度为2，则（    ）

A．   B．   C．2   D．4

7．设F为抛物线的焦点，A是C上一点，O是坐标原点，若，则（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

8．函数在一个周期内的图象如图所示，为了得到正弦曲线，只需把图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

B．向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

D．向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

9．右图程序框图中的算术运算符MOD表示取余数，如a MODb表示a除以b的余数．执行该程序框图，则输出（    ）

A．81    B．90    C．100    D．110

10．人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源P必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源P所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源P对于测听者的方向偏角a，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左、右两耳相距约为20cm，声源P的声波传到甲的左、右两耳的时间差为，声速为334m/s，则声源P对于甲的方向偏角a的正弦值约为（    ）

A． 0.05    B． 0.04    C． 0.005    D． 0.004

11．已知点P，A，B，C均在表面积为的球面上，且平面ABC，是等边三角形，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A．    B．    C．    D．

12．若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数．已知，，记数列的前项和为，则（    ）

A．258   B．264   C．642   D．636

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若，则______．

14．已知函数的极大值是4，则______．

15．已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到A点，则蚂蚁爬行的最短路程为______．

16．如图，测量电视塔的高度AH时，考虑电视塔四周建筑物密集，测量人员选取与电视塔底H在同一水平面内的两个测量基点B与C，使H，B，C三点在同一条直线上，在B，C两点用测角仪测得A的仰角分别是45°，30°，m，测角仪的高是1.5m，则______m．（精确到0.1m，）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分，

17．（12分）

已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．

（1）求角A；

（2）若，的面积为，求b，c．

18．（12分）

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：

19．（12分）

如图，在正三棱柱中，P为的中点，Q为棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求AC与平面所成角的正弦值．

20．（12分）

已知函数

（1）若在处的切线与y轴垂直，求a的值；

（2）若的最小值为b，求的最大值．

21．（12分）

已知椭圆，由E的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．

（1）求E的方程；

（2）过E的右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程．

（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，已知曲线与相交于O，A两点．

（1）求；

（2）将直线OA绕点O顺时针旋转角，与交于点O，B，将直线OA绕点O逆时针旋转角，与交于点O，C，求的最大值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数，．

（1）求函数的最小值

（2）已知，求关于的不等式的解集．

开封市2021-2022学年度第二学期期末调研考试

高二理科数学参考答案

注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可情给分。

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．   14．   15．   16．274．7

三、解答题（共70分）

17．（1）由，得，由正弦定理得，

因为，所以，又，所以，

（2）由余弦定理得，所以，

由余弦定理得，得，得，

解之可得．

18．（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，

因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．

女顾客中对该商场服务满意的比率为，

因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．

（2）由题可得．

由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．

19．（1）正三棱柱中，取线段AB的中点记为D，连接CD，PD，

由已知，易知，且，

所以四边形PDCQ是平行四边形，．又，，，

所以平面，所以平面，

（2）由（1）易知，DB，DC，DP两两垂直，如图，以D为坐标原点，以DB，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的一个法向量，则即

取，可得所以，

即AC与平面所成角的正弦值为．

20．（1）由，得，所以，

（2），，，由，，

知在上递减，在上递增，

所以，所以，

设，则，由，，

知在上递增，在上递减，

所以，所以的最大值是．

21．（1）由已知，，，所以E的方程为．

（2），

①若或斜率不存在，易知；

②若斜率存在，设，和的方程联立得：

，，，

，

设，同理可得，

所以

解得，，所以与的方程分别为：，，

22．（1）由得，，所以，

（2）

当，即，时，可以取得最大值为，

23．（1）由已知得

当且仅当即时等号成立，

所以函数的最小值为，

（2）由已知，

原不等式可化为，当时，，

原不等式化为，此时无解，当时，，

原不等式化为，

即，所以，综上所述，为原不等式的解集．