2020-2021学年湖南省长沙市天心区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市天心区八年级（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+y＝2B．x2﹣+1＝0C．x2﹣5x＝3D．x﹣3y+1＝0
2．（3分）长沙今年4月上旬有一段时间7天的最高气温为（单位：℃）：15，19，17，18，17，16，17．对这组数据，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数为17B．中位数为18C．众数为17D．极差为4
3．（3分）抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
4．（3分）某校要选拔参加长沙市三独比赛乐器参赛人员，13名参赛同学的初赛成绩各不相同，按照成绩取前6名进入决赛．如果小芳知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小芳需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
5．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣9＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝18B．（x﹣6）2＝45C．（x﹣3）2＝18D．（x+6）2＝45
6．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+3B．y＝（x﹣6）2+3C．y＝x2﹣7D．y＝（x﹣6）2﹣7
7．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是s甲2＝1.2，s乙2＝3.1，s丙2＝2.5，s丁2＝3.7，你认为派谁去参赛更合适（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则2x1+2x2﹣x1x2的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣7D．7
9．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（ ）
A．图象经过一、二、三象限B．y随x的增大而增大
C．当x＜时，y＞0D．图象过点（1，﹣1）
10．（3分）某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．（15+2x）（8+x）＝110B．（15﹣2x）（8﹣x）＝110
C．（15+x）（8+2x）＝110D．（15﹣x）（8﹣2x）＝110
11．（3分）已知二次函数y＝﹣2x2+8x+c的图象过点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（6，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3
12．（3分）函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若函数y＝在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0的一个根为﹣2，则m+n＝ ．
15．（3分）晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小宇的三项成绩（百分制）依次为95分，90分，88分，则小宇这学期的体育总评成绩为 分．
16．（3分）若关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根，则c的取值范围为 ．
17．（3分）为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 ．
18．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③若△ABD是等腰直角三角形，则a＝；④若点P为对称轴上的动点，当|PB﹣PC|有最大值时，其最大值为．其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（8分）解一元二次方程：
（1）（x﹣3）2＝18；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
20．（6分）已知一次函数的图象经过点（﹣1，2）和点（3，﹣2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，且x1≤x2，请比较y1，y2的大小，并说明理由．
21．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校八年级开展了以“明党史，跟党走”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取部分学生的成绩，并用得到的数据绘制了条形统计图（满分为30分，最低为26分），请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次随机抽样调查的学生人数为 ；
（2）求本次抽样调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）若该校八年级共有1200名学生参加了此项竞赛，得30分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮助年级组估计需准备多少份“一等奖”奖品？
22．（8分）已知某二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该函数的图象与x轴相交于点E、F，与y轴相交于点C，求△EFC的面积．
23．（8分）长沙著名网红打卡地“超级文和友”在2019年五一小长假期间，接待食客约20万人次，在2021年五一小长假期间，接待食客约28.8万人次．现假定该店每年五一小长假接待食客的增长率相同．
（1）求出该店2019年至2021年五一小长假期间食客人次的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计2022年“超级文和友”在五一小长假期间食客将达到多少万人次？
24．（8分）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”y＝2x﹣1，其“和谐点”为（1，1）．
（1）在下列关于x的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“√”．
①y＝x﹣3 ；
②y＝﹣x+1 ；
③y＝x2﹣2x ．
（2）若点A、点B是“和谐函数”y＝x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）2（其中m＞0）上的“和谐点”，且8≤AB≤10，求m的取值范围；
（3）若“和谐函数”y＝﹣x2+（m﹣k+2）x+n+k﹣1的图象上存在唯一的一个“和谐点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点B（0，1），顶点为A．点F（2，1）在抛物线的对称轴上，点C（0，3）是y轴上一点．点P在抛物线上运动，过点P作PM⊥x轴于点M，连接PF和CF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：在点P运动的过程中，总有PF＝PM+1；
（3）若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，请求出所有“巧点”的坐标．是否存在使△PCF的周长最小的“巧点”，若有，请直接写出“巧点”的坐标；若无，请说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市天心区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+y＝2B．x2﹣+1＝0C．x2﹣5x＝3D．x﹣3y+1＝0
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）长沙今年4月上旬有一段时间7天的最高气温为（单位：℃）：15，19，17，18，17，16，17．对这组数据，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数为17B．中位数为18C．众数为17D．极差为4
【分析】根据公式和定义分别计算该组数据的平均数，众数，中位数及极差后找到正确的答案即可．
【解答】解：A、平均数是：＝17，正确，不符合题意；
B、把这些数从小到大排列为15，16，17，17，17，18，19，中位数是17，错误，符合题意；
C、17出现了3次，出现的次数最多，则众数是17，正确，不符合题意；
D、极差是：19﹣15＝4，正确，不符合题意；
故选：B．
3．（3分）抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣3（x+2）2﹣1，
∴其顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：C．
4．（3分）某校要选拔参加长沙市三独比赛乐器参赛人员，13名参赛同学的初赛成绩各不相同，按照成绩取前6名进入决赛．如果小芳知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小芳需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】由于比赛取前6名参加决赛，共有13名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【解答】解：13个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：B．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣9＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝18B．（x﹣6）2＝45C．（x﹣3）2＝18D．（x+6）2＝45
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣9＝0，
∴x2﹣6x＝9，
∴x2﹣6x+9＝18，
∴（x﹣3）2＝18．
故选：C．
6．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+3B．y＝（x﹣6）2+3C．y＝x2﹣7D．y＝（x﹣6）2﹣7
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为：y＝（x﹣3﹣3）2﹣2+5，即y＝（x﹣6）2+3；
故选：B．
7．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是s甲2＝1.2，s乙2＝3.1，s丙2＝2.5，s丁2＝3.7，你认为派谁去参赛更合适（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】平均成绩相同，根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：∵平均成绩都是86.5分，s甲2＝1.2，s乙2＝3.1，s丙2＝2.5，s丁2＝3.7，，
而1.2＜2.5＜3.1＜3.7，
∴甲的成绩最稳定，
∴派甲去参赛更合适，
故选：A．
8．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则2x1+2x2﹣x1x2的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣7D．7
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算x1x2﹣x1﹣x2的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，
所以2x1+2x2﹣x1x2＝2（x1+x2）﹣x1x2＝2×2﹣（﹣3）＝7．
故选：D．
9．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（ ）
A．图象经过一、二、三象限B．y随x的增大而增大
C．当x＜时，y＞0D．图象过点（1，﹣1）
【分析】解不等式求得不等式的解集即可判断C；根据一次函数的性质即可判断A、B；把点（1，﹣1）代入解析式即可判断D．
【解答】解：A、由于一次函数y＝﹣2x+3中的k＝﹣2＜0，b＝3＞0，所以图象过一、二、四象限，不符合题意；
B、由于一次函数y＝﹣2x+3中的k＝﹣2＜0，所以y随x的增大而减小，不符合题意；
C、令y＞0，则﹣2x+3＞0，此时x＜，符合题意；
D、当x＝1时，y＝1．所以图象不过（1，﹣1），不符合题意；
故选：C．
10．（3分）某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．（15+2x）（8+x）＝110B．（15﹣2x）（8﹣x）＝110
C．（15+x）（8+2x）＝110D．（15﹣x）（8﹣2x）＝110
【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的矩形，利用种植的面积＝合成大矩形的长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的大矩形，
依题意得：（15﹣2x）（8﹣x）＝110．
故选：B．
11．（3分）已知二次函数y＝﹣2x2+8x+c的图象过点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（6，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，根据x＜2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+8x+c＝﹣2（x﹣2）2+c+8，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
∴C（6，y3）关于直线x＝2的对称点是（﹣2，y3），
∵﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴y1＜y3＜y2，
故选：C．
12．（3分）函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不可能；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，抛物线与直线交y轴同一点，故本选项有可能．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若函数y＝在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 x≤ ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3﹣2x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0的一个根为﹣2，则m+n＝ ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程根的定义得到4+2m+2n＝0，然后计算m+n的值．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2﹣mx+2n＝0得4+2m+2n＝0，
所以m+n＝﹣2．
故答案为﹣2．
15．（3分）晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小宇的三项成绩（百分制）依次为95分，90分，88分，则小宇这学期的体育总评成绩为 90 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
【解答】解：小宇这学期的体育总评成绩为；95×20%+90×30%+88×50%＝88（分）．
故答案为：90．
16．（3分）若关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根，则c的取值范围为 c≤ ．
【分析】直接利用根的判别式判断得出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×c≥0，
∴c≤，
故答案为：c≤．
17．（3分）为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 7 ．
【分析】当y＝0时代入解析式y＝﹣（x﹣2）2+2，求出x的值就可以求出结论．
【解答】解：由题意，得
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+2＝0，
化简，得：（x﹣2）2＝25，
解得：x1＝7，x2＝﹣3（舍去），
故答案为：7．
18．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③若△ABD是等腰直角三角形，则a＝；④若点P为对称轴上的动点，当|PB﹣PC|有最大值时，其最大值为．其中正确的结论的序号是 ①③④ ．（只填序号）
【分析】从开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点位置判断a、b、c的正负，判断①；把A、B的坐标代入确判断；利用等腰直角三角形的三线合一的性质判断③；由三角形的三边关系判断④．
【解答】解：∵开口向上，对称轴x＝1，与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①符合题意，
把点A（﹣1，0），B（3，0）代入解析式，得：
a﹣b+c＝0（1），9a+3b+c＝0（2），
（2）﹣（1）×9，得：12b﹣8c＝0，
∴3b＝2c，故②不符合题意；
由抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）得：
y＝a（x+1）（x﹣3），
∴c＝﹣3a，
当x＝1时，y＝﹣4a，
∴D（1，﹣4a），
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴2|﹣4a|＝AB＝4，
∴a＝0.5，故③符合题意；
当x＝0时，y＝c＝﹣3a，
∴C（0，﹣3a），
当点P是AC的延长线与对称轴的交点时，|PB﹣PC|有最大值，
此时，|PB﹣PC|＝|PA﹣PC|＝AC，
∵AC＝，故④符合题意．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（8分）解一元二次方程：
（1）（x﹣3）2＝18；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
【分析】（1）先变形为（x﹣3）2＝36，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形为3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）2＝36，
∴x﹣3＝±6，
∴x1＝9，x2＝﹣3；
（2）3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
（2x+1）（3x﹣2）＝0，
2x+1＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝﹣，x2＝．
20．（6分）已知一次函数的图象经过点（﹣1，2）和点（3，﹣2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，且x1≤x2，请比较y1，y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据一次函数y＝﹣x+1的性质即可判断．
【解答】解：（1）根据题意，设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将（﹣1，2）和（3，﹣2）代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x+1；
（2）∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
当x1≤x2时，y1≥y2．
21．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校八年级开展了以“明党史，跟党走”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取部分学生的成绩，并用得到的数据绘制了条形统计图（满分为30分，最低为26分），请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次随机抽样调查的学生人数为 50 ；
（2）求本次抽样调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）若该校八年级共有1200名学生参加了此项竞赛，得30分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮助年级组估计需准备多少份“一等奖”奖品？
【分析】（1）根据条形统计图可求出调查人数；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义和求法，分别计算即可；
（3）样本估计总体，用1200去乘样本中得30分的人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）本次随机抽样调查的学生人数为：9+12+14+10+5＝50（人）．
故答案为：50；
（2）平均数是：＝27.8（分），
∵在这组数据中，28出现14次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是28，
将这组数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数都是28，因此中位数是28，
答：平均数为27.8，中位数是28，众数是28；
（3）1200×＝120（份），
答：估计需准备120份“一等奖”奖品．
22．（8分）已知某二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该函数的图象与x轴相交于点E、F，与y轴相交于点C，求△EFC的面积．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2+4，然后把（2，﹣5）代入求出a的值即可；
（2）根据抛物线解析式求得线段EF的长度和点C的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，
把（2，﹣5）代入得a•9+4＝﹣5，
解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵函数的图象与x轴相交于点E、F，则令y＝0，
即﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
∴EF＝4．
∵二次函数与y轴相交于C，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）．
∴S△EFC＝•OC＝＝6．
23．（8分）长沙著名网红打卡地“超级文和友”在2019年五一小长假期间，接待食客约20万人次，在2021年五一小长假期间，接待食客约28.8万人次．现假定该店每年五一小长假接待食客的增长率相同．
（1）求出该店2019年至2021年五一小长假期间食客人次的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计2022年“超级文和友”在五一小长假期间食客将达到多少万人次？
【分析】（1）设该店每年五一小长假接待食客的增长率为xx，根据2019年和2021年的人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据第四批公益课受益学生人数＝第三批公益课受益学生人数×（1+增长率），即可求出结论．
【解答】解：（1）设该店每年五一小长假接待食客的增长率为x，
依题意得：20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：这个增长率为20%．
（2）28.8×（1+20%）＝34.56（万人次）．
答：预计2022年“超级文和友”在五一小长假期间食客将达到34.56万人次．
24．（8分）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（12，28）、（15，25）代入，得：
，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤20）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤20，
∴当x＝20时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
25．（10分）我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”y＝2x﹣1，其“和谐点”为（1，1）．
（1）在下列关于x的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“√”．
①y＝x﹣3 × ；
②y＝﹣x+1 √ ；
③y＝x2﹣2x √ ．
（2）若点A、点B是“和谐函数”y＝x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）2（其中m＞0）上的“和谐点”，且8≤AB≤10，求m的取值范围；
（3）若“和谐函数”y＝﹣x2+（m﹣k+2）x+n+k﹣1的图象上存在唯一的一个“和谐点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
【分析】（1）根据定义，①x＝x﹣3时无解，②x＝﹣x+1时，解得x＝，③x＝x2﹣2x时，解得x＝0或x＝3，由此可确定“和谐函数”；
（2）由题意可知x＝x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）2，设A（x1，x1），B（x2，x2），因此可得Δ＝16m＞0，x1+x2＝2m+2，x1•x2＝（m﹣1）2，AB＝4，再由已知可得8≤4≤10，即可求4≤m≤；
（3）由题意可得x＝﹣x2+（m﹣k+2）x+n+k﹣1，Δ＝（m﹣k+1）2﹣n﹣k+1＝0，可知n＝（m﹣k+1）2+1﹣k，n是关于m的二次函数，对称轴为m＝k﹣1，①若k﹣1≤﹣1，即k≤0，当m＝﹣1时，n有最小值k，（﹣1﹣k+1）2+1﹣k＝k，解得k＝1（舍去）；②若k﹣1≥3，即k≥4，当m＝3时，n有最小值k，（3﹣k+1）2+1﹣k＝k，解得k＝5+2或k＝5﹣2（舍去）；③若﹣1＜k﹣1＜3，即0＜k＜4，当m＝k﹣1时，n有最小值k，1﹣k＝k，解得k＝，即可求解．
【解答】解：（1）①∵x＝x﹣3时无解，
∴y＝x﹣3不是“和谐函数”；
②x＝﹣x+1时，解得x＝，
∴y＝﹣x+1 是“和谐函数”；
③x＝x2﹣2x时，解得x＝0或x＝3，
∴y＝x2﹣2x 是“和谐函数”；
故答案为：①×，②√，③√；
（2）∵y＝x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）2是“和谐函数”，
∴x＝x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）2，
整理得，x2﹣（2m+2）x+（m﹣1）2＝0，
∵点A、点B是“和谐函数”上的“和谐点”，
设A（x1，x1），B（x2，x2），
∴Δ＝16m＞0，x1+x2＝2m+2，x1•x2＝（m﹣1）2，
∴AB＝
＝|x1﹣x2|
＝
＝4，
∵8≤AB≤10，
∴8≤4≤10，
∴4≤m≤；
（3）∵“和谐函数”y＝﹣x2+（m﹣k+2）x+n+k﹣1的图象上存在唯一的一个“和谐点”，
∴x＝﹣x2+（m﹣k+2）x+n+k﹣1，且Δ＝0，
∴x2﹣（m﹣k+1）x﹣n﹣k+1＝0，
Δ＝（m﹣k+1）2﹣n﹣k+1＝0，
∴n＝（m﹣k+1）2+1﹣k，
n是关于m的二次函数，对称轴为m＝k﹣1，
①若k﹣1≤﹣1，即k≤0，当m＝﹣1时，n有最小值k，
（﹣1﹣k+1）2+1﹣k＝k，
解得k＝1（舍去）；
②若k﹣1≥3，即k≥4，当m＝3时，n有最小值k，
（3﹣k+1）2+1﹣k＝k，
解得k＝5+2或k＝5﹣2（舍去）；
③若﹣1＜k﹣1＜3，即0＜k＜4，当m＝k﹣1时，n有最小值k，
1﹣k＝k，
解得k＝；
综上所述：k＝或k＝5+2．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点B（0，1），顶点为A．点F（2，1）在抛物线的对称轴上，点C（0，3）是y轴上一点．点P在抛物线上运动，过点P作PM⊥x轴于点M，连接PF和CF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：在点P运动的过程中，总有PF＝PM+1；
（3）若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，请求出所有“巧点”的坐标．是否存在使△PCF的周长最小的“巧点”，若有，请直接写出“巧点”的坐标；若无，请说明理由．
【分析】（1）由点F（2，1）确定对称轴为x＝2，从而求出b＝﹣1，再将点B（0，1）代入抛物线解析式可求c，即可求解；
（2）设P（m，m2﹣m+1），由两点距离公式可得PF＝（m﹣2）2+1，因为PM＝（m﹣2）2，则可证明FP＝PM+1；
（3）设直线PM与直线CF交于点K，由S△PCF＝×2×KP，求出KP＝2，再求出直线CF的解析式为y＝﹣x+3，设P（m，m2﹣m+1），K（m，﹣m+3），则KP＝|﹣m+3﹣（m2﹣m+1）|＝2，求出m＝±4或m＝0，则可求各“巧点”为（0，1）或（4，1）或（﹣4，9），因为△PCF的周长＝PC+PM+1+CF，当PC+PM取最小值时，即点C、P、M共线是，周长有最小值，所以当△PCF周长最小时存在“巧点”为P（0，1）．
【解答】解：（1）∵点F（2，1）在抛物线的对称轴上，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣1，
∵点B（0，1）在抛物线上，
∴c＝1，
∴y＝x2﹣x+1；
（2）设P（m，m2﹣m+1），
∵F（2，1），
∴PF＝＝（m﹣2）2+1，
∵PM＝（m﹣2）2，
∴FP＝PM+1；
（3）当△PCF面积为2时，无论P点在何位置，如图，设直线PM与直线CF交于点K，
∴S△PCF＝×2×KP，
∴KP＝2，
由点C（0，3），点F（2，1）可得直线CF的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，m2﹣m+1），K（m，﹣m+3），
∴KP＝|﹣m+3﹣（m2﹣m+1）|＝2，
∴m2﹣2＝2或2﹣m2＝2，
∴m＝±4或m＝0，
∴当△PCF面积为2时，各“巧点”为（0，1）或（4，1）或（﹣4，9），
∵△PCF的周长＝PC+PF+CF，
∵PF＝PM+1，
∴△PCF的周长＝PC+PM+1+CF，
∵CF为定值，
∴当PC+PM取最小值时，即点C、P、M共线是，周长有最小值，
∴当△PCF周长最小时存在“巧点”为P（0，1）或P（4，1）或P（﹣4，9），当△PCF周长最小时存在“巧点”为P（0，1）．