专题01 椭圆及其标准方程练习-2021-2022学年高二数学重难点手册

这是一份专题01 椭圆及其标准方程练习-2021-2022学年高二数学重难点手册，共13页。
专题01 椭圆及其标准方程
要点一　椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
【方法技巧】
1.对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解
(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数0.
(3)椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”＋“平方”，右边是1.
(4)椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　)
(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．(　　)
(3)方程＋＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆．(　　)
(4)设F1(－4,0)，F2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．(　　)
【答案】（1）√（2）×（3）×（4）×
2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D
【解析】由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选D.
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】C
【解析】由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.故选C.
4．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________.
【答案】－1或－
【解析】原方程可化为＋＝1.依题意，得即
所以k的值为－1或－.


题型一　求椭圆的标准方程
【例1】求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，且椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，且椭圆经过点(－，).
(3)经过P1(，1)，P2(－，－)两点；
(4)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．
【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．又c＝4,2a＝10，则a＝5，b2＝a2－c2＝9.于是所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知：
2a＝＋＝2，
即a＝，又c＝2，∵b2＝a2－c2＝6，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
（3）解法一　①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知，得⇒即所求椭圆的标准方程是＋＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由已知，得⇒
与a>b>0矛盾，此种情况不存在．综上，所求椭圆的标准方程是＋＝1.
解法二　设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
故⇒即所求椭圆的标准方程是＋＝1.
(4)由题意，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，设所求椭圆方程为＋＝1(λ>0)，
将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【方法技巧】
1．利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
【变式训练】
1.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】D　
【解析】由题意可得解得，故椭圆的方程为＋＝1.故选D.
题型二　与椭圆有关的轨迹问题
【例2】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．

【解析】由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2，由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
【方法技巧】
1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为定义法．
2．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(对称相关点法)．
【变式训练】
已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
【答案】x2＋＝1
【解析】设P(x0，y0)，Q(x，y)，由中点坐标公式得∴又∵点P在椭圆＋＝1上，∴＋＝1，即x2＋＝1.
题型三　椭圆的焦点三角形问题
探究1 求椭圆焦点三角形的内角或边长
【例3】(1)椭圆＋＝1的两焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，求△ABF2的周长；
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，求∠F1PF2的大小．
【解析】(1)A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|，
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.
故△ABF2的周长为4×5＝20.
(2)由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2，
∴cos ∠F1PF2＝＝，∴∠F1PF2＝60°.
【方法技巧】
关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．
探究2 求焦点三角形的面积
【例4】已知点P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
【解析】由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义，知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.
【方法技巧】
若本题以小题形式出现，则也可用焦点三角形的面积公式速解；记∠F1PF2＝θ，则S△F1P F2＝b2tan.
探究3 几何最值问题
【例5】已知椭圆C：＋＝1内有一点M(2,3)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求：
(1)|PM|－|PF1|的最大值与最小值；
(2)|PM|＋|PF1|的最大值与最小值．
【分析】
(1)利用平面几何的知识即可找出最值点，求之即可；(2)利用椭圆的定义，将和的最值转化为差的最值解决．
【解析】由椭圆方程知a＝5，F1(－3,0)，F2(3,0)．由于三角形两边之差小于第三边，如图，连接MF1并延长交椭圆于点P1，则P1是使|PM|－|PF1|取得最大值的点，于是(|PM| －|PF1|)max＝|MF1|＝＝.|PM|－|PF1|＝－(|PF1|－|PM|)，则求|PM|－|PF1|的最小值，即求|PF1|－|PM|的最大值，延长F1M交椭圆于点P2，则P2是使|PF1|－|PM|取得最大值的点，即|PM|－|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|－|PF1|)min＝－|MF1|＝－.
(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则|PF1|＝10－|PF2|，所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)，如图，连接MF2并延长交椭圆于点P3，则P3是使|PM|＋|PF1|取得最大值的点，于是(|PM|＋|PF1|)max＝10＋|MF2|＝10＋＝10＋.
|PM|＋|PF1|＝10－(|PF2|－|PM|)，延长F2M交椭圆于点P4，则P4是使|PF2|－|PM|取得最大值的点，即|PM|＋|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|＋|PF1|)min＝10－|MF2|＝10－.
【方法技巧】
根据本例，我们可以得到如下结论：
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，Q(x0，y0)为椭圆内一定点，M为椭圆上任意一点，则
(1) －|QF1|≤|MQ|－|MF1|≤|QF1|；
(2)2a －|QF1|≤|MF2|＋|MQ|≤2a ＋|QF1|.
解决椭圆最值问题的常见思路
1．与焦半径(椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径)乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义(两个焦半径的和为定值2a)，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件．
2．与|PF1|，|PF2|(P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点)的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解．
【变式训练】
1.设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上任一点，∠PF2F1为直角，则＝________.
【答案】(1)　
【解析】(1)由题意知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2.且|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2 ∴|PF1|2＝(6－|PF1|)2＋20
解得|PF1|＝ ∴|PF2|＝ ∴＝.
2.已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
【答案】(2)　
【解析】(2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|　①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4　②
联立①②可得|PF1|＝.所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝××2×＝.
3.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．
【答案】(3)100
【解析】(3)依题意知a＝10，由椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|≤2＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，故|PF1|·|PF2|的最大值是100.
易错辨析　忽略椭圆焦点位置的讨论致错
【例6】已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为________．
【答案】4或
【解析】∵2c＝6，∴c＝3.
当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m>0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.
综上可知，实数m的值为4或.
【易错提醒】
易错原因
纠错心得
易错之处是认为焦点在x轴上，从而漏掉一解.
涉及椭圆的标准方程的问题，如果没有明确地指出椭圆焦点的位置，一般都要分两种可能的情况进行讨论，不能想当然认为焦点在x轴上或y轴上去求解.



1．（2021·福清西山学校高二期中）若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．7
C．8 D．9
【答案】B　
【解析】根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7.
2．（2021·黑龙江哈九中高二）若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　)
A．5 B．3
C．5或3 D．8
【答案】C　
【解析】由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m>4时，m＝4＋1＝5；当m|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选A、C.
4．（2021·重庆一中高二月考）“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1＜m＜3且m≠2；
当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．故选B.
5．（2021·峨山彝族自治县第一中学高二期中）已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
【答案】B　
【解析】由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
6．（2021·浙江高二期末）若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为____________．
【答案】＋＝1(y≠0)　
【解析】△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，∵|AB|＝8，∴|BC|＋|AC|＝10.∵|BC|＋|AC|＞8，∴点C到两个定点A，B的距离之和为定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点，去除直线AB上的点的椭圆．∵2a＝10,2c＝8，∴b＝3.∴顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
7．已知P是椭圆 上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为_______．
【答案】
【解析】设Qx,y，由于Q是OP中点，故P2x,2y，代入椭圆方程得，化简得.即Q点的轨迹方程为.
8．（2021·江苏高二期中）椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的方程为__________．
【答案】 ＋＝1
【解析】如图，当P在y轴上时
△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
9．（2021·江苏西安交大苏州附中高二期中）椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆＋＝1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为________．
【答案】12　
【解析】依题意可知光线经两次椭圆壁反射后回到F点，故根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a＝4×3＝12.
10．（2021·西藏山南二中高二月考）求符合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点和；
(2)过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
【解析】(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．∵椭圆过点和，
∴解得
∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
(2)由题意得已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2，
且焦点在x轴上，∴c2＝9－4＝5.
∴设所求椭圆方程为＋＝1.
∵点(－3,2)在所求椭圆上，
∴＋＝1.∴a′2＝15或a′2＝3(舍去)．
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
11．（2021·四川高二期末）已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
【解析】法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，
由已知条件得解得
所以b2＝a2－c2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
法二：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2.
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4.
在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；
在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.
依题意有＝3，得b2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

12．（2021·福建厦门双十中学高二月考）椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．12
C．10 D．8
【答案】A
【解析】∵·＝0，∴PF1⊥PF2.
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a.
又a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴
②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|·|PF2|＝18，
∴△F1PF2的面积为S＝·|PF1|·|PF2|＝9.
13．（2021·浙江高二）已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5 B．7
C．13 D．15
【答案】B　
【解析】由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
14．（2021·伊美区第二中学高二期末）已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
【答案】2　120°
【解析】∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.

14．（2021·辽河油田第二高级中学高二月考）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
【解析】(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，
所以a2－a2＝1，即a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝.
故∠F1PF2的余弦值等于.

15．（2021·四川省绵阳南山中学高二月考）设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)设M是该椭圆上的一个动点，求△MBF1的周长的最大值．
【解析】(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，即|F1F2|＝2，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤＝4.
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取等号，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.
(2)因为|MF1|＋|MB|＝4－|MF2|＋|MB|≤4＋|BF2|，　
所以△MBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当M点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△MBF1的周长最大，最大值为8.