专题13：不等式-2021-2022学年下学期七年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

专题13：不等式

一、单选题

1．若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（        ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据不等式的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．

【详解】A、∵a＞b，c是任意实数，∴，故本选项错误；

B、∵a＞b，c是任意实数，∴，故本选项正确；

C、当a＞b，c＜0时，ac＜bc，而此题c是任意实数，故本选项错误；

D、当a＞b，c＞0时，ac＞bc，而此题c是任意实数，故本选项错误；

故选：B．

【点评】此题考查了不等式的性质，注意解此题的关键是掌握不等式的性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

2．若，则下列各不等式中正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】不等式的基本性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐一分析判断即可．

【详解】解：，，故A不符合题意；

，，故B不符合题意；

，，故C不符合题意；

，，，故D符合题意；

故选D

【点评】本题考查的是不等式的基本性质，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键．

3．以下命题为假命题的是（       ）

A．对顶角相等 B．如果，，那么

C．若，则 D．同旁内角互补，两直线平行

【答案】C

【解析】根据如果一个命题的题设成立时，不能保证结论一定成立，那么这样的命题叫做假命题，对各选项进行判断即可．

【详解】解：A．对顶角相等，正确，不是假命题，故不符合题意；

B．如果，那么，正确，不是假命题，故不符合题意；

C．当，时，，但，原命题错误，是假命题，故符合题意；

D．同旁内角互补，两直线平行，正确，不是假命题，故不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查命题的真假判断，对顶角的性质，不等式的性质，平行直线的判定等知识．正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，对所学知识的熟练掌握．

4．若，则下列不等式不一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据不等式的性质逐项判定即可解答．

【详解】解：A．根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变，故a（m2+1）>b（m2+1）一定成立，故此选项不合题意；

B．根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，故-2a<-2b一定成立，故此选项不合题意；

C．根据不等式的基本性质，若a=0，b为负数，则a2>b2不成立，故若a>b，则a2>b2不一定成立，故此选项符合题意．

D．根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，故a+m>b+m一定成立，故此选项不合题意；

故选：C．

【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

5．已知命题“若a＞b，则ac＞bc”，下列判断正确的是（     ）

A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题

C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题

【答案】D

【解析】根据不等式的性质，判断该命题及其逆命题真假，即可求解．

【详解】解：若a＞b，当时，，

∴原命题是假命题，

逆命题为若ac ＞bc，则a ＞b，

若ac＞bc，当时，，

∴该命题的逆命题是假命题，故A、B、C错误，D正确．

故选：D

【点评】本题主要考查了不等式的性质，判断命题的真假，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

6．若，则下列各式中正确的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意，根据不等式的性质，不等式两边同时加减相同数字，不等号不改变方向；不等式两边同时乘除大于零的数，不等号不改变方向；反之则改变，即可；

【详解】对于选项A．，依据不等式性质：，选项A不符合题意；

对于选项B．，依据不等式性质：，选项B不符合题意；

对于选项C．，依据不等式性质：，选项C符合题意；

对于选项D．，依据不等式性质：，选项D不符合题意．

故选：D．

【点评】本题主要考查不等式性质，难点在熟练应用不等式两边的同时乘小于零的数，不等号方向发生改变；

7．若，则下列式子中，错误的是（　　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用不等式的基本性质逐一判断即可．

【详解】解：A. 若，则正确，故A不符合题意；

B. 若，则正确，故B不符合题意；

C. 若，则，正确，故C不符合题意；

D. 若d，则，所以D错误，故D符合题意，

故选：D．

【点评】本题考查不等式的性质，掌握相关知识是解题关键．

8．已知a>b，下列变形一定正确的是（　　）

A．3a<3b B．4+a>4﹣b C．ac2>bc2 D．3+2a>3+2b

【答案】D

【解析】根据不等式的基本性质逐项排查即可．

【详解】解：A.在不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不发生改变，这里应该是3a>3b，故A不正确，不符合题意；

B.无法证明，故B选项不正确，不符合题意；

C．当c＝0时，不等式不成立，故C选项不正确，不符合题意；

D．不等式的两边同时乘2再在不等式的两边同时3，不等式，成立，故D选项正确，符合题意．

故选：D．

【点评】本题主要考查了不等式的性质，1.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变; 2.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变;3.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

9．下列四个说法：①若a＝﹣b，则a2＝b2；②若|m|+m＝0，则m＜0；③若﹣1＜m＜0，则m2＜﹣m；④两个四次多项式的和一定是四次多项式．其中正确说法的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【解析】根据题意分别利用相反数的性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法进行判断即可．

【详解】解：①若a＝﹣b，则a2＝b2，说法正确；

②若|m|+m＝0，则m 0，说法错误；

③若﹣1＜m＜0，则m2＜﹣m，说法正确；

④两个四次多项式的和不一定是四次多项式，说法错误；

①③正确，共有2个.

故选：C.

【点评】本题考查相反数的性质和不等式性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法，熟练掌握相关的概念是解题的关键.

10．﹣（﹣a）和﹣b在数轴上表示的点如图所示，则下列判断正确的是（       ）

A．﹣a＜1 B．b﹣a＞0 C．a＋1＞0 D．﹣a﹣b＜0

【答案】B

【解析】化简﹣（﹣a）＝a，根据数轴得到a＜﹣1＜﹣b＜0，再结合有理数的加减、不等式的性质逐项分析可得答案．

【详解】解：﹣（﹣a）＝a，由数轴可得a＜﹣1＜﹣b＜0，

∵a＜﹣1，∴﹣a＞1，故A选项判断错误，不合题意；

∵﹣b＜0，∴b＞0，b﹣a＞0，故B正确，符合题意；

∵a＜﹣1，∴a+1＜0，故C判断错误，不合题意；

∵a＜﹣b，∴a+b＜0，∴﹣a﹣b＞0，故D判断错误，不合题意．

故选：B．

【点评】本题考查了有理数的加减法则、不等式的性质、用数轴表示数等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．

11．若实数x和y满足x＞y，则下列式子中错误的是（     ）

A．x＋1＞y＋1 B．2x－6＞2y－6 C．－3x＞－3y D．－＜－

【答案】C

【解析】直接利用不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；分别分析得出答案．

【详解】解：A．∵x＞y，

∴x＋1＞y＋1，故此选项不合题意；

B．∵x＞y，

∴2x＞2y，

∴2x−6＞2y−6，故此选项不合题意；

C．∵x＞y，

∴−3x＜−3y，故此选项符合题意；

D．∵x＞y，

∴－＜－，故此选项不合题意；

故选：C．

【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解题关键．

12．下列四个命题：①若a＞b，则a－3＞b－3；②若a＞b，则a+c＞b+c；③若a＞b，则－3a＜－3b；④若a＞b，则ac＞bc．其中，真命题有（     ）

A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②③

【答案】D

【解析】根据不等式的性质判断即可；

【详解】若a＞b，则a－3＞b－3，故①正确；

若a＞b，则a+c＞b+c，故②正确；

若a＞b，则－3a＜－3b，故③正确；

若a＞b，则ac＞bc，没有告知c的取值，故④错误；

故正确的是①②③；

故选D．

【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．

二、填空题

13．实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有____（填序号）

①b+c>0；②a+b>a+c；③bc<ac；④ab>ac．

【答案】②④##④②

【解析】根据数轴判断出a、b、c的大小关系和符号，根据实数的加法法则和不等式的性质逐项判断即可求解．

【详解】解：由题意得c＜0＜b＜a，，

①因为c＜0＜b，，所以b+c＜0，故原判断错误，不合题意；

②因为b＞c，所以a+b>a+c，故原判断正确，符合题意；

③因为b＜a，c＜0，所以bc＞ac，故原判断错误，不合题意；

④因为b＞c，a＞0，所以ab＞ac，故原判断正确，符合题意．

故答案为：②④

【点评】本题考查了用数轴表示实数，实数的加减法则，不等式的性质等知识，熟知有理数的加减法则和不等式的性质，能根据数轴判断出a、b、c三个实数的符号和绝对值大小是解题关键．

14．已知关于的不等式，可化为，试化简，正确的结果是__________．

【答案】-1

【解析】根据题目的已知可得a−1＜0，然后再化简每一个绝对值进行计算即可．

【详解】解：由题意得：a−1＜0，

∴a＜1，

∴1−a＞0，a−2＜0，

∴|1−a|−|a−2|＝1−a−（2−a）＝1−a−2＋a＝−1，

故答案为：−1．

【点评】本题考查了不等式的性质，绝对值，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

15．由得到的条件是：______0（填“”“”或“”）．

【答案】

【解析】根据不等式的性质，两边同时除以c（c<0）即可得到．

【详解】根据不等式的性质：由得到的条件是：c<0，

故答案为：<．

【点评】此题考查不等式的性质：不等式的性质1：不等式两边加减同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘(或除)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

16．当常数____时，式子的最小值是．

【答案】2或-8

【解析】分类讨论当时和当时，再具体分类，最后去绝对值并利用原式的最小值为5即可求出m．

【详解】分类讨论（1）当时，

①当时，原式．则；

②当时，原式；

③当时，原式，则．

∵原式的最小值为5，

∴，

∴．

（2）当时，

①当时，原式．则；

②当时，原式；

③当时，原式，则．

∵原式的最小值为5，

∴，

∴．

综上，m为2或-8．

故答案为：2或-8．

【点评】本题考查解不等式及去绝对值，利用分类讨论的思想是解答本题的关键．

三、解答题

17．阅读下列材料：

解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：

解：因为，所以，又因为，所以，所以，所以①，同理：②，①②得：，所以的取值范围是．

请仿照上述解法，完成下列问题：

（）已知，且，，则的取值范围是多少．

（）已知，，若，求的取值范围（结果用含的式子表示）．

【答案】（1）1＜x+y＜5；（2）．

【解析】【详解】试题分析：（1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可；

（2）理解解题过程，按照解题思路求解．

试题解析：（）∵，

∴，

又∵，

∴，

∴①，同理②，

①②得，

∴的取值范围是；

（）∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，同理，

∴，

∴的取值范围是．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．

18．k 取何整数时，方程组中的 x 大于 1 且 y 小于 1?

【答案】

【解析】解出二元一次方程组中x、y关于k的式子，然后解出k的范围，即可知道k的取值．

【详解】解：解得：，

由题意得：，

，

，

时，方程组中的x大于1且y小于1.

【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意的是x，y都为正数，则解出x，y关于k的式子，最终求出k的范围，即可知道k的值．

19．已知关于x的不等式．

（1）当m＝1时，求该不等式的非负整数解；

（2）m取何值时，该不等式有解，并求出其解集．

【答案】（1）0，1；（2）当m≠-1时，不等式有解；当m> -1时，原不等式的解集为x<2；当m< -1时，原不等式的解集为x>2.

【解析】（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；

（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．

【详解】（1）当m＝1时，

所以非负整数解为0，1

（2），

，

，

当m≠-1时，不等式有解；

当m> -1时，原不等式的解集为x<2；

当m< -1时，原不等式的解集为x>2.

【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．

20．已知y=kx+b．当x=1时，y=3；当x=-2时，y=9．（1）求出k，b的值；（2）当-3≤x≤3时，求代数式x-y的取值范围．

【答案】(1)k=-2，b=5；（2）-14≤x-y≤4．

【解析】（1）把x与y的值代入计算即可求出k与b的值；

（2）表示出y，代入x-y，根据x范围求出即可．

【详解】解：（1）由题意得：，

解得：，

则k=-2，b=5；

（3）∵k=-2，b=5，

∴y=-2x+5，即x-y=3x-5，

∵-3≤x≤3，

∴-14≤x-y≤4．

【点评】此题考查了解二元一次方程组与不等式的性质，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

21．已知－4是不等式ax＞9的解集中的一个值，试求a的取值范围.

【答案】a＜－

【解析】【详解】整体分析：

根据－4是不等式ax＞9的解集中的一个值，可以判断a＜0，由不等式的性质可求解.

解：因为x=-4是不等式ax＞9的一个解，所以a＜0，

所以不等式ax＞9的解集为x＜，

所以-4＜，

解得a＜－.

22．阅读材料：形如的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得，然后同时除以2，得．

解决下列问题：

（1）请你将双连不等式转化为不等式组．

（2）利用不等式的性质解双连不等式．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据阅读材料中的方法将双连不等式化为不等式组即可；

（2）利用不等式的基本性质求出所求即可．

【详解】解：（1）转化为不等式组为．

（2），不等式的左、中、右同时减去3，

得，同时除以，得

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及不等式的定义，弄清阅读材料中的转化方法是解本题的关键．

23．用不等式表示：

(1)7x与1的差小于4；

(2)x的一半比y的2倍大；

(3)a的9倍与b的的和是正数．

【答案】(1)7x－1＜4   (2)x＞2y     (3)9a＋b＞0

【解析】（1）7x与1的差是7x-1，小于4，再用小于号“<”与4连接即可；

（2）x的一半记作，y的2倍记作2y，然后用大于号“>”连接即可；

（3）a的9倍记作9a，b的记作，和是正数即相加后大于0．

【详解】由题意得

(1)7x－1＜4；   

(2)x＞2y；   

(3)9a＋b＞0

【点评】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．

24．下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？

100,98,51,12,2,0,-1,-3,-5.

【答案】100,98,51,12,2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解.

【解析】【详解】试题分析：

把上述各数分别代入不等式的左边计算出左边的值，看是否大于或等于5即可.

试题解析：

∵在不等式中，

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=;

∴上述各数中，100，98，51，12，2是不等式的解；0，－1，－3，－5不是不等式的解.