专题05 直线的一般式方程练习-2021-2022学年高二数学重难点手册

这是一份专题05 直线的一般式方程练习-2021-2022学年高二数学重难点手册，共9页。试卷主要包含了定义，适用范围，系数的几何意义等内容，欢迎下载使用。
专题05 直线的一般式方程

要点　直线的一般式方程
1．定义：关于x，y的二元一次方程_ Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
3．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
【方法技巧】
解读直线方程的一般式：
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
【答疑解惑】
在方程Ax＋By＋C＝0中，
①当A＝0、BC≠0时，方程为y＝－，表示的直线平行于x轴．
②当B＝0、AC≠0时，方程为x＝－，表示的直线平行于y轴．
③当A＝C＝0，B≠0时，方程为y＝0，表示x轴．
④当B＝C＝0，A≠0时，方程为x＝0，表示y轴．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程来表示．(　　)
(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．(　　)
(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－.(　　)
(4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0表示过原点的直线．(　　)
【答案】（1）√（2）√（3）×（4）√
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A．30° B．60° C．150° D．120°
【答案】C
【解析】直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
3．已知过点A(－5，m－2)和B(－2m,3)的直线与直线x＋3y－1＝0平行，则m的值为(　　)
A．4 B．－4 C．10 D．－10
【答案】A
【解析】∵kAB＝，直线x＋3y－1＝0的斜率为k＝－，∴由题意得＝－，解得m＝4.故选A.
4．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
【答案】2x－y＋1＝0
【解析】由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.

题型一　求直线的一般式方程
根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是、－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
【解析】选择合适的直线方程形式．
(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.
(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.
(3)由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0.
(4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0.
【方法技巧】
求直线一般式方程的策略
1．当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
2．在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
题型二　直线一般式下的平行与垂直问题
【例1】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
【分析】注意考虑斜率不存在情况
【解析】(1)方法一　①若m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1：x＋2＝0与直线l2：x－3y＋2＝0显然不平行．
②若m＋1≠0，即m≠－1时，直线l1，l2的斜率分别为k1＝－，k2＝－，若l1∥l2时，k1＝k2，即－＝－，解得m＝2或m＝－3，经验证，m＝2或－3符合条件，所以m的值为2或－3.
方法二　令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.
(2)方法一　由题意，直线l1⊥l2，
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即(－)·(－)＝－1，
所以a＝－1. 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
方法二　由直线l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
【方法技巧】
1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
【变式训练】
已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
【解析】方法一　由题设l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－.
(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－.又∵l′过(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
方法二　(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.
题型三　由含参一般式求参数的值或取值范围
【例2】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
【分析】(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限，即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.
【解析】(1)方法一　将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，∴直线l的斜率为a，且过定点A(，)，
而点A(，)在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
方法二　直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.∵上式对任意的a总成立，
必有即即l过定点A(，).以下同方法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a的取值范围为[3，＋∞)．
【变式探究1】本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？
【解析】由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3.
【变式探究2】本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
【解析】①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．
②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a＞1.综上可知a≥1.
【方法技巧】
求直线过定点的策略
1．将方程化为点斜式，求得定点的坐标；
2．将方程变形，把x，y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．
【变式训练】已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
【证明】整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
所以解得所以直线l经过定点M(1，－1)．
【易错辨析】忽视斜率不存在的情况引发错误
【例3】已知直线l1：mx＋8y＋m－10＝0和直线l2：x＋2my－4＝0垂直，则m＝________.
【答案】0
【解析】若m≠0时，kl1＝－，kl2＝－
∵kl1·kl2＝(－)×(－)＝≠－1，显然不成立，因此两条直线不能垂直；
若m＝0时，直线l1的方程为y＝和x＝4，这两条直线垂直．
综上m＝0.
【易错提醒】
易错原因
纠错心得
忽视斜率不存在，把直线的一般式化为斜截式得，kl1＝－，kl2＝－导致出错.
含参数的直线方程中，一定注意垂直于x轴的情况，此情况直线方程存在而斜率不存在，常常忽视而漏解.



1.直线x-y+2=0的倾斜角是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】B
【解析】由x-y+2=0,得y=x+2.其斜率为1,倾斜角为45°.
2.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二、四象限,则(　　)
A.C=0,B>0 B.A>0,B>0,C=0
C.AB0,C=0
【答案】D
【解析】直线l过原点,所以C=0,方程可化为y=-ABx,直线过二、四象限,所以斜率k=-AB0.
3.若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与直线3x+2y+6=0垂直,则实数a的值为(　　)
A.-23 B.-32 C.23 D.32
【答案】B
【解析】由题意知a≠0,直线l的斜率k=2-a-2-a+2=-1a,所以-1a·-32=-1,所以a=-32.
4.已知点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程为(　　)
A.x-y+5=0 B.x-y-3=0
C.x+y-5=0 D.x-y+1=0
【答案】A
【解析】∵kMH=4-2-1-1=-1,∴直线l的斜率k=1,∴直线l的方程为y-4=x+1,即x-y+5=0.
5.如图所示,直线l的方程为Ax+By+C=0,则(　　)

A.AB>0,BC0,BC>0
D.AB0,b>0,则-b0,则-b