专题06 两直线的交点坐标及两点间的距离公式练习-2021-2022学年高二数学重难点手册

这是一份专题06 两直线的交点坐标及两点间的距离公式练习-2021-2022学年高二数学重难点手册，共10页。试卷主要包含了求法，应用等内容，欢迎下载使用。
专题06 两直线的交点坐标及两点间的距离公式

要点一　两条直线的交点坐标
1．求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．
2．应用：可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系．
一般地，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
方程组
的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2的公共点个数
_1_个
无数多个
_0_个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行
【方法技巧】
两直线相交的条件：
①将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．
②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)．
③若两直线斜率都存在，设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x ＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.
要点二　两点间的距离公式
两点坐标
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
距离公式
|P1P2|＝_
特例
若O(0,0)，P(x，y)，则|OP|＝
【方法技巧】
对两点间距离公式的理解：
①公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P1P2|＝，利用此公式可以将几何问题代数化．
②当直线P1P2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：法一：直线P1P2平行于x轴时|P1P2|＝|x2－x1|；法二：直线P1P2平行于y轴时|P1P2|＝|y2－y1|.
【基础自测】
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　)
A．(2,2)　B．(1,1) C．(1,2) D．(2,1)
【答案】C
【解析】由得交点坐标为(1,2)，故选C.
2．已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为(　　)
A．5 B. C．3 D.
【答案】B
【解析】由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝＝.
3．已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)
A．4 B．－4或2 C．－2 D．－2或4
【答案】D
【解析】＝5，∴a＝4或－2.

题型一　两直线的交点问题
【探究1】判断两直线是否相交例】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
【解析】(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
【方法技巧】
两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．
【探究2】过两直线交点的直线方程
【例2】求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
【解析】方法一　解方程组得所以两直线的交点坐标为(－，－).
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3(x＋)，即15x＋5y＋16＝0.
方法二　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有
得λ＝，代入(*)式得(2＋)x＋(－3)y＋(2×－3)＝0，即15x＋5y＋16＝0.
【变式探究】
本例中若将“平行”改为“垂直”
【解析】设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
【方法技巧】
过两条直线交点的直线方程的求法
1．常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
2．特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
【变式训练】
1若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为(　　)
A．－2 B．－ C．2 D.
【答案】B
【解析】易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入x＋ky＝0，得k＝－.故选B.
2.直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
【答案】(2)B
【解析】(2)设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.故选B.
题型二　两点间的距离公式的应用
【例3】已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC的形状．
【解析】方法一　∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
【方法技巧】
1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
【变式训练】(1)已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知点M(x，－4)与点N(2,3)间的距离为7，求x的值．
【解析】(1)设点P的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为(－，0).
|PA|＝＝.
(2)由|MN|＝7，得|MN|＝＝7，
即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.
故所求x的值为9或－5.
题型三　运用坐标法解决平面几何问题
【例4】在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
【证明】设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)．

∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
【方法技巧】
利用坐标法解平面几何问题常见的步骤
1．建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
2．用坐标表示有关的量；
3．将几何关系转化为坐标运算；
4．把代数运算结果“翻译”成几何关系．
【变式训练】已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.
【证明】如图所示，建立直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝.故|AC|＝|BD|.
【易错辨析】应用直线系方程漏解引发的错误
【例5】过两直线x＋y－1＝0和2x－y＋4＝0的交点，且到原点的距离为的直线方程．
【解析】设所求直线为x＋y－1＋λ(2x－y＋4)＝0，
即(2λ＋1)x＋(1－λ)y＋4λ－1＝0，由点到直线的距离公式得λ＝－
所以所求直线方程为2x＋11y－20＝0.
因为原点到直线2x－y＋4＝0的距离也为，
故直线2x－y＋4＝0也符合题意．
故所求的直线方程为2x＋11y－20＝0和2x－y＋4＝0.
【易错警示】
易错原因
纠错心得
应用直线系方程求解时，恰好漏掉了直线2x－y＋4＝0.
直线系(2λ＋1)x＋(1－λ)x＋4λ－1＝0表示经过两直线x＋y－1＝0和2x－y＋4＝0的交点，但不包括直线2x－y＋4＝0，而本题是特殊情况，因为原点到直线2x－y＋4＝0的距离也为.

1.若两条直线与的交点在轴上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】B　
【解析】设交点在轴上为，则，
可得，故无解，故选D
2．（2020·南昌大学附属中学高二期中）过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为(　　)
A．6 B.
C．2 D．不能确定
【答案】B　
【解析】由kAB＝1，得＝1，∴b－a＝1.
∴|AB|＝ ＝＝.
3．（2020·山西高二期中）已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．2 B．4
C．5 D.
【答案】D　
【解析】根据中点坐标公式得到＝1且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
4．（2020·天津高二专题练习）已知平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|的最小值为(　　)
A．3 B.
C．2 D.
【答案】D　
【解析】∵|AB|＝＝≥，
当且仅当x＝时等号成立，∴|AB|min＝.
5．（多选）（2020·福建省武平县第一中学高二月考）两直线（m+2）x﹣y+m＝0，x+y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【答案】ABD　
【解析】由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点．
于是①m+2≠0；②m+2≠﹣1；③（m+2）•0﹣0+m≠0．
综上所述，m≠﹣2且m≠﹣3且m≠0．故选ABD．
6．（2020·江苏省响水中学高二期中）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．
【答案】2　
【解析】设A(x,0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，
即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝＝2.
7．（2020·江苏马坝高中高二月考）经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．
【答案】5x－15y－18＝0　
【解析】由方程组得
又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝，
∴直线方程为y＋＝，即5x－15y－18＝0.
8．（2020·江苏启东中学高二期中）在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．
【答案】　
【解析】设P点的坐标是(a，a＋4)，
由题意可知|PM|＝|PN|，
即＝，
解得a＝－，故P点的坐标是.
9．（2020·甘肃省武威第一中学高二期中）已知△ABC的三个顶点是A(－1,0)，B(1,0)，C，试判断△ABC的形状．
【解析】因为|BC|＝＝ ＝1，
|AB|＝2，|AC|＝＝，
有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以△ABC是直角三角形．
10．（2020·内蒙古集宁一中高二期末）已知在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.
(1)求直线CM的方程；
(2)求点P的坐标．
【解析】(1)设点C的坐标为(x，y)，
因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等，
则解得即C(10,6)．
又点M是边AB的中点，
所以M(4,1)，
所以直线CM的方程为＝，即5x－6y－14＝0.
(2)因为B(7,1)，D(4,6)，
所以直线BD的方程为＝，
即5x＋3y－38＝0.
由解得即点P的坐标为.

11．（2020秋•西城区校级期中）直线与的交点在第四象限，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立方程，可解得，
由两直线与交点在第四象限可得，
解此不等式组可得，即的取值范围为，，故选：．
12．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高二月考）已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是(　　)
A．(1，－1) B．(－1,1)
C. D．(－2,2)
【答案】C
【解析】点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，直线A′B的方程为y＝x－，与x＋y＝0联立方程组并解得所以点P.
13．（2020·邯郸市永年区第一中学高二期末）设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________．
【答案】 x－y－4＝0或x＋y－24＝0　
【解析】法一：联立得
所以两直线的交点坐标为(14,10)．
由题意可得所求直线的斜率为1或－1，
所以所求直线的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，
即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
法二：设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得＝±1，解得λ＝－1或λ＝－，所以所求的直线方程为x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
14．（2020·福建省仙游县枫亭中学高二期末）已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
【解析】(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点在直线l上，且PP′⊥l.
所以
解得
即P′点的坐标为.
(2)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，则直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．
由得
将(x1，y1)代入直线l的方程得，x＋2y－4＝0，
即直线l′的方程为x＋2y－4＝0.

15．（2020·陕西高新一中高二期中）已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大；
(2)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0，求证：l1与l2相交．
【解析】(1)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，
||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，
点P即是直线AB与直线l的交点，
又直线AB的方程为y＝x－2，
解得
故所求的点P的坐标为(12,10)．
(2)证明(反证法)：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，可推出k1＝k2代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0，此与k1为实数相矛盾，从而k1≠k2即l1与l2相交．