2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知虚数是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为　　A．2 B．2或 C． D．2．（5分）对于函数，若（a），则实数的值为　　A． B． C． D．3．（5分）已知是虚数单位），那么复数在复平面内对应的点所在的象限为　　A．四 B．三 C．二 D．一4．（5分）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零．12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则　　A．， B．， C．， D．，5．（5分）函数的极大值为　　A．18 B．21 C．26 D．286．（5分）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．7．（5分）若复数满足，则使取到最小值的复数为　　A． B． C．1 D．8．（5分）已知函数．则使不等式成立的实数的范围为　　A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）下列给出的四个命题中，是假命题的为　　A．任意两个复数都不能比较大小 B．对任意， C．若，，且，则 D．若，则10．（5分）设是函数的导函数，则以下求导运算中，正确的有　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则11．（5分）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是　　A．函数在处取得极小值 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零12．（5分）设，，为复数，．下列命题中正确的是　　A．若，则 B．若，则是纯虚数 C．若，则 D．若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）计算　　．14．（5分）已知函数，，．且，若（5），（5），（5），（5），则（5）和（5）的值分别为　　，　　．15．（5分）函数的单调递减区间为　　．16．（5分）如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路．该市拟修建一条从通往海岸的观光专线（新建道路，对道路进行翻新），其中为上异于，的一点，与平行，设，新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍．要使观光专线的修建总成本最低，则的值为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知复数，，是虚数单位）．（1）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围；（2）若为纯虚数，求的模．18．（12分）已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）求函数的单调区间．19．（12分）已知，为虚数，且满足，是虚数单位）．（1）若是纯虚数，求；（2）求的最大值．20．（12分）如图一边长为为大于0的常数）的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体手工作品．所得作品的体积是关于截去的小正方形的边长的函数．（1）写出体积关于的函数表达式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？21．（12分）在平面直角坐标系中，过作轴的垂线，与函数的图象交于点，过点作函数的图象的切线，与轴交于，再过作轴的垂线，与函数的图象交于点，再过点作函数的图象的切线，与轴交于，，如此进行下去，在轴上得到一个点列，，，，，，记，，，，，的横坐标构成的数列为．（1）求，，；（2）求数列的通项公式．22．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为．（1）求实数，的值；（2）若对任意，都有恒成立，求的取值范围．
2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知虚数是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为　　A．2 B．2或 C． D．【分析】由虚数是虚数单位）的实部与虚部相等，列出方程能求出实数．【解答】解：虚数是虚数单位）的实部与虚部相等，，解得实数或（舍．故．故选：．【点评】本题考查实数值的求法，考查复数的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2．（5分）对于函数，若（a），则实数的值为　　A． B． C． D．【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入导数解析式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，，则，若（a），即，解可得，故选：．【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．3．（5分）已知是虚数单位），那么复数在复平面内对应的点所在的象限为　　A．四 B．三 C．二 D．一【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式右边，移向后求得，则答案可求．【解答】解：由，得，，则在复平面内对应的点所在的象限为一．故选：．【点评】本题考查复数的基本运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（5分）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零．12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则　　A．， B．， C．， D．，【分析】根据距离的平均变化率以及平均速度的定义计算即可．【解答】解：探测器与月球表面距离逐渐减小，故，探测器的速度逐渐减小，故，故选：．【点评】本题考查了平均变化率问题，考查平均速度的定义，是基础题．5．（5分）函数的极大值为　　A．18 B．21 C．26 D．28【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值即可．【解答】解：，，令，解得：或，令，解得：，故函数在递增，在递减，在递增，故时，的极大值是，故选：．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．6．（5分）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【分析】根据函数在上单调递增，可得在该区间上，即可求解得出结论．【解答】解：根据题意，函数函数在区间上单调递增，则有，在上恒成立，恒成立，在上恒成立，此时，令，则有二次函数的性质可知，，当时，，，故可得．故选：．【点评】本题考查函数单调性与函数导数的关系，以及恒成立条件的应用，属于基础题．7．（5分）若复数满足，则使取到最小值的复数为　　A． B． C．1 D．【分析】根据复数满足，得到，进而求得结论．【解答】解：设，复数满足，，即：，故，当且时，取到最小值，故选：．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．8．（5分）已知函数．则使不等式成立的实数的范围为　　A． B． C． D．【分析】比较两个函数值的大小，需判断函数的单调性，即利用导函数求函数的单调性．【解答】解：，则，令，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，且，即为偶函数，，即，即得，故选：．【点评】本题考查函数单调性及导函数相关性质，属于基础题型．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）下列给出的四个命题中，是假命题的为　　A．任意两个复数都不能比较大小 B．对任意， C．若，，且，则 D．若，则【分析】利用复数的运算法则与性质判断选项的正误即可．【解答】解：任意两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以是假命题；对任意，，满足复数的乘法的性质，所以是真命题；若，，且，则，显然不正确，反例，，所以是假命题；若当，时，则，因为，，所以是假命题．故选：．【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的运算法则的应用，复数的性质，是基础题．10．（5分）设是函数的导函数，则以下求导运算中，正确的有　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】根据题意，依次分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，若，则，正确；对于，若，则，错误；对于，若，则，正确；对于，若，，为常数，错误；故选：．【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．11．（5分）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是　　A．函数在处取得极小值 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零【分析】结合图像求出函数的单调区间，求出函数的极值点，从而求出答案即可．【解答】解：结合图像，时，，时，，在递增，在递减，故是函数的极大值点，故选：．【点评】本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查数形结合思想，是基础题．12．（5分）设，，为复数，．下列命题中正确的是　　A．若，则 B．若，则是纯虚数 C．若，则 D．若，则【分析】对于，，但；对于，设，则，由，得，，是纯虚数；对于，与是共轭复数，则；对于，与不一定能比较大小．【解答】解：，，为复数，．对于，若，则不一定成立，例如，但，故错误；对于，若，设，则，，，，是纯虚数，故正确；对于，若，与是共轭复数，由共轭复数的定义和复数的模的性质得：，故正确；对于，若，则与不一定能比较大小，故错误．故选：．【点评】本题考查命题真假的判断，考查复数概念等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）计算　　．【分析】利用分式的乘方，等于分子和分母分别乘方，原式化为．【解答】解：，故答案为．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，两个复数的商的乘方，等于被除数的乘方，除以除数的乘方．准确运算是解题的关键．14．（5分）已知函数，，．且，若（5），（5），（5），（5），则（5）和（5）的值分别为　　，　　．【分析】推导出，从而（5），（5），由此能求出结果．【解答】解：函数，，．且，，（5），（5），（5），（5），（5），（5）．故答案为：，．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．15．（5分）函数的单调递减区间为　　．【分析】根据题意，令，即得函数单调递减区间．【解答】解：根据题意，，定义域为，，令，则，又；，函数在上单调递减，在上单调递增，函数的单调递减区间为．故答案为：．【点评】本题主要考查函数导数与函数单调性的关系，属于基础题．16．（5分）如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路．该市拟修建一条从通往海岸的观光专线（新建道路，对道路进行翻新），其中为上异于，的一点，与平行，设，新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍．要使观光专线的修建总成本最低，则的值为　　．【分析】利用题中的条件分别表示出观光专线的长度，进而表示出修建总成本，即可解出．【解答】解：由题意可知弧，，设翻新道路的成本为，则总成本为，，，令，得，，，即时单调递减，时单调递增，时取最小值，即此时总成本最低．故答案为：．【点评】本题考查了函数的实际应用，函数最值得求法，学生的数学运算能力，属于基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知复数，，是虚数单位）．（1）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围；（2）若为纯虚数，求的模．【分析】（1）由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解的取值范围；（2）由实部为0且虚部不为0求得值，然后求得，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：（1）在复平面内对应的点在第四象限，，解得．的取值范围是；（2）为纯虚数，，解得，，则，．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题．18．（12分）已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）求函数的单调区间．【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）时，，函数的定义域是，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（1），无极小值；（2），定义域是，，①时，，在单调递增，②时，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，综上：时，在单调递增，时，在递增，在，递减．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．19．（12分）已知，为虚数，且满足，是虚数单位）．（1）若是纯虚数，求；（2）求的最大值．【分析】（1）先设出复数，，，，然后根据已知建立方程组，联立即可求解；（2）根据复数的几何意义即可求解．【解答】解：（1）设，，，，则①为纯虚数，则②联立①②解得，所以或；（2）因为，则对应的点在以原点为圆心，5为半径的圆上，表示的点到点的距离，所以当复数对应的点为，即时，有最大值6．【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的几何意义，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．20．（12分）如图一边长为为大于0的常数）的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体手工作品．所得作品的体积是关于截去的小正方形的边长的函数．（1）写出体积关于的函数表达式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？【分析】】设小正方形的边长为，则盒底的边长为，由于，则，且方盒是以边长为的正方形作底面，高为的正方体，其体积为，，由此利用导数性质能求出结果．【解答】解：（1）设小正方形的边长为，则盒底的边长为，由于，则，且方盒是以边长为的正方形作底面，高为的正方体，其体积为，；（2），令，则对于，，，，，函数在点处取得极大值，由于问题的最大值存在，为容积的最大值，此时小正方形的边长为．【点评】本题考查函数的应用，考查函数模型的工具作用，考查求函数最值的导数思想．体现了实际问题数学化的思想，注意发挥导数的工具作用．21．（12分）在平面直角坐标系中，过作轴的垂线，与函数的图象交于点，过点作函数的图象的切线，与轴交于，再过作轴的垂线，与函数的图象交于点，再过点作函数的图象的切线，与轴交于，，如此进行下去，在轴上得到一个点列，，，，，，记，，，，，的横坐标构成的数列为．（1）求，，；（2）求数列的通项公式．【分析】（1）由，，，可求得过的切线方程为，令得点的横坐标为，于是可得，而，从而可求得，，；（2）由（1）知数列是首项与公比均为2的等比数列，可求得数列的通项公式．【解答】解：（1）因为，，，，过的切线方程为，即，令得点的横坐标为，，，，，；（2）由（1）知，，又，数列是首项与公比均为2的等比数列，，．【点评】本题考查数列与函数的综合，求得过的切线方程是关键，考查函数与方程思想及化归思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．22．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为．（1）求实数，的值；（2）若对任意，都有恒成立，求的取值范围．【分析】（1）由题意求出切点的坐标，切线的斜率，用点斜式求出切线的方程．（2）由题意，当时，恒成立．利用导数求得在上的最小值，可得的范围．【解答】解：（1）对于函数，当时，，此时，切线的斜率为，故此处的切线方程为，即．再根据曲线在处的切线方程为，可得，且，，且．（2）对任意，都有恒成立，当时，恒成立．，则，由于，，而是上的增函数，故存在实数，使，故在上小于零，在上大于零，故在上递减，在上递增，故的最小值为．而，故在上，恒成立，即在上单调递减．当时，，故在上单调递增，故的最小值为，，故的范围为，．【点评】本题主要考查函数的导数的几何意义，求曲线的切线方程，函数的恒成立问题，利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值，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