专题02 椭圆的简单几何性质练习-2021-2022学年高二数学重难点手册

这是一份专题02 椭圆的简单几何性质练习-2021-2022学年高二数学重难点手册，共15页。
专题02 椭圆的简单几何性质

要点　椭圆的简单几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
范围
-a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
轴长
长轴长为2a,短轴长为2b
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
2c
对称性
对称轴:x轴、y轴,对称中心:坐标原点
离心率

【方法技巧】
(1)椭圆的焦点F1，F2必在它的长轴上．
(2)a是椭圆的长半轴长，b是椭圆的短半轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如图a，b，c恰好构成一个直角三角形．

明确了a，b的几何意义，可得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法．只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点．
(3)计算离心率常见形式，e ＝＝.
【答疑解惑】
你能运用三角函数的知识解释，为什么e＝越大，椭圆越扁平？e＝越小，椭圆越接近于圆吗？
【提示】可用椭圆的离心率与椭圆的特征三角形的关系解释．如图，在Rt△OB2F2中，sin ∠OB2F2的值即椭圆的离心率，即e＝sin ∠OB2F2.可以看出：

e＝越大，在Rt△OF2B2中，sin ∠OB2F2＝越大，则∠OB2F2越大，椭圆越扁平；
e＝越小，sin ∠OB2F2＝越小，则∠OB2F2越小，椭圆越接近于圆．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.(　　)
(2)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(　　)
(3)椭圆＋＝1的离心率e＝.(　　)
(4)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(0，±)．(　　)
【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√
2．2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　)
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
【答案】D
【解析】椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．故选D.
3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　)
A．8 B．7 C．5 D．4
【答案】C
【解析】由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是60)或＋＝1(a>b>0)，由已知得2a＝10，故a＝5.
∵e＝＝，∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，
故a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)方法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1,2)代入椭圆方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
方法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
【方法技巧】
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e ＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
【变式训练】
1.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】B　
【解析】由题意，得解得因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．
【答案】＋＝1　
【解析】由2a＝18，得a＝9.又因为2c＝＝6，所以c＝3.
所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
【答案】(3)＋＝1或＋＝1
【解析】(3)因为椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.
题型三　椭圆的离心率问题
探究1 定义法求椭圆的离心率
【例2】椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是________．

【答案】－1
【解析】如图，设F(c,0)，由△OAF是等边三角形，得A，
∵点A在椭圆上，∴有＋＝1　①，在椭圆中有a2＝b2＋c2　②，联立①②，得c2＝(4－2)a2，即c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1
探究2 构造齐次方程
【例3】设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
解法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°，可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
探究3 求椭圆离心率的取值范围
【例4】若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，求椭圆的离心率e的取值范围．
【分析】
方法一：由∠F1MF2＝90 °联想到·＝0，结合椭圆方程求出点M的横坐标，利用该坐标的范围构造关于e的不等式求解；
方法二：设点M的坐标是(x0，y0)，由已知可知，该点既在椭圆上也在圆x＋y＝c2上，从而可求出x的范围，再利用x的范围构造关于e的不等式求解．
【解析】解法一：设M(x0，y0)，则|x0|