2020-2021年江苏省宿迁市沭阳县高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年江苏省宿迁市沭阳县高一数学下学期期中试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（每小题5分）.
1．设复数z＝a﹣2+（2a+1）i（其中i是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2﹣b2+c2+ac＝0，则B＝（ ）
A．B．C．D．
3．cscs+cssin的值是（ ）
A．0B．C．D．
4．已知，，向量与的夹角为60°，则＝（ ）
A．B．C．6D．
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A＝60°，a＝，则＝（ ）
A．B．2C．D．
6．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
7．已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
8．现有如下信息：
（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为．
（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．
（3）有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形．
由上述信息可求得sin126°＝（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（每小题5分）.
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足CE＝2DE，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A＝45°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解，则a的值可以为（ ）
A．a＝7B．a＝8C．a＝9D．a＝10
11．已知＝（3，﹣1），＝（1，﹣2），则正确的有（ ）
A．＝5
B．与共线的单位向量是（，）
C．与的夹角为
D．与平行
12．已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcsx﹣cs2x，x∈R，则下列结论正确的有（ ）
A．﹣2≤f（x）≤2
B．f（x）在区间（0，π）上只有1个零点
C．f（x）的最小正周期为π
D．若g（x）＝f（x），x∈（，），则g（x）单调递减区间为（，）和（，）
三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．）
13．已知复数z＝（1﹣i）﹣m（1+i）是纯虚数，则实数m＝ ．
14．tan10°+tan20°+tan10°•tan20°•tan30°的值是 ．
15．如图，点A是半径为1的半圆O的直径延长线上的一点，OA＝，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边△ABC，则四边形OACB的面积的最大值为 ．
16．已知单位向量，满足＝，则与夹角的大小为 ；|﹣x|（x∈R）的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量＝（2，1），＝（3，﹣1），＝（3，m）（m∈R）．
（1）若向量与共线，求m的值；
（2）若（﹣2）⊥，求m的值．
18．在①（b+a）（b﹣a）＝c（b﹣c）；②；③sin（+2A）+2cs2＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积．
问题：已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC＝2sinB，b＝2，_____？
19．如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，∠BAD＝，2AB＝BD＝4．
（1）求cs∠ADB；
（2）若BC＝，求CD．
20．已知．
（1）求的值；
（2）若，且，求α+β的值．
21．如图，在扇形POQ中，半径OP＝2，圆心角∠POQ＝，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记∠BOC＝α．
（1）当∠BOC＝45°时，求矩形ABCD的面积；
（2）求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
22．如图，扇形AOB所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动，且总有OP＝BQ，设，．
（1）若，用，表示，；
（2）求的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．设复数z＝a﹣2+（2a+1）i（其中i是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
A．
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2﹣b2+c2+ac＝0，则B＝（ ）
A．B．C．D．
D．
3．cscs+cssin的值是（ ）
A．0B．C．D．
C．
4．已知，，向量与的夹角为60°，则＝（ ）
A．B．C．6D．
C．
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A＝60°，a＝，则＝（ ）
A．B．2C．D．
B．
6．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
A．
7．已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
B．
8．现有如下信息：
（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为．
（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．
（3）有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形．
由上述信息可求得sin126°＝（ ）
A．B．C．D．
D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足CE＝2DE，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．C．D．
ABD．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A＝45°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解，则a的值可以为（ ）
A．a＝7B．a＝8C．a＝9D．a＝10
BC．
11．已知＝（3，﹣1），＝（1，﹣2），则正确的有（ ）
A．＝5
B．与共线的单位向量是（，）
C．与的夹角为
D．与平行
AC．
12．已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcsx﹣cs2x，x∈R，则下列结论正确的有（ ）
A．﹣2≤f（x）≤2
B．f（x）在区间（0，π）上只有1个零点
C．f（x）的最小正周期为π
D．若g（x）＝f（x），x∈（，），则g（x）单调递减区间为（，）和（，）
ACD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知复数z＝（1﹣i）﹣m（1+i）是纯虚数，则实数m＝ 1 ．
1．
14．tan10°+tan20°+tan10°•tan20°•tan30°的值是 ．
．
15．如图，点A是半径为1的半圆O的直径延长线上的一点，OA＝，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边△ABC，则四边形OACB的面积的最大值为 ．
2．
16．已知单位向量，满足＝，则与夹角的大小为 ；|﹣x|（x∈R）的最小值为 ．
．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量＝（2，1），＝（3，﹣1），＝（3，m）（m∈R）．
（1）若向量与共线，求m的值；
（2）若（﹣2）⊥，求m的值．
解：（1）∵，，向量与共线，
∴.2m＝3………………………………..
∴…………………………………..
（2）∵，，
∴………………………..
∵，
∴……………………………..
∵，
∴（﹣4）×3+3m＝0
解得m＝4……………………………………………．
18．在①（b+a）（b﹣a）＝c（b﹣c）；②；③sin（+2A）+2cs2＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积．
问题：已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC＝2sinB，b＝2，_____？
解：因为sinC＝2sinB，b＝2，所以c＝2b＝4，
选①：因为（b+a）（b﹣a）＝c（b﹣c），所以b2+c2﹣a2＝bc，
所以，
又因为A∈（0，π），所以，
所以△ABC的面积．
选②：若，故，
则，∵A∈（0，π），故，
所以△ABC的面积．
选③：若，则cs2A+csA＝0，
故2cs2A+csA﹣1＝0，解得（csA＝﹣1舍去），
∵A∈（0，π），故．
所以△ABC的面积．
19．如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，∠BAD＝，2AB＝BD＝4．
（1）求cs∠ADB；
（2）若BC＝，求CD．
解：（1）△ABD中，由余弦定理得，cs∠DAB＝，
cs∠ADB＝，
因为∠BAD＝，AB＝2，BD＝4，
故AD＝，cs∠ADB＝，
（2）由（1）得sin∠ADB＝＝，
因为AD⊥CD，即∠ADC＝90°，
所以cs∠ADC＝cs（∠ADB+∠BDC）＝0，
解得，cs∠BDC＝，
根据余弦定理得，cs∠BDC＝，
所以＝，
故CD＝3或CD＝﹣（舍），
故CD＝3．
20．已知．
（1）求的值；
（2）若，且，求α+β的值．
解：（1）∵，
∴．
∴＝＝＝．…7
（2）∵，且∴
∴，
∴＝＝，
∴．∴．
∴，
又∵，
∴． …14
21．如图，在扇形POQ中，半径OP＝2，圆心角∠POQ＝，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记∠BOC＝α．
（1）当∠BOC＝45°时，求矩形ABCD的面积；
（2）求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
解：（1）在Rt△OBC中，，．
在Rt△ADO中，，
所以，
所以…………………………．
设矩形ABCD的面积为S，则S＝CD⋅BC＝………………．
（2）在Rt△OBC中，BC＝2sinα，OC＝2csα．
在Rt△ADO中，，
所以，
所以……………………………．
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝CD⋅BC＝＝
＝＝…………………………．
由，得，
所以当，即时…………………………………………………．
．
因此，当时，矩形ABCD的面积，最大面积为…………………..
22．如图，扇形AOB所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动，且总有OP＝BQ，设，．
（1）若，用，表示，；
（2）求的取值范围．
解：（1）由题知△BOC，△AOC均为等边三角形，所以四边形OACB为菱形．
所以，
所以，，
（2）设，则，x∈[0，1]，
∴，，
∴，
∵x∈[0，1]，
∴当，上式最小值为；当x＝0或1时，上式最大值为2，
∴的取值范围．