专题04 双曲线及其标准方程练习-2021-2022学年高二数学重难点手册

这是一份专题04 双曲线及其标准方程练习-2021-2022学年高二数学重难点手册，共16页。
专题04 双曲线及其标准方程

要点一　双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
【方法技巧】
要注意定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”．
(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
要点二　双曲线的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


焦点坐标
F1(－c,0)F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝
【方法技巧】
(1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
(3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．

【答疑解惑】
教材P121探究
设M(x，y)，则kAM＝(x≠－5)，kBM＝(x≠5)．
由题意，知kAM·kBM＝，即·＝(x≠±5)．
化简、整理，得－＝1(x≠±5)
因此，点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除A，B两点外)．与3.1节例3比较可以发现，一个动点M与两个定点F1(－a,0)，F2(a,0)(a>0)连线的斜率之积为一个常数k，则当k＝时，轨迹为双曲线(除F1，F2两点外)，方程为－＝1(x≠±a)；
当k＝－(a2≠b2)时，轨迹为椭圆(除F1，F2两点外)，方程为＋＝1(x≠±a)；
当k＝－1时，轨迹为圆(除F1，F2两点外)，方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(　　)
(3)双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．(　　)
(4)点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差为6，则点P的轨迹为双曲线的一支．(　　)
【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×
2．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
【答案】D
【解析】由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D.
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
【答案】C
【解析】b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.
4．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________．
【答案】22或2
【解析】设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，则|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，则|PF2|＝2.

题型一　求双曲线的标准方程
【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A(1，－)；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上．
【解析】(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1.
设所求双曲线的方程为－＝1(－4