2020-2021学年江苏省宿迁市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省宿迁市高二（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省宿迁市高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知为虚数单位），若复数为纯虚数，则实数的值为　　
A． B．1 C．1或 D．0
2．（5分）随机抛掷一枚质地均匀的硬币5次，恰好出现3次正面向上的概率为　　
A． B． C． D．
3．（5分）设是上的连续可导函数，当△时，，则　　
A． B． C． D．3
4．（5分）如图，某市由四个县区组成，现在要给地图上的四个区域染色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数有　　

A．64 B．48 C．24 D．12
5．（5分）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是　　

A． B．
C． D．
6．（5分）某城市每年6月份的平均气温近似服从，若，则可估计该城市6月份平均气温低于的天数为　　
A．8 B．7 C．6 D．5
7．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
8．（5分）若，则下列结论中正确的是　　
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）在7张卡片上分别写有，，，，，，，其中为虚数单位．从这7张卡片中随机抽取一张，记“抽到的卡片上的数是正实数”为事件，“抽到的卡片上的数是无理数”为事件，则下列结果正确的是　　
A． B． C． D．
10．（5分）已知复数，，下列结论正确的是　　
A．
B．若，则
C．若，则，中至少有1个是0
D．若且，则
11．（5分）某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系，进行一次抽样调查，得到数据如表1．

免疫
不免疫
合计
注射疫苗
10
10
20
未注射疫苗
6
34
40
合计
16
44
60
（表

0.10
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
（表
参考公式：，其中；参考数据如表2．
则下列说法中正确的是　　
A．
B．
C．我们有以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系
D．我们有以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系
12．（5分）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作；用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，，，在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点．若要求的近似值（精确到，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值．则下列说法正确的是　　

A．对任意，
B．若，且，则对任意，
C．当时，需要作2条切线即可确定的值
D．无论在上取任何有理数都有
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若，则　　．
14．（5分）函数在，上的最小值为 　　．
15．（5分）已知随机变量的分布列为，则实数　　，随机变量的方差　　．
16．（5分）甲、乙、丙等7人参加劳动技术比赛，决出第1名到第7名的名次，甲、乙、丙三人找老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”，对乙说：“你的排名不是最后一名，但是你和丙的名次是相邻的．”从这两个回答分析，这7人名次的排列情况可能有 　　种．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）在复平面内，点对应的复数满足，点对应的复数是为虚数单位）．
（1）求；
（2）以，为邻边画平行四边形，求的长．
18．（12分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64；
条件③：展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式，若_____（填写条件的序号，若是选择多个方案，就按照选择的第一个方案解答给予计分），求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中所有的有理项．
19．（12分）已知函数．
（1）若函数在处取得极大值为0，求实数的值；
（2）若，经过点与函数的图象相切的直线有3条，求实数的取值范围．
20．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖箱中有大小相同的5只红球和5只白球，抽到1只红球返还现金2元，抽到1只白球返还现金1元．商场给出两种抽奖方案．
方案一：一次性摸出3只球；
方案二：每次摸出1只球，有放回地摸3次．
（1）顾客甲按方案一抽奖，求返还现金的分布列和数学期望；
（2）请你比较两种方案下返还现金的数学期望的大小．
21．（12分）甲、乙两名同学在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，得到如下数据．

4
6
8
10
12

4
12
24
50
72
甲发现表中散点集中在曲线附近（其中，是参数，且．他先设，将表中数据进行转换，得到新的成对数据，，2，3，4，，再用一元线性回归模型拟合；
乙根据数据得到线性回归方程为．
（1）列出新的数据表，，2，3，4，，并求；
（2）求，；
（3）在统计学中，我们通常计算不同回归模型的残差平方和（残差平方和用表示）来判断拟合效果，越小，拟合效果越好．乙同学计算出其模型的残差平方和为143.6，请你计算甲同学模型的残差平方和，并比较拟合效果．
（参考公式：，．
22．（12分）已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围；
（3）证明：当时，恒成立．

2020-2021学年江苏省宿迁市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知为虚数单位），若复数为纯虚数，则实数的值为　　
A． B．1 C．1或 D．0
【分析】利用复数的运算求出，然后利用纯虚数的定义求解即可．
【解答】解：因为，则，
因为复数为纯虚数，
所以且，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算以及纯虚数的定义，考查了运算能力，属于基础题．
2．（5分）随机抛掷一枚质地均匀的硬币5次，恰好出现3次正面向上的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】利用二项分布的概率公式求解即可．
【解答】解：由题意可得，恰好出现3次正面向上的概率为．
故选：．
【点评】本题考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，解题的关键是掌握二项分布的概率公式，属于基础题．
3．（5分）设是上的连续可导函数，当△时，，则　　
A． B． C． D．3
【分析】将等式，通过配凑成两个符合导数定义式子，即可求解．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了变化的快慢与变化率，考查了导数的概念及其运算，属于基础题．
4．（5分）如图，某市由四个县区组成，现在要给地图上的四个区域染色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数有　　

A．64 B．48 C．24 D．12
【分析】根据题意，依次分析区域①②③和区域④的染色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，对于区域①②③，两两相邻，有种染法方法，
对于区域④，与区域①③相邻，有2种染色方法，
则有种染色方法，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
5．（5分）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是　　

A． B．
C． D．
【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度判断相关系数的大小．
【解答】解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图2和图3是正相关，相关系数大于0，
图1和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，
所以接近于，接近于1，
由此，可得．
故选：．
【点评】本题考查了变量间的相关关系和相关系数，解题的关键是散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近于1（或，是基础题．
6．（5分）某城市每年6月份的平均气温近似服从，若，则可估计该城市6月份平均气温低于的天数为　　
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可．
【解答】解：由题意，平均气温近似服从，
所以，
则估计该城市6月份平均气温低于的天数为天．
故选：．
【点评】本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题．
7．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【分析】利用特殊值，即可判断选项，由函数在上的单调性，即可判断选项，利用极大值以及函数的单调性，结合时的函数值，即可判断选项，．
【解答】解：函数，
因为，故选项错误；
，故在上，，
所以函数在上单调递增，故选项错误；
令，可得，，，，，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值，
当时，函数，
故选项正确，选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
8．（5分）若，则下列结论中正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】依题意，对四个选项，分别构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案．
【解答】解：，
对于，令，
，即在上单调递增，
事实上，，
当时，，单调递增，当，时，，单调递减，故错误；
对于，令，
，即在上单调递增，
事实上，由，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，故错误；
对于，令，，即在上单调递减，
实际上，由可知，当时，，在上单调递增，故错误；
对于，令，
，即在上单调递减，
事实上，由可知，当时，，在上单调递减，故正确；
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分析与运算求解能力，属于难题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）在7张卡片上分别写有，，，，，，，其中为虚数单位．从这7张卡片中随机抽取一张，记“抽到的卡片上的数是正实数”为事件，“抽到的卡片上的数是无理数”为事件，则下列结果正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用古典概型的概率公式分别求出（A），（B），，然后利用条件概率的概率公式求解，即可得出正确选项．
【解答】解：从7张卡片中随机抽取一张，记“抽到的卡片上的数是正实数”为事件，
“抽到的卡片上的数是无理数”为事件，
则（A），（B），，．
故选：．
【点评】本题考查了古典概型，条件概率的计算问题，属于基础题．
10．（5分）已知复数，，下列结论正确的是　　
A．
B．若，则
C．若，则，中至少有1个是0
D．若且，则
【分析】利用复数模的几何意义判断选项，由特殊例子判断选项，利用复数相等求解，即可判断选项，由复数模的性质判断选项．
【解答】解：对于，由复数模的几何意义可知，，故选项正确；
对于，当，时，，但是，故选项错误；
对于，设，，
则，
所以，则，故或，
故或，故选项正确；
对于，，又，所以，则，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了复数的综合应用，主要考查了复数模的几何意义的应用，复数相等的充要条件的运用，复数模的性质的运用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
11．（5分）某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系，进行一次抽样调查，得到数据如表1．

免疫
不免疫
合计
注射疫苗
10
10
20
未注射疫苗
6
34
40
合计
16
44
60
（表

0.10
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
（表
参考公式：，其中；参考数据如表2．
则下列说法中正确的是　　
A．
B．
C．我们有以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系
D．我们有以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系
【分析】根据列联表中数据计算，对照附表即得出结论．
【解答】解：由列联表中数据，计算，所以选项正确；
由，所以选项错误；
所以有以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系，选项正确；
由，所以没有以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系，选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
12．（5分）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作；用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，，，在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点．若要求的近似值（精确到，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值．则下列说法正确的是　　

A．对任意，
B．若，且，则对任意，
C．当时，需要作2条切线即可确定的值
D．无论在上取任何有理数都有
【分析】利用特殊情况判断选项，求出曲线在处的切线方程与轴交点的横坐标，即可判断选项，求出，，即可判断选项，．
【解答】解：对于，因为，则，
设，则切线方程为，
切线与轴的交点的横坐标为，
所以，故选项错误；
对于，处的切线方程为，
所以与轴的交点的横坐标为，故选项正确；
对于，因为，
，
所以两条切线可以确定的值，故选项正确；
对于，由选项可知，，所以无论在上取任何有理数都有，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了导数的应用，导数的几何意义的理解与应用，曲线切线方程的求解与应用，解题的关键是正确理解题意，考查了逻辑推理与化简运算能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若，则　4或8　．
【分析】利用组合数的性质列式求解即可．
【解答】解：因为，
由组合数的性质可知，或，
所以或8．
故答案为：4或8．
【点评】本题考查了组合数性质的应用，考查了运算能力，属于基础题．
14．（5分）函数在，上的最小值为 　　．
【分析】先结合导数符号与函数单调性之间的关系求在，上函数单调性，进而可判断最小值在处取得．
【解答】解：，
令，解得：；，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
（2）
故答案为：．
【点评】本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查数学抽象的核心素养，属于基础题．
15．（5分）已知随机变量的分布列为，则实数　3　，随机变量的方差　　．
【分析】根据概率和为1，列出方程即可求出的值．然后求解期望与方程即可．
【解答】解：随机变量的分布列为
，其中，2，3；
，
解得．
所以，
所以随机变量的方差．
故答案为：3；．
【点评】本题考查了概率和为1的应用问题，离散型随机变量的期望与方差的求法，是基础题目．
16．（5分）甲、乙、丙等7人参加劳动技术比赛，决出第1名到第7名的名次，甲、乙、丙三人找老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”，对乙说：“你的排名不是最后一名，但是你和丙的名次是相邻的．”从这两个回答分析，这7人名次的排列情况可能有 　1104　种．
【分析】根据题意，按甲是不是最后一名分2种情况讨论，求出每种情况的名字可能数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①甲是最后一名，乙和丙的名次是相邻的，将其看成一个整体，与除甲之外的4人全排列，安排在甲之前，
有种可能；
②甲不是最后一名，将乙和丙看成一个整体，与除甲之外的4人全排列，要求乙不在最后，有种排法，
甲有4种安排方法，
则此时有种可能，
故7人的名次有种可能；
故答案为：1104．
【点评】本题考查排列和组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）在复平面内，点对应的复数满足，点对应的复数是为虚数单位）．
（1）求；
（2）以，为邻边画平行四边形，求的长．
【分析】（1）把已知等式变形求得，再由共轭复数的概念求得；
（2）由已知可得，转化为复数的加法运算求得点对应的复数，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：（1）由，
得，即，
，则，
；
（2）四边形是平行四边形，，
点对应的复数为，
则的长为．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
18．（12分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64；
条件③：展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式，若_____（填写条件的序号，若是选择多个方案，就按照选择的第一个方案解答给予计分），求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中所有的有理项．
【分析】（1）先求出的值，再利用二项式系数的性质求得展开式中二项式系数最大的项．
（2）先求出的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中所有的有理项．
【解答】解：若选①：由，解得（负值舍去）；
若选②：由，解得；
若选③：设第项为常数项，，
由及，得，
综上可得，．
（1）由得，展开式的二项式系数最大为，
则二项式系数最大项为；
（2）设第项为有理项，由，
因为，，所以，2，4，6，
则有理项为．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
19．（12分）已知函数．
（1）若函数在处取得极大值为0，求实数的值；
（2）若，经过点与函数的图象相切的直线有3条，求实数的取值范围．
【分析】（1）函数在处取得极大值为0，可得（a），解出，再检验即可；
（2）设切点坐标，结合导数的几何意义写成切线方程，再代入点，得到，把题意转化为方程有三个解，构造新函数研究单调性与最值即可求出的取值范围．
【解答】解：（1）函数导函数为，
则（a），解得或，
当时，则，由，
则恒成立，函数单调递减，舍去；
当时，则，由，则，
则，令得，
当时取得极大值，符合题意；
故．
（2）设切点为，，则的导函数为，
则切线斜率，
在切点，处切线方程为，
又点在切线上，则，又，
则可得，即．
令，，
令，解得或1，
当时，，当或时，，
则当时，取得极小值，，
当时，取得极大值，（1），
由三次函数的图像可知的取值范围为．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查数学抽象的核心素养，属于中档题．
20．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖箱中有大小相同的5只红球和5只白球，抽到1只红球返还现金2元，抽到1只白球返还现金1元．商场给出两种抽奖方案．
方案一：一次性摸出3只球；
方案二：每次摸出1只球，有放回地摸3次．
（1）顾客甲按方案一抽奖，求返还现金的分布列和数学期望；
（2）请你比较两种方案下返还现金的数学期望的大小．
【分析】（1）按方案一，返还现金可取值为3，4，5，6．求出概率，得到分布列，然后求解期望．
（2）设按方案二返还现金为，则可取值为3，4，5，6．求解概率，得到分布列，然后求解期望即可．
【解答】解：（1）按方案一，返还现金可取值为3，4，5，，，，．分布列为

3
4
5
6





所以；
（2）设按方案二返还现金为，则可取值为3，4，5，，，，，．

3
4
5
6





，
由（1）可知，．
所以两种方案下返还现金的数学期望一样．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，是中档题．
21．（12分）甲、乙两名同学在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，得到如下数据．

4
6
8
10
12

4
12
24
50
72
甲发现表中散点集中在曲线附近（其中，是参数，且．他先设，将表中数据进行转换，得到新的成对数据，，2，3，4，，再用一元线性回归模型拟合；
乙根据数据得到线性回归方程为．
（1）列出新的数据表，，2，3，4，，并求；
（2）求，；
（3）在统计学中，我们通常计算不同回归模型的残差平方和（残差平方和用表示）来判断拟合效果，越小，拟合效果越好．乙同学计算出其模型的残差平方和为143.6，请你计算甲同学模型的残差平方和，并比较拟合效果．
（参考公式：，．
【分析】（1）把数据代入回归方程的公式求解；（2）把（1）中的模型进行变形可得到，的值；（3）通过列表计算甲同学模型的残差，残差越小，拟合效果越好．
【解答】解：（1）新数据对，，2，3，4，如下表：

4
6
8
10
12

1
2
3
5
6
则，
故，
则，
所以．
（2），即，
所以，；
（3）经过计算如下表：

4
12
24
50
72

3.2
12.6
27.2
47
72
可得，
由得，模型拟合效果好．
【点评】本题考查回归分析中的回归方程计算，非线性回归模型的处理，不同模型间的比较选择，考查数据分析的能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围；
（3）证明：当时，恒成立．
【分析】（1）求导得，，对分与讨论，可得的单调性；
（2）分，，三类讨论，根据有两个零点，可求得的取值范围；
（3）设，再设，，利用导数可证得结论成立．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，，
当时，函数在区间上单调递减，在，上单调递增；
当时，若，则函数在上递增；
若，则函数在区间，，上单调递增，在上单调递减；
若，则函数在区间，上单调递增，在，上单调递减；
（2）①当时，函数只有一个零点，不合题意，舍去；
②当时，由（1）知有最小值，
要使有两个零点，则需，即
此时（1），，则在，上存在唯一零点；
又，
当时，设，，
所以在上递增，在，上递减，
所以，即，
由，所以，所以，所以，
所以，
所以函数在上存在唯一零点，
所以当时，函数存在两个零点；
③当时，由（1）可知
当，则函数在上递增，不合题意；
当，则函数的极大值为（a），
则函数在上无零点，在，至多一个零点，不合题意，舍去；
当，则函数的极大值为，
则函数在上无零点，在至多一个零点，不合题意，舍去；
综上所述，函数存在两个零点时，；
（3）证明：设，，
设，，，
则在上递增，在，上递减，
所以．
因为，，
所以，
又因为，所以，
所以当时，恒成立．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，属于难题．
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日期：2021/12/1 14:15:46；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394