2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳高级中学高一（下）期末数学考前试卷

这是一份2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳高级中学高一（下）期末数学考前试卷，共69页。试卷主要包含了填空题，解答题，选择题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳高级中学高一（下）期末数学考前试卷
一、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）设全集，2，3，4，，集合，2，，，，则图中的阴影部分表示的集合为 　　．

2．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）设，，则　　．
3．（3分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合，，，则中元素的个数为　　
A．9 B．8 C．5 D．4
4．（3分）（2019春•渭滨区期末）命题“任意，”的否定是　　．
5．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）命题，，若是真命题，则实数的取值范围是 　　．
二、解答题（共1小题，满分0分）
6．（2021春•沭阳县校级期末）记函数的定义域、值域分别为集合，．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
三、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分）
7．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知复数的共轭复数，则复数的虚部是 　　．
8．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）若，且，则的最小值为　　．
四、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分）
9．（3分）（2018•新课标Ⅰ）设，则　　
A．0 B． C．1 D．
10．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知复数为虚数单位），为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有　　
A．在复平面内对应的点位于第二象限
B．
C．的实数部分为
D．的虚部为
11．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）复数，，则的最大值为　　
A． B． C． D．
五、解答题（共1小题，满分0分）
12．（2021春•沭阳县校级期末）已知是复数，为实数，为纯虚数为虚数单位）．
（1）求复数；
（2）求的模；
（3）已知复数，满足，求的最小值．
六、解答题（共2小题，满分0分）
13．（2021春•沭阳县校级期末）已知甲罐中有四个相同的小球，标号分别为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号分别为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积大于8”，则　　
A．事件发生的概率为
B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为
D．至少抽到一个有标号为3的小球的概率为
14．（2021春•沭阳县校级期末）下列各对事件中，不是相互独立事件的有　　
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”
D．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
七、填空题（共48小题，每小题3分，满分144分）
15．（3分）（2019•新课标Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 　　．
16．（3分）（2019•新课标Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是　　．
17．（3分）（2021秋•城关区校级期末）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小完全相同的小球．
（1）从盒中任取两球，列出所有的基本事件，并求取出的球的编号之和大于6的概率；
（2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，列出所有的基本事件，并求的概率．
18．（3分）（2017•江苏模拟）某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取　 　人．
19．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知数据，，，的平均数，方差，则数据，，，的平均数和标准差分别为 　　．
20．（3分）（2020•南通模拟）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，、第二组，、、第八组，，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示．估计这所学校高三年级全体男生身高以上（含的人数为　　．

21．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为　　
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
22．（3分）（2021春•怀仁市期末）2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试选，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：，，，，，，，，，，，，，，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）由频率分布直方图；
求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在，和，的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

23．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度也相等，则等于 　　．

24．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知，是空间两条不重合的直线，，是两个不同的平面．给出下列命题：
①若，，则；
②若，，，则；
③若，，，则；
④若，，，则；
其中是真命题的有 　　．（填所有真命题的序号）
25．（3分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
26．（3分）（2021•济南一模）已知菱形，，将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
27．（3分）（2017•新课标Ⅰ）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为　　．
28．（3分）（2020•河东区模拟）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为　　．
29．（3分）（2017•枣阳市校级一模）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，求此球的表面积．
30．（3分）（2020•新课标Ⅰ）设函数在，的图象大致如图，则的最小正周期为　　

A． B． C． D．
31．（3分）（2019•新课标Ⅰ）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数
②在区间，单调递增
③在，有4个零点
④的最大值为2
其中所有正确结论的编号是　　
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
32．（3分）（2017•新课标Ⅱ）函数的最大值是　　．
33．（3分）（2018•新课标Ⅰ）已知函数，则的最小值是　　．
34．（3分）（2020•新课标Ⅰ）已知，且，则　　
A． B． C． D．
35．（3分）（2022•延边州一模）若，，且，，，，则的值是　　
A． B． C．或 D．或
36．（3分）（2018•天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）设，，求和的值．
37．（3分）（2017•上海）已知函数，．
（1）求的单调递增区间；
（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若（A），求的面积．
38．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知关于的方程在，上有两个不同的实数根，则的取值范围是　　．
39．（3分）（2019•新课标Ⅲ）的内角、、的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
40．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）中，．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的最大值．
41．（3分）（2019•淮南二模）已知函数，图象的一部分如图所示．若，，是此函数的图象与轴三个相邻的交点，是图象上、之间的最高点，点的坐标是，，则数量积　　

A． B． C． D．
42．（3分）（2019•四川模拟）已知向量，，，则的最大值为　　
A．1 B．3 C． D．9
43．（3分）（2019•江苏一模）设函数，其中．若函数在，上恰有2个零点，则的取值范围是　　．
44．（3分）（2019•江苏二模）在中，若，则的最大值为 　　．
45．（3分）（2017春•漳州期末）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为　 　．
46．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知正数，，满足，且恒成立，则最大值为 　　．
47．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）若函数在区间，上的值域为，，则　　．
48．（3分）（2022•河北区模拟）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
49．（3分）（2018•新课标Ⅰ）已知函数，．若存在2个零点，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
50．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）若定义在上的奇函数满足，当，时，，则　　
A．
B．
C．的周期为2
D．在，上有1010个零点
51．（3分）（2021秋•武汉期末）已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，都有；③．则下列选项成立的是　　
A．（3）
B．若（2），则
C．若，则，，
D．，，使得
52．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知函数，则不等式的解集为　　．
53．（3分）（2021•重庆三模）已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为　　．
54．（3分）（2017•碑林区校级模拟）已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为　　
A．3 B． C． D．
55．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为 　　．
56．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）“”是“与夹角为钝角”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
57．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为　　
A． B． C． D．0
58．（3分）（2019•江苏）如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是 　　．

59．（3分）（2014•天津）已知菱形的边长为2，，点，分别在边，上，，，若，则的值为　　．
60．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是 　　
61．（3分）（2018秋•南通期末）已知实数，且，则的最小值为　　．
62．（3分）（2020•江苏模拟）已知，，，且，则的最小值为　　．
八、解答题（共18小题，满分0分）
63．（2021春•沭阳县校级期末）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（Ⅱ）若让每台机床各自加工2个零件（共计6个零件），求恰好有3个零件是一等品的概率．
64．（2021春•沭阳县校级期末）甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：
（1）两人都能破译的概率；
（2）恰有一人能破译的概率；
（3）至多有一人能破译的概率．
65．（2020•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
66．（2021春•城关区校级期末）已知向量，，其中，且．
（1）求和的值；
（2）若，且，求角．
67．（2019•江苏二模）设向量，，其中，，且与相互垂直．
（1）求实数的值；
（2）若，且，求的值．
68．（2019•无锡一模）在中，设，，分别是角，，的对边，已知向量，，且
（1）求角的大小
（2）若，求的周长的取值范围．
69．（2021•二模拟）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为．若，．
（1）求；
（2）若______，求的面积的大小．
（在①，②．这两个条件中任选一个，补充在横线上）
70．（2020•海南）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，_______？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
71．（2021春•文山市校级期末）已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量，的夹角的大小．
72．（2021春•沭阳县校级期末）如图，在菱形中，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求．
（3）若菱形的边长为6，求的取值范围．

73．（2021春•沭阳县校级期末）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．
（1）求；
（2）若，求的值．

74．（2016•南通模拟）如图，平面平面，，，；平面，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．

75．（2021•江苏一模）如图，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，，，．
（1）若，求二面角的正弦值；
（2）若平面平面，求的长．

76．（2018•天津一模）如图，是边长为3的正方形，平面平面，，，，．
（Ⅰ）求证：面面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

77．（2021秋•广州期末）已知函数是定义在上的奇函数，且．
（Ⅰ）确定函数的解析式；
（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求正实数的取值范围．
78．（2021春•沭阳县校级期末）设函数．
（Ⅰ）若，求函数在区间，上的最大值；
（Ⅱ）试判断：是否存在实数，，使得当，时，恒成立，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
79．（2020秋•如皋市期末）已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式；
（3）是否存在实数，使得函数在，上的取值范围是，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
80．（2017秋•三明期末）已知函数，，函数是奇函数．
（1）判断函数的奇偶性，并求实数的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，若存在，，使不等式成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳高级中学高一（下）期末数学考前试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）设全集，2，3，4，，集合，2，，，，则图中的阴影部分表示的集合为 　　．

【解答】解：全集，2，3，4，，集合，2，，，，
，，
则图中的阴影部分表示的集合为．
故答案为：．
2．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）设，，则　　．
【解答】解：由题意可知，，
所以解得，
所以．
故答案为：．
3．（3分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合，，，则中元素的个数为　　
A．9 B．8 C．5 D．4
【解答】解：当时，，得，0，1，
当时，，得，0，1，
当时，，得，0，1，
即集合中元素有9个，
故选：．
4．（3分）（2019春•渭滨区期末）命题“任意，”的否定是　存在，　．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意的，”的否定是：存在，．
故答案为：存在，．
5．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）命题，，若是真命题，则实数的取值范围是 　，，　．
【解答】解：命题：，，则是：，，
是真命题，可知，存在使不等式成立，，△，
解得，，．
故答案为：，，．
二、解答题（共1小题，满分0分）
6．（2021春•沭阳县校级期末）记函数的定义域、值域分别为集合，．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，由，得．（2分）
又，所以，．（4分）
故，．（6分）
（2）“”是“”的必要不充分条件．（8分）
①当时，，，适合题意； （9分）
②当时，，，，适合题意； （11分）
③当时，，，，不适合题意．（13分）
综上所述，实数的取值范围是，．（14分）
三、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分）
7．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知复数的共轭复数，则复数的虚部是 　　．
【解答】解：复数的共轭复数：
，
．
复数的虚部是．
故答案为：．
8．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）若，且，则的最小值为　4　．
【解答】解：复数满足，点表示以原点为圆心、1为半径的圆．
则表示点对应的复数与点之间的距离，
圆心到点之间的距离，
的最小值为，
故答案为：4．
四、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分）
9．（3分）（2018•新课标Ⅰ）设，则　　
A．0 B． C．1 D．
【解答】解：，
则．
故选：．
10．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知复数为虚数单位），为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有　　
A．在复平面内对应的点位于第二象限
B．
C．的实数部分为
D．的虚部为
【解答】解：因为复数为虚数单位），为的共轭复数，
则复数；
故对应的点为，；
；
且的实部为：，虚部为：；
故选：．
11．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）复数，，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，




则的最大值为．
故选：．
五、解答题（共1小题，满分0分）
12．（2021春•沭阳县校级期末）已知是复数，为实数，为纯虚数为虚数单位）．
（1）求复数；
（2）求的模；
（3）已知复数，满足，求的最小值．
【解答】解：（1）设，，
则为实数，得，解得，
为纯虚数，
，即，
．
（2），
．
（3）因为，
设，，因，即，
又，故的最小值即为单位圆上一点到点距离的最小值，
因为原点到点的距离为，又因为单位圆的半径，原点在圆外，
所以的最小值即为．
六、解答题（共2小题，满分0分）
13．（2021春•沭阳县校级期末）已知甲罐中有四个相同的小球，标号分别为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号分别为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积大于8”，则　　
A．事件发生的概率为
B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为
D．至少抽到一个有标号为3的小球的概率为
【解答】解：从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，抽取的两个小球的标号情况共有20种，
其中两个小球标号之和大于5的情况有：，，，，，，，，，，，共11种，
两个小球标号之积大于8的情况有：，，，，，，，，共8种，
所以（A），（B），
因为，
所以，，
对于，（A），故选项错误；
对于，（A），故选项正确；
对于，（B），故选项正确；
对于，至少抽到一个有标号为3的小球的概率为，故选项正确．
故选：．
14．（2021春•沭阳县校级期末）下列各对事件中，不是相互独立事件的有　　
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”
D．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
【解答】解：对于：运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环“不可能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件；
对于：相互之间没有影响，是相互独立事件；
对于：不可能同时发生，是互斥事件，不是对立事件；
对于：甲、乙两人各射击一次，“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”能同时发生，不是互斥事件．
故选：．
七、填空题（共48小题，每小题3分，满分144分）
15．（3分）（2019•新课标Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 　0.98　．
【解答】解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，
有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，
经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：
．
故答案为：0.98．
16．（3分）（2019•新课标Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是　0.18　．
【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
甲队以获胜包含的情况有：
①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：，
②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：，
③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：，
④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：，
则甲队以获胜的概率为：
．
故答案为：0.18．
17．（3分）（2021秋•城关区校级期末）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小完全相同的小球．
（1）从盒中任取两球，列出所有的基本事件，并求取出的球的编号之和大于6的概率；
（2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，列出所有的基本事件，并求的概率．
【解答】解：（1）记“从盒中任取两球，取出的球的编号之和大于6”为事件，
样本点表示“从盒中取出1，2号球”，且和表示相同的样本点（其它类推），
则样本空间为，，，，，，共有6种，
事件，共有1种，
故取出的球的编号之和大于6的概率为（A）；
（2）记“”为事件，
样本点表示第一次取出1号球，将球放回，从盒中取出2号球（其它类推），
则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，共16个，
事件，，，，，，，，，，共有10个，
故的概率为．
18．（3分）（2017•江苏模拟）某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取　8　人．
【解答】解：足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人则比例为，
则足球兴趣小组中应抽取：人
故答案为：8．
19．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知数据，，，的平均数，方差，则数据，，，的平均数和标准差分别为 　22；6　．
【解答】解：因为，，，的平均数，方差，
所以数据，，，的平均数为，
方差为，则标准差为6．
故答案为：22；6．
20．（3分）（2020•南通模拟）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，、第二组，、、第八组，，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示．估计这所学校高三年级全体男生身高以上（含的人数为　144　．

【解答】解：由频率分布直方图得：
这所学校高三年级全体男生身高以上（含的频率为：
，
估计这所学校高三年级全体男生身高以上（含的人数为：
．
故答案为：144．
21．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为　　
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
【解答】解：因为数据10，8，，8，7，9，6，8的平均数为8，
则有，
将得分按照从小到大的顺序排列为：
6，7，8，8，8，8，9，10，
因为为整数，
所以这组数据的75百分位数为．
故选：．
22．（3分）（2021春•怀仁市期末）2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试选，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：，，，，，，，，，，，，，，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）由频率分布直方图；
求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在，和，的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

【解答】解：（1）由，
解得．
（2），
三科总分成绩的中位数在，内，设中位数为，
则，
解得，即中位数为224．
三科总分成绩的平均数为：
．
（3）三科总分成绩在，，，两组内的学生分别为25人，10人，
抽样比为，
三科总分成绩在，，，两组内抽取的学生数量分别为：人，人，
设事件表示“抽取的这2名学生来自不同组”，
从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，
基本事件总数，
事件包含的基本事件个数，
抽取的这2名学生来自不同组的概率（A）．
23．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度也相等，则等于 　　．

【解答】解：一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，
两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度也相等，
，
．
故答案为：．
24．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知，是空间两条不重合的直线，，是两个不同的平面．给出下列命题：
①若，，则；
②若，，，则；
③若，，，则；
④若，，，则；
其中是真命题的有 　③　．（填所有真命题的序号）
【解答】解：，是空间两条不重合的直线，，是两个不同的平面．
对于①，若，，则或，故①错误；
对于②，若，，，则与平行或异面，故②错误；
对于③，若，，，则由面面垂直、线面垂直的性质得，故③正确；
对于④，若，，，则与平行或相交，故④错误．
故答案为：③．
25．（3分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在长方体中，，
，
，0，，，0，，，0，，
，1，，
，0，，，1，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．

26．（3分）（2021•济南一模）已知菱形，，将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取的中点记为，
连接，，菱形，，所以与是正三角形，，，
就是二面角的平面角，
，平面平面，，
棱锥的高为：，
所以三棱锥的体积为：．
故选：．

27．（3分）（2017•新课标Ⅰ）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为　　．
【解答】解：三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径，若平面平面，，，三棱锥的体积为9，
可知三角形与三角形都是等腰直角三角形，设球的半径为，
可得，解得．
球的表面积为：．
故答案为：．

28．（3分）（2020•河东区模拟）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为　　．
【解答】解：如图，正四棱锥中，为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上，延长交球面于一点，连接，，由球的性质可知为直角三角形且，根据平面几何中的射影定理可得，因为，
所以侧棱长，，
所以，所以，
所以
故答案为：

29．（3分）（2017•枣阳市校级一模）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，求此球的表面积．
【解答】解：如图，将四面体补成正方体，则
正方体的棱长是1，正方体的对角线长为：，
则此球的表面积为：

30．（3分）（2020•新课标Ⅰ）设函数在，的图象大致如图，则的最小正周期为　　

A． B． C． D．
【解答】解：由图象可得最小正周期小于，大于，排除，；
由图象可得，
即为，，
若选，即有，由，可得不为整数，排除；
若选，即有，由，可得，成立．
故选：．
31．（3分）（2019•新课标Ⅰ）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数
②在区间，单调递增
③在，有4个零点
④的最大值为2
其中所有正确结论的编号是　　
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【解答】解：则函数是偶函数，故①正确，
当，时，，，
则为减函数，故②错误，

当时，，
由得得或，
由是偶函数，得在，上还有一个零点，即函数在，有3个零点，故③错误，
当，时，取得最大值2，故④正确，
故正确的是①④，
故选：．
32．（3分）（2017•新课标Ⅱ）函数的最大值是　1　．
【解答】解：，
令且，，
则，
当时，，
即的最大值为1，
故答案为：1
33．（3分）（2018•新课标Ⅰ）已知函数，则的最小值是　　．
【解答】解：由题意可得是的一个周期，
故只需考虑在，上的值域，
先来求该函数在，上的极值点，
求导数可得
，
令可解得或，
可得此时，或；
的最小值只能在点，或和边界点中取到，
计算可得，，，，
函数的最小值为，
故答案为：．
34．（3分）（2020•新课标Ⅰ）已知，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得，
即，解得（舍去），或．
，，，
则．
故选：．
35．（3分）（2022•延边州一模）若，，且，，，，则的值是　　
A． B． C．或 D．或
【解答】解：，，，，
，，
又，
，，即，，
，，
；
又，
，，
，
．
又，，，，
，，
，
故选：．
36．（3分）（2018•天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）设，，求和的值．
【解答】解：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，得，
又．
，即，
，
又，．
（Ⅱ）在中，，，，
由余弦定理得，由，得，
，，
，
，
．
37．（3分）（2017•上海）已知函数，．
（1）求的单调递增区间；
（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若（A），求的面积．
【解答】解：（1）函数
，，
由，解得，，
时，，
可得的增区间为，；
（2）设为锐角三角形，
角所对边，角所对边，
若（A），即有，
解得，即，
由余弦定理可得，
化为，
解得或3，
若，则，
即有为钝角，不成立，
则，
的面积为．
38．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知关于的方程在，上有两个不同的实数根，则的取值范围是　　．
【解答】解：，

即，
，即，
，，，
由三角函数图象可知，要使方程有两个不同的实数根
则，即，
的取值范围是．
故答案为：．

39．（3分）（2019•新课标Ⅲ）的内角、、的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【解答】解：（1），即为，
可得，
，
，
若，可得，不成立，
，
由，可得；
（2）若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形为锐角三角形，可得且，且，
解得，
可得面积，．
40．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）中，．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的最大值．
【解答】解：（1）设的内角，，所对的边分别为，，，
因为，
由正弦定理可得，
即为，
由余弦定理可得，
由，可得；
（2）由题意可得，
，又，
，
由，则（当且仅当时，“”成立），即周长．
所以周长的最大值为9．
41．（3分）（2019•淮南二模）已知函数，图象的一部分如图所示．若，，是此函数的图象与轴三个相邻的交点，是图象上、之间的最高点，点的坐标是，，则数量积　　

A． B． C． D．
【解答】解：设，，由图象可知，且，故，．
再根据五点法作图可得，，，，、，、，．
，，，
故选：．
42．（3分）（2019•四川模拟）已知向量，，，则的最大值为　　
A．1 B．3 C． D．9
【解答】解：；
时，取最大值9，取最大值3．
故选：．
43．（3分）（2019•江苏一模）设函数，其中．若函数在，上恰有2个零点，则的取值范围是　，　．
【解答】解：根据题意，设在轴右侧与轴的第二个交点横坐标为，第三个交点的横坐标为，
则有，，
解可得，，
若函数在，上恰有2个零点，则，
解可得：，
即的取值范围为，；
故答案为：，．
44．（3分）（2019•江苏二模）在中，若，则的最大值为 　　．
【解答】解：，
故：，
整理得：，
则：．
所以：，
，
，
由于，
设，
故：（当且仅当时等号成立），
故答案为．
45．（3分）（2017春•漳州期末）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为　，　．
【解答】解：关于的不等式的解集为，
，
即，
解得；
的取值范围是，．
故答案为：，．
46．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知正数，，满足，且恒成立，则最大值为 　　．
【解答】解：根据题意，正数，满足，
则，
又由，
当且仅当时等号成立，
则，
即的最小值为，
又因为，
所以的最大值为．
故答案为：．
47．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）若函数在区间，上的值域为，，则　1　．
【解答】解：因为
对比得①
又本题中在区间，上的值域为，，即无论取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值
故可令，由于函数在区间，上是一个增函数，故
由①知，
故答案为1
48．（3分）（2022•河北区模拟）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数的定义域为，
，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，
当，排除，，
故选：．
49．（3分）（2018•新课标Ⅰ）已知函数，．若存在2个零点，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由得，
作出函数和的图象如图：
当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数存在2个零点，
故实数的取值范围是，，
故选：．

50．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）若定义在上的奇函数满足，当，时，，则　　
A．
B．
C．的周期为2
D．在，上有1010个零点
【解答】解：因为，则，
又为奇函数，则，
所以，则，
故函数的周期为4，
故选项错误；
因为当，时，，
所以（3）（1），
故选项错误；
，
故选项正确；
因为，则，
所以（2），
则函数在一个周期，内有2个零点，
因为，内含有504个周期和四分之三个周期，
故函数在，上有个零点，
故选项正确．
故选：．
51．（3分）（2021秋•武汉期末）已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，都有；③．则下列选项成立的是　　
A．（3）
B．若（2），则
C．若，则，，
D．，，使得
【解答】解：定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；说明函数是偶函数；
②，，当时，都有；说明函数在是增函数；
③．
所以（3）（4）成立，所以不正确；
若（2），可得，则，所以不正确；
若是奇函数，，．可得，，，所以正确；
因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数，所以，，使得，正确；
故选：．
52．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知函数，则不等式的解集为　　．
【解答】解：由题意得为奇函数，当时，，
故在上是增函数，故它在上也是增函数．
又，故是上的增函数．
由不等式，可得，，解得，
故原不等式的解集为，
故答案为：．
53．（3分）（2021•重庆三模）已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为　　．
【解答】解：如图，连接，则；

根据条件，，且；
；
；



．
故答案为：．

54．（3分）（2017•碑林区校级模拟）已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：的外接圆的圆心为，半径为2，且，，
为平行四边形．
的外接圆的圆心为，半径为2，得，
四边形是边长为2的菱形，且，
因此，，
向量在方向上的投影为：，
故选：．

55．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为 　且　．
【解答】解：根据题意，向量，，若向量与的夹角为锐角，则有且、不共线，
即，解可得且，
即的取值范围为且；
故答案为：且
56．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）“”是“与夹角为钝角”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当，，则，满足但此时“与夹角为钝角”不成立，即充分性不成立，
若“与夹角为钝角”，则，，
则，，即必要性成立，
故“”是“与夹角为钝角”的必要不充分条件，
故选：．
57．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为　　
A． B． C． D．0
【解答】解：给定两个单位向量，，
且，则，
建立如图所示的坐标系，
则，，
即，
设，，
则，
因为，
则，，
所以，
因为，，
，
，
所以有最小值．
故选：．

58．（3分）（2019•江苏）如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是 　　．

【解答】解：设，


，，
，
，


，
，
，，
．
故答案为：
59．（3分）（2014•天津）已知菱形的边长为2，，点，分别在边，上，，，若，则的值为　2　．
【解答】解：，，
，，
，，
菱形的边长为2，，
，，
，
，
即，
整理得，
解得，
故答案为：2．
60．（3分）（2021春•沭阳县校级期末）中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是 　　
【解答】解：点是内（包括边界）的一动点，
，解得，
，，，
，即，
，，

以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
，，，
，
在，上单调递减，
当时，取得最大值，为．
故答案为：．
61．（3分）（2018秋•南通期末）已知实数，且，则的最小值为　　．
【解答】解：由于，且，则，
所以，，
令，则，
所以，．
当且仅当，即当时，等号成立．
因此，的最小值为．
故答案为：．
62．（3分）（2020•江苏模拟）已知，，，且，则的最小值为　　．
【解答】解：设，因为，所以，，
可得，设，，
令，可得，，（1），（1），
时，是单调减函数，，
当时，单调增函数，，
即，，当时，函数取得最小值．此时．
故答案为：．
八、解答题（共18小题，满分0分）
63．（2021春•沭阳县校级期末）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（Ⅱ）若让每台机床各自加工2个零件（共计6个零件），求恰好有3个零件是一等品的概率．
【解答】解：（Ⅰ）设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”分别为、、事件，则、、相互独立，则（1分）．（3分）
（Ⅱ）（1）设甲有0个一等品的概率为，则（2分）
（2）设甲有1个一等品的概率为，则（2分）
（3）设甲有2个一等品的概率为，则（2分）
所以，所求事件“恰好有三个零件是一等品”的概率为（1分）
64．（2021春•沭阳县校级期末）甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：
（1）两人都能破译的概率；
（2）恰有一人能破译的概率；
（3）至多有一人能破译的概率．
【解答】解：（1）由题意，甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，
所以两人都能破译的概率为；
（2）恰有一人能破译的概率为；
（3）事件“至多有一人能破译”与事件“两人都能破译”互为对立事件，
所以至多有一人能破译的概率为．
65．（2020•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【解答】解：（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况，
甲连胜四场的概率为，乙连胜四场比赛的概率为，
丙上场后连胜三场的概率为，
需要进行第五场比赛的概率为：．
（3）设事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
记事件：甲赢，记事件：丙赢，则甲赢的基本事件包括：、、、、、、、，
则甲赢终的概率为：
；
由对称性可知：乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙获胜的概率为．
66．（2021春•城关区校级期末）已知向量，，其中，且．
（1）求和的值；
（2）若，且，求角．
【解答】解：（1），，且，
，即．
代入，得，
，
，则．
则，
；
（2），，．
又，．

．
，．
67．（2019•江苏二模）设向量，，其中，，且与相互垂直．
（1）求实数的值；
（2）若，且，求的值．
【解答】解：（1）由与互相垂直，可得，
所以，
又因为，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
（2）由（1）知，由，得，即，
因为，所以，
所以，
所以，
因此．
68．（2019•无锡一模）在中，设，，分别是角，，的对边，已知向量，，且
（1）求角的大小
（2）若，求的周长的取值范围．
【解答】解：（1）由向量，，且，
得：
由正弦定理，得：
化为：，由余弦定理，得：，
所以，，
（2）因为，
所以，，由，得：，
由正弦定理，得：，
的周长为：，
，
由，得：，，
所以，周长，．
69．（2021•二模拟）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为．若，．
（1）求；
（2）若______，求的面积的大小．
（在①，②．这两个条件中任选一个，补充在横线上）
【解答】解：（1），，
，
，可得，
由为锐角，可得．
（2）若选①：，可得，
因为为锐角，可得，可得，
由正弦定理，可得，解得，
由余弦定理，可得，解方程可得，（负值舍去），
所以．
若选②，，
又，，可得，解得，①
又由正弦定理，可得，②
由①②可得，结合为锐角，可得，
由正弦定理，可得，解得，
由余弦定理，可得，解方程可得，（负值舍去），
所以．
70．（2020•海南）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，_______？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：①．
中，，即，
，，
，
，，．
②．
中，，．
，即，．
，
．
③．
，即，
又，
，
与已知条件相矛盾，所以问题中的三角形不存在．
71．（2021春•文山市校级期末）已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量，的夹角的大小．
【解答】解：（1）由，得，解得，
由，得，解得，
，；
（2）因为，，
，，，
，且，
向量，的夹角为．
72．（2021春•沭阳县校级期末）如图，在菱形中，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求．
（3）若菱形的边长为6，求的取值范围．

【解答】解：（1）因为，，
所以，，
所以，，
故．
（2），

为菱形，
，即．
（3）

，，
的取值范围：．
73．（2021春•沭阳县校级期末）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．
（1）求；
（2）若，求的值．

【解答】解：如图建立平面直角坐标系，由已知得，，，．
（1），所以．
（2）由若得：，，，，，
所以，解得，
故．

74．（2016•南通模拟）如图，平面平面，，，；平面，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．

【解答】解：（1）取中点，连结，
因为，所以，，
又因为平面平面，且交线为，
所以，平面，
因为平面，所以，，
而在平面内，在平面外，所以，平面；
（2）连结，
，为中点，
，
平面平面，平面，
可证平面，
，
平面．

75．（2021•江苏一模）如图，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，，，．
（1）若，求二面角的正弦值；
（2）若平面平面，求的长．

【解答】解：（1）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，所以．
又因为，平面，平面，．
所以平面．
在平面内过点作于，连结，则．
所以为二面角的平面角．

在中，，，
由，得．
在中，，
所以，
所以二面角的正弦值为．
（2）设平面平面．
因为四边形为正方形，所以．又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面平面，所以．
因为平面，平面，所以，所以．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以，所以．
设，则，，所以，
解得，即．

76．（2018•天津一模）如图，是边长为3的正方形，平面平面，，，，．
（Ⅰ）求证：面面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【解答】（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）因为面面，面面，
面，，
所以面．（2分）
面，所以，
又因为是正方形，所以，
，面，面，
从而平面．（3分）
又因为面，所以面面．（4分）
解：（Ⅱ）、、因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示．
则，0，，，0，，，0，，，3，，，3，，（5分）
，，，，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，，，（6分）
所以，．（7分）
所以直线与平面所成角的正弦值为．（8分）
（Ⅲ）点在线段上，设，0，，．（9分）
则，，，，，，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，，，（10分）
，（11分）
整理得：，
解得或（舍，（12分）
故在线段上存在点，使得二面角的大小为，此时．（13分）

77．（2021秋•广州期末）已知函数是定义在上的奇函数，且．
（Ⅰ）确定函数的解析式；
（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求正实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为是上的奇函数，
所以，即，
所以，有，
所以，解得，
所以．
（Ⅱ），令，解得，
所以函数在，和，上单调递减，在上单调递增，
因为存在实数，不等式成立，
即存在实数，成立，
因为，，所以，，且，
所以存在实数，，
令，则，，，
因为在对称轴处取得最大值，
故在或处取得最小值，
比较（1）和，
所以（1）取得最小值，
故，又，
所以正实数的取值范围为．
78．（2021春•沭阳县校级期末）设函数．
（Ⅰ）若，求函数在区间，上的最大值；
（Ⅱ）试判断：是否存在实数，，使得当，时，恒成立，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，对称轴为，
设函数在区间，上的最大值为（b），
则（b）（1），（3）

；
（Ⅱ）由题意可得，，又，
对称轴为，
当，时，恒成立，
等价于，
当，即时，函数在区间，上单调递增，
所以有，
因为且，
所以（b），与（b）矛盾；
当，即时，在区间，上单调递减，
所以有，
因为，
所以，
故，与（b）矛盾；
当，即时，
则有，
由①可得，结合②可得，
由①③可得，，又，
所以，即，
再结合①，则有，
解得，此时存在满足条件，
综上所述，的取值范围为，此时．
79．（2020秋•如皋市期末）已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式；
（3）是否存在实数，使得函数在，上的取值范围是，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得，
当时，，有，是奇函数，符合题意；
故；
（2）函数在上为增函数，
证明如下：，
设，则，
又由，则，，，
则，
则函数在上为增函数；
不等式
，
解可得：，
则不等式的解集为；
（3）假设存在实数，使得函数在，上的取值范围是，
又由（2）的结论，函数在，上为增函数，
则有，则、为方程的两根，
令，有，则即有2个不等的正根，
则有，解可得，
则的取值范围为，．
80．（2017秋•三明期末）已知函数，，函数是奇函数．
（1）判断函数的奇偶性，并求实数的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，若存在，，使不等式成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由函数，，
可得和的定义域均为；

，
则是偶函数；
函数是奇函数．的定义域为；
，即，
可得：．
检验时，是奇函数；
故．
（2）由（1）可得，
可知在上是递增函数；
那么不等式，可得，
即，
在恒成立，
当时，显然成立．
当时，可得
，
，（当且仅当时，取等号）
故得：
综上可得实数的取值范围是．
（3）由，即
那么：
存在，，不等式成立，
即存在，，成立
可得
在，是递增函数，
（1）

可得：
又，
可得．
故得实数的取值范围是，．
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