专题11 圆与圆的位置关系练习-2021-2022学年高二数学重难点手册

这是一份专题11 圆与圆的位置关系练习-2021-2022学年高二数学重难点手册，共9页。试卷主要包含了几何法，圆O1，根据大小关系确定位置关系，求与圆C，已知圆C1等内容，欢迎下载使用。

专题11 圆与圆的位置关系
要点　圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.
1．几何法：
位置
关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示





d与r1、
r2的关系
d＞r1＋r2
d=r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d=|r1－r2|
d<|r1－r2|
2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
消元，一元二次方程
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(3)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(　　)
(4)如果两圆相外切，则有公切线3条．(　　)
【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　)
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】B
【解析】圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1＜|O1O2|＝＜r1＋r2＝3，即两圆相交．
3．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8 C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8
【答案】C
【解析】由题意联立两圆方程
得4x＋Ey－4－F＝0，则＝－1，＝1，解得E＝－4，F＝－8，故选C.
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
【答案】x＋3y＝0
【解析】(x－1)2＋(y－3)2＝20化为一般式为：x2＋y2－2x－6y－10＝0，①又圆x2＋y2＝10，即x2＋y2－10＝0②
①－②得：x＋3y＝0，即为直线AB的方程．


题型一　圆与圆的位置关系的判断
1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
【答案】C
【解析】法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，两圆相交．
法二：(代数法)联立方程
解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数是2，故可判断两圆相交．故选C.
2．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________.
【答案】外切
【解析】由题意知C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．
【方法技巧】
判断圆与圆的位置关系的一般步骤
1．将两圆的方程化为标准方程(若原方程已是标准形式，此步骤不需要)．
2．分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.
3．求两圆的圆心距d.
4．比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．
5．根据大小关系确定位置关系．
题型二　两圆相切问题
例1　(1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为________．
(2)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.
【答案】(1)(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169
(2)2或－5
【解析】(1)设所求圆的半径为r，则＝|8－r|，所以r＝3或r＝13，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169.
(2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.
【方法技巧】
处理两圆相切问题的两个步骤
1．定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑两圆内切还是外切两种情况讨论．
2．转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
【变式训练】
1.半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
【答案】(1)D　
【解析】(1)由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.故选D.
2.与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程是________．
【答案】(2)(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36
【解析】(2)已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
则圆心为C(1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
由题意，可得解得或
即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
题型三　两圆相交的问题
【例2】求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长．
【解析】由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0，对于圆C1：x2＋y2＝1，该圆的圆心到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，由条件知r2－d2＝1－2＝，所以公共弦长为2×＝.
[方法技巧]
1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
【变式训练】1.若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
【答案】4
【解析】如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4.

【易错辨析】忘记求相交两圆的公共弦方程的前提致错．
【例3】过两圆C1：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，C2：x2＋y2－4x－21＝0的交点所在的直线的方程为(　　)
A．x－y＋11＝0 B．x－y－11＝0 C．x＋y＋11＝0 D．不存在
【答案】D
【解析】由题意得C1(1,1)，R1＝1，
C2(2,0)，R2＝5
∴|C1C2|＝＜R2－R1，
∴两圆内含
∴过两圆交点的直线不存在．故选D.
【易错警示】
易错原因
纠错心得
忘记了两圆相交的前提，直接把两圆方程相减得x－y＋11＝0，错选A.
只有当两圆相交时，它的公共弦方程才是把两圆的方程对应相减得到；如果两圆不相交，则不能用这个结论．今后遇到类似问题，要先判断两圆的位置关系，再作决定.



1．（2020·福清西山学校高二期中）两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　 B．相切
C．相交 D．内含
【答案】C
【解析】法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则圆心比|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，两圆相交．
法二：(代数法)联立方程
解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．
2．(多选) （2020·山东淄博实验中学高二月考）已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
【答案】CD
【解析】设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
3．（2020·黑龙江哈九中高二）圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
【答案】C
【解析】圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，
O1(3，－8)，r＝11，
圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，
∴|O1O2|＝ ＝13，
∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，
∴两圆相交．∴公切线有2条．
4．（（2020秋•浦东新区校级期中）两内切圆的半径长是方程x2+px+q＝0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p+q＝（　　）
A．2或4 B．4 C．1或5 D．5
【答案】C
【解析】根据题意，设两个圆的半径为R，r，且R＝3，则有|R﹣r|＝1，解可得r＝2或4，
又由R、r是方程x2+px+q＝0的两根，则，
当r＝2时，p＝﹣5，q＝6，此时p+q＝1，
当r＝4时，p＝﹣7，q＝12，此时p+q＝5，故p+q＝1或5，故选C．

5．（2020·重庆一中高二月考）已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是(　　)
A．5 B．7
C．9 D．11
【答案】C
【解析】由题意知圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.
6．（2020·峨山彝族自治县第一中学高二期中）若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．
【答案】a2＋b2>3＋2
【解析】由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以>＋1，
即a2＋b2>3＋2.
7．（2020·伊美区第二中学高二期末）若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
【答案】1
【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝，又a>0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝ ＝1⇒a＝1.
8．（2020·西藏山南二中高三月考）过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________．
【答案】x2＋y2－3x＋y－1＝0
【解析】设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
9．（2020·四川高二期末）求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
【解析】圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
圆心C(1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题意可知解得
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
10．（2020·福建莆田一中高二期中）已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；
(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，
圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，
两圆的圆心距d＝ ＝2，
又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，
所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．
(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：
圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.
假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，
则圆心距d＝＜3－1，
即(m＋1)2＜0，此不等式无解．
故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．

11．（2020·全国高二课时练习）圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8
【答案】C
【解析】由题意联立两圆方程得4x＋Ey－4－F＝0，则＝－1，＝1，解得E＝－4，F＝－8，故选C.
12．（2020·四川省绵阳南山中学高二期中（文））若圆平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．16 D．20
【答案】A
【解析】两圆方程相减得，，此为相交弦所在直线方程，
圆的标准方程是，圆心为，
∴，，
∵，
∴，当且仅当即时等号成立．
故选：A．
13.（多选）（2020·河北承德第一中学高二月考）圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．对于任意的，圆与圆始终相切
B．对于任意的，圆与圆始终有四条公切线
C．当时，圆被直线截得的弦长为
D．P，Q分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4
【答案】ACD
【解析】由已知，，等于两圆半径之和，两圆始终相切，A正确，B错误；
时，，到已知直线的距离为，则弦长为，C正确；
由于，∴，共线时最大值．D正确．故选：ACD．
14．（2020·江苏西安交大苏州附中高二期中）已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
【解析】(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，
∴r2＝|O1O2|－r1＝ －2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.

15．（2020·厦门市松柏中学高二其他模拟）已知圆与圆关于直线对称，且点，在圆上，
（1）判断圆与圆的位置关系；
（2）设为圆上任意一点，.，与不共线，为的平分线，且交于，求证与的面积之比为定值.
【解析】（1）由于点，关于直线对称点，，
故圆的方程为：.
把点，在圆上，可得，
故圆的方程为：.
可得圆，，，
根据，故两圆相离.
（2）设，
则，
.
设点，
则.
；
；
，，即