2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数的定义域为　　A． B．，， C． D．，，2．（5分）椭圆的焦距等于　　A．2 B．6 C． D．3．（5分）已知数列的前项和，则的通项公式为　　A． B． C． D．4．（5分）已知椭圆，若长轴长为6，离心率为，则此椭圆的标准方程为　　A． B． C． D．5．（5分）《庄子．天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如果经过天，该木锤剩余的长度为（尺，则与的关系为　　A． B． C． D．6．（5分）已知“”是“”的充分条件，则的取值范围是　　A． B．， C． D．，7．（5分）设，则的值为　　A．11 B．8 C．10 D．208．（5分）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是　　A． B． C．或 D．或二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）若椭圆的离心率为，则的值可能为　　A． B．6 C．3 D．10．（5分）下列各函数中，最小值为2的是　　A． B．， C． D．11．（5分）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是　　A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则12．（5分）下面命题正确的是　　A．“”是“”的必要条件 B．设，，则“”是“”的充要条件 C．设，，则“”是“”的充要条件 D．命题“，”的否定是“，”三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中16题第一空2分，第二空3分）13．（5分）已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是　　．14．（5分）若，，，则的最小值为　　．15．（5分）如图，正方形的边长为，取正方形各边中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和是　　．16．（5分）已知椭圆的焦点为，，如果椭圆上存在一点，使得，且△的面积等于6，则实数的值为　　，实数的取值范围为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列的前项和为，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求的最大值及相应的的值．18．（12分）已知椭圆的两焦点分别为，短轴长为2．（1）椭圆的标准方程；（2）已知过点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，求线段的长度．19．（12分）沭阳县的花木生产已有200多年的历史，是全国最大的花木基地，享有“东方花都”之美誉．当前，花木产业不仅是沭阳的传统特色产业，更已成为沭阳的一项富民产业，为了打造花木的特色品牌，促进全县经济社会更快更好地发展，沭阳县已经举办了八届花木节．2020年第八届沭阳花木节期间，某花木展商计划用隔离带围成三个面积均为45平方米的长方形展室，如图所示，以墙为一边（墙不需要隔离带），并共用垂直于墙的两条边，为了保证花木摆放需要，垂直于墙的边的长度不小于3米，每个长方形平行于墙的边的长度也不小于3米．（1）设所用隔离带的总长度为米，垂直于墙的边长为米．试将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；（2）当为何值时所用隔离带的总长度最小？隔离带的总长度最小值是多少？20．（12分）在①，；②，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，，____．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．21．（12分）若关于的不等式的解集是或．（1）解不等式；（2）若对于任意，，不等式恒成立，求的取值范围．22．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点，是否存在实数，使得的面积为1？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．
2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数的定义域为　　A． B．，， C． D．，，【分析】根据对数函数的性质解不等式，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，即，解得：或，故函数的定义域是，，，故选：．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．2．（5分）椭圆的焦距等于　　A．2 B．6 C． D．【分析】根据题意，由椭圆的方程可得、的值，计算可得的值，由焦距的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为，其中，，则，则该椭圆的焦距；故选：．【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆标准方程的形式，属于基础题．3．（5分）已知数列的前项和，则的通项公式为　　A． B． C． D．【分析】由，当时，．当时，，即可得出．【解答】解：，当时，．当时，，而当时也满足，．故选：．【点评】本题考查数列的通项和前项和之间的关系，属于基础题．4．（5分）已知椭圆，若长轴长为6，离心率为，则此椭圆的标准方程为　　A． B． C． D．【分析】利用已知条件推出，从，求解，即可判断选项的正误．【解答】解：椭圆，若长轴长为6，离心率为，可得，，所以，由选项可知满足题意，故选：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的判断，是基本知识的考查．5．（5分）《庄子．天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如果经过天，该木锤剩余的长度为（尺，则与的关系为　　A． B． C． D．【分析】根据木锤前几天的剩余量，得到数列满足的关系，由此即可解决问题．【解答】解：由题意可得，第一次剩余尺，第二次剩余尺，第三次剩余尺，则第天后“一尺之棰”剩余的长度为尺，故选：．【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，本题属于基础题．6．（5分）已知“”是“”的充分条件，则的取值范围是　　A． B．， C． D．，【分析】先化简，再将“”是“”的充分条件，转化为集合之间的关系，从而可得不等式组，即可求实数的取值范围．【解答】解：化简，得或； “”是“”的充分条件，，，，，，的取值范围是：，．故选：．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，真正理解充要条件的定义，是解答的关键．属于基础题．7．（5分）设，则的值为　　A．11 B．8 C．10 D．20【分析】推导出，由此能求出的值．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是　　A． B． C．或 D．或【分析】根据题意，由基本不等式的性质，可得的最小值为8，结合题意，可得恒成立，解可得答案．【解答】解：根据题意，，，则，，则，当且仅当时等号成立，即 的最小值为8，若恒成立，必有恒成立，，解可得，，故选：．【点评】本题考查不等式的恒成立问题与基本不等式的应用，关键是利用基本不等式求出的最小值．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）若椭圆的离心率为，则的值可能为　　A． B．6 C．3 D．【分析】通过与4的大小讨论，由离心率的定义列出方程，解方程求出的值．【解答】解：椭圆的离心率为，当时，由离心率的定义知，，当时，由离心率的定义知，，故选：．【点评】本题考查椭圆的标准方程和简单性质，体现了分类讨论的数学思想．10．（5分）下列各函数中，最小值为2的是　　A． B．， C． D．【分析】根据函数的单调性或基本不等式，或进行配方，求每个选项函数的最小值即可．【解答】解：．时，；的最小值不是2；．；；，当时取等号；的最小值为2；；该函数的最小值为2． ；时，该函数取最小值；故选：．【点评】考查函数最小值的定义及求法，根据单调性，基本不等式，以及配方的方法求函数最值的方法．11．（5分）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是　　A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则【分析】利用方程表示椭圆，求出的范围，焦距，判断焦点所在轴，判断选项的正误．【解答】解：方程表示椭圆，可得焦点坐标在轴时，，解得；焦点坐标在轴时，可得，解得，所以，正确；不正确；焦点坐标在轴时，焦距为：．焦点坐标在轴时，，所以不正确；故选：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意分类讨论思想的应用，是基础题．12．（5分）下面命题正确的是　　A．“”是“”的必要条件 B．设，，则“”是“”的充要条件 C．设，，则“”是“”的充要条件 D．命题“，”的否定是“，”【分析】直接利用充分条件和必要条件判定的结论，利用命题的否定判定的结论．【解答】解：对于：当时，，所以“”是“”的充分条件，“”是“”的必要条件，故正确；对于：当，，则，，由于与不等价，故“”是“”的充要条件错误，故错误；对于：设，，当，时，则“”不是“”的充分条件，故错误；对于：命题“，”的否定是“，”故正确．故选：．【点评】本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中16题第一空2分，第二空3分）13．（5分）已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是　　．【分析】由三角形的周长和椭圆的定义，即可得到所求轨迹方程．【解答】解：的周长为20，且顶点，，可得，，由椭圆的定义可得的轨迹是以，为焦点的椭圆（去除，两点），设椭圆方程为，可得，，，则的轨迹方程为，故答案为：．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意定义法的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14．（5分）若，，，则的最小值为　　．【分析】利用柯西不等式求出即可．【解答】解：若，，，则，当且仅当时，取等号，则的最小值为，即为．故答案为：．【点评】本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．15．（5分）如图，正方形的边长为，取正方形各边中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和是　　．【分析】由题意可得从外到内正方形的面积成等比数列，其公比为，最外层的正方形的边长为，则，根据等比数列的求和公式即可求出．【解答】解：由题意可得从外到内正方形的面积成等比数列，其公比为，最外层的正方形的边长为，则，故前10个方形的面积之和，故答案为：．【点评】考查学生掌握等比数列的通项公式及等比数列的前项和的公式，属于基础题．16．（5分）已知椭圆的焦点为，，如果椭圆上存在一点，使得，且△的面积等于6，则实数的值为　　，实数的取值范围为　　．【分析】根据椭圆的定义及题意列方程，转化求解；再由向量等式得，即，结合点在椭圆上可得，即，可得，然后求解的范围．【解答】解：由椭圆的定义可知：，又，△的面积等于6，，即，由，，可得，．由，得，①而椭圆，②由①②得，，从而，故（舍去），或，的取值范围为，．故答案为：；，．【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆中焦点三角形的解法，考查运算求解能力，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列的前项和为，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求的最大值及相应的的值．【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出数列的通项公式．（Ⅱ）由，，求出，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）等差数列的前项和为，，．，解得，，数列的通项公式为：．（Ⅱ），，，的最大值为12，相应的的值为3或4．【点评】本题等差数列的通项公式、前项和公式的最大值及相应的的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）已知椭圆的两焦点分别为，短轴长为2．（1）椭圆的标准方程；（2）已知过点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，求线段的长度．【分析】（1）设椭圆的方程为，半焦距为，由题意可得，，由，，的关系可得，进而得到椭圆方程；（2）求得直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为，由题意可得，，，则椭圆的方程为；（2）过点且斜率为1的直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，设，的横坐标分别为，，可得，，则．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．（12分）沭阳县的花木生产已有200多年的历史，是全国最大的花木基地，享有“东方花都”之美誉．当前，花木产业不仅是沭阳的传统特色产业，更已成为沭阳的一项富民产业，为了打造花木的特色品牌，促进全县经济社会更快更好地发展，沭阳县已经举办了八届花木节．2020年第八届沭阳花木节期间，某花木展商计划用隔离带围成三个面积均为45平方米的长方形展室，如图所示，以墙为一边（墙不需要隔离带），并共用垂直于墙的两条边，为了保证花木摆放需要，垂直于墙的边的长度不小于3米，每个长方形平行于墙的边的长度也不小于3米．（1）设所用隔离带的总长度为米，垂直于墙的边长为米．试将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；（2）当为何值时所用隔离带的总长度最小？隔离带的总长度最小值是多少？【分析】（1）由垂直于墙的边长为米，则每个长方形平行于墙的边长米，表示出，再由且可得函数的定义域；（2）由（1）中求得的函数解析式结合基本不等式求最值．【解答】解：（1）垂直于墙的边长为米，则每个长方形平行于墙的边长为米，则，且，，由可得函数的定义域为，；（2），当且仅当，即时取等号，故当垂直于墙的边长为米时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是米．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．20．（12分）在①，；②，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，，____．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．【分析】（1）由所选条件及题设求得：，，，，即可求得与；（2）先由（1）求得，再利用裂项相消法求得其前项和．【解答】解：当选条件①时：（1）由题设可得：，又，解之得：，，，；（2）由（1）可得：，．当选条件②时：（1）由题设可得：，解之得：，，，；（2）由（1）可得：，．当选条件③时：由题设可得：，解之得：，，，；（2）由（1）可得：，．【点评】本题主要考查等差、等比数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．21．（12分）若关于的不等式的解集是或．（1）解不等式；（2）若对于任意，，不等式恒成立，求的取值范围．【分析】（1）根据不等式的解集求出的值，代入不等式求出解集；（2）不等式化为恒成立，求出右边函数的最小值，即可得出的取值范围．【解答】解：（1）不等式的解集是或，所以和1是方程的解，所以，解得；所以不等式化为，即，解得或；不等式的解集为或．（2）对于任意，，不等式恒成立，即，所以；设，，，则在，内是单调减函数，所以（2）；所以的取值范围是．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，是中档题．22．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点，是否存在实数，使得的面积为1？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可得，由离心率公式和，，的关系，解得，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）联立直线的方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，解方程可判断存在性．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，解得，则椭圆的方程为；（Ⅱ）联立可得，△，解得，设，的横坐标分别为，，可得，，到直线的距离，则的面积为，化为，由可得，故存在实数，使得的面积为1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/2/23 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