2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）在中，若，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）若，，且，则的值为　　

A． B．1 C． D．

3．（5分）已知等腰三角形的一个底角为，顶角为，且，则的值为　　

A． B． C． D．

4．（5分）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：约为　　

（参考数据：取重力加速度大小为

A．55 B．61 C．66 D．71

5．（5分）已知，，若，，则的值为　　

A． B． C． D．

6．（5分）复数为虚数单位），则　　

A．1 B． C． D．

7．（5分）在菱形中，，，是的中点，是上一点，且，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为　　

（参考数据：．

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）下列命题中，正确的是　　

A．若，则或 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

10．（5分）下列等式成立的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

11．（5分），是虚数单位，是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是　　

A．对任意的， 

B．在复平面内对应的点在第一象限 

C． 

D．

12．（5分）对于，有如下命题，其中正确的是　　

A．若，则是等腰三角形 

B．在中，是为锐角三角形的充要条件 

C．若，则为钝角三角形 

D．若，则为钝角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）菱形中，，则实数的值为 　　．

14．（5分）在中，已知，则　　．

15．（5分）已知复数满足，则的最大值为 　　．

16．（5分）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知复数，为虚数单位）．

（1）若为纯虚数，求复数；

（2）若，且复数所对应的点位于第一象限，求的范围．

18．（12分）已知，，，，且．

（1）求实数的值；

（2）求在上的投影向量（用坐标表示）．

19．（12分）如图，三个全等的矩形相接，且，．

（1）若，求的值；

（2）已知，求的值．

20．（12分）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形．其中在半径上，记．

（1）若，求阴影部分（曲边三角形的面积；

（2）若，求的值．

21．（12分）如图，在等腰梯形中，．

（1）若与共线，求的值；

（2）若为边上的动点，求的最大值．

22．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求角的大小；

（2）求取值范围；

（3）如图所示，当取得最大值时，在所在平面内取一点与在两侧），使得线段，，求面积的最大值．

2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）在中，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由正弦定理知，

，，，

，

，

设，，，

，

，

．

故选：．

2．（5分）若，，且，则的值为　　

A． B．1 C． D．

【解答】解：，，且，，

，

故选：．

3．（5分）已知等腰三角形的一个底角为，顶角为，且，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为等腰三角形的一个底角为，顶角为，且，

所以根据三角形的内角和定理，可得，

可得．

则，

因为为锐角，所以．

故选：．

4．（5分）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：约为　　

（参考数据：取重力加速度大小为

A．55 B．61 C．66 D．71

【解答】解：如图，，

作平行四边形，则是菱形，，

，

所以，

因此该学生体重为．

故选：．

5．（5分）已知，，若，，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，

所以，且，

故，所以；

因为，所以；

故

．

故选：．

6．（5分）复数为虚数单位），则　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：，，

，

．

故选：．

7．（5分）在菱形中，，，是的中点，是上一点，且，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：以为原点，以为轴，建立直角坐标系，如图示：

四边形是菱形，，，

，，，，，，

设，

则，，，

，

，解得：，

故，，

则，，，

故选：．

8．（5分）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为　　

（参考数据：．

A． B． C． D．

【解答】解：设三角形的外接圆半径为，则，所以，

因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长为，

所以弓形的面积为，

以为直径的半圆的面积为，

所以月牙泉的面积为，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）下列命题中，正确的是　　

A．若，则或 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解答】解：对于，若，则与的终点在以原点为圆心的同一圆上，

不一定有或，故错误；

由两个向量不能进行大小比较，得错误；

若，则，故正确；

若，则，故正确．

故选：．

10．（5分）下列等式成立的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：对于．，故正确；

对于．，故正确；

对于．，故错误；

对于，故错误．

故选：．

11．（5分），是虚数单位，是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是　　

A．对任意的， 

B．在复平面内对应的点在第一象限 

C． 

D．

【解答】解：对于，，故正确；

对于，，，，

在复平面内对应的点在第一象限，故正确；

对于，，故错误；

对于，

，故正确．

故选：．

12．（5分）对于，有如下命题，其中正确的是　　

A．若，则是等腰三角形 

B．在中，是为锐角三角形的充要条件 

C．若，则为钝角三角形 

D．若，则为钝角三角形

【解答】解：对于：由于、，所以，，且，所以，故．故为等腰三角形；

对于：在中，当为锐角三角形，所以，整理得：，利用正弦函数的单调性，所以，反之不一定成立，故错误；

对于：由于，整理得：，故，利用正弦定理，利用余弦定理，故为钝角，故正确；

对于：由于，故为钝角，所以为钝角三角形，故正确；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）菱形中，，则实数的值为 　4或　．

【解答】解：菱形中，，则由菱形的性质可得，

，，，，或，

故答案为：4或．

14．（5分）在中，已知，则　　．

【解答】解：由题意可知，，

所以，．

，

，

故．

故答案为：．

15．（5分）已知复数满足，则的最大值为 　6　．

【解答】解：设，

，

，即，表示以为圆心，1为半径的圆，

的最大值为．

故答案为：6．

16．（5分）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高　150　．

【解答】解：在中，，，所以．

在中，，，从而，

由正弦定理得，，因此．

在中，，，由

得．

故答案为：150．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知复数，为虚数单位）．

（1）若为纯虚数，求复数；

（2）若，且复数所对应的点位于第一象限，求的范围．

【解答】解：（1）因为复数，

则，

又为纯虚数，

所以，解得，

则；

（2）因为，

所以由已知可得：，解得，

所以的范围为．

18．（12分）已知，，，，且．

（1）求实数的值；

（2）求在上的投影向量（用坐标表示）．

【解答】解：（1），

又，

，

；

（2）根据（1）有点为，所以，又，

设，则，

在上的投影向量为．

19．（12分）如图，三个全等的矩形相接，且，．

（1）若，求的值；

（2）已知，求的值．

【解答】解：（1）如图，若，则，，

所以；

（2）如图可得，，

因为，所以，

即，

化简得，，所以，

所以的值为1．

20．（12分）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形．其中在半径上，记．

（1）若，求阴影部分（曲边三角形的面积；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）由图可知，在中，，，

则阴影部分面积，

（2）在中，，，

在中，，

则，

则，

由，可得，

即，所以，

则．

21．（12分）如图，在等腰梯形中，．

（1）若与共线，求的值；

（2）若为边上的动点，求的最大值．

【解答】解：（1）不共线，以它们为基底，

由已知，

又与共线，

所以存在实数，使得，

即，解得；

（2）等腰梯形中，，，则，

设，

则，

，

所以时，取得最大值12．

22．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求角的大小；

（2）求取值范围；

（3）如图所示，当取得最大值时，在所在平面内取一点与在两侧），使得线段，，求面积的最大值．

【解答】解：（1）因为，

在中，由余弦定理得，

又，所以；

（2）由（1）得，，得，

所以，

由，所以，

所以的取值范围是；

（3）当取得最大值时，，解得；

令，，，

则由正弦定理可得：，；

又由余弦定理得：，

，

．

，当时等号成立；

面积的最大值为．

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