第23讲 正（余）弦定理-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习特训特练（基础版，全国通用版）

第23讲 正（余）弦定理

一、单选题

1．（2021·全国高一课时练习）已知外接圆的半径为1，则=（    ）

A．1∶1 B．2∶1

C．1∶2 D．无法确定

【答案】C

【详解】

解：由正弦定理，得=2R=2，

所以sin A∶BC=1∶2.

故选：C.

2．（2021·全国高一课时练习）在中，，，的面积为4，则等于（    ）

A． B．± C．- D．±

【答案】B

【详解】

S=AB·BC·sin∠ABC，得4=×2×5sin∠ABC，

解得sin∠ABC=，从而cos∠ABC=±.

故选：B

3．（2021·全国高一课时练习）在中，若，，，则角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由正弦定理，得sin B=.

因为a>b，所以A>B，所以B=，所以C=π-.

故选：D

4．（2021·内蒙古集宁一中（文））在中，内角的对边分别为.若，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，

则：，

整理得：，

解得：.

故选：C

5．（2021·全国高一单元测试）在中，若，则（　　）

A．45° B．75° C．90° D．60°

【答案】C

【详解】

由正弦定理知，.

∵sin2A＝sin2B+sin2C，∴a2＝b2+c2，即∠A＝90°．

故选：C．

6．（2021·河南高二月考）的内角的对边分别为，，，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

在中，由正弦定理可得：，

所以，

故选：D.

7．（2021·江西高三月考（文））在中，角的对边分别是，，，已知，，，则（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【详解】

解：由正弦定理，得.

∵，∴，∴或.

故选：C.

8．（2021·全国高一课时练习）已知的面积为且，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【详解】

∵，

∴

解得，

∴.

故选：D

二、多选题

9．（2021·全国高一单元测试）在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【详解】

对于A，因为，所以，只有一解；

对于B，因为，且，所以有两解；

对于C，因为，且，所以有两解；

对于D，因为，但，所以有一解；

故选：BC.

10．（2021·嘉祥县第一中学高一月考）已知中，，若三角形有两解，则不可能的取值是（    ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

【答案】ACD

【详解】

解：因为中，，且三角形有两解，

所以，

由正弦定理得，

所以，解得，

因为，所以，

所以，

故选：ACD

11．（2021·河北武强中学高二月考）在中，，，，则角可能是（    ）

A． B．150° C． D．

【答案】CD

【详解】

由正弦定理得或.

因为,

所以或.

故选：CD

12．（2021·湖北省直辖县级单位·高二月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且，.若有唯一解，则的值可以是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】BD

【详解】

解：因为，，因为有唯一解，所以或，即，

故选：BD

三、填空题

13．（2021·贵溪市实验中学高三月考）在锐角中，，则角的大小为___________.

【答案】

【详解】

解：由，得，

由余弦定理：，

又因为A为锐角三角形的内角，

所以，

故答案为：.

14．（2021·全国高一课时练习）在中，已知，，，则＝______．

【答案】

【详解】

解：∵A＝60°，b＝2，c＝3，

∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝4+9﹣2×2×3×cos60°＝7，

∴a＝．

故答案为：．

15．（2021·河南高二月考（文））在中，角的对边分别为，已知，则_____．

【答案】

【详解】

解：因为，

，所以，

又，所以，所以，

所以.

故答案为：.

16．（2021·江苏广陵·扬州中学高三月考）在中，已知角，所对的边分别为，，，且，则______；若，则面积的最大值为______．

【答案】       

【详解】

解：∵，

由余弦定理得，

∴，

∴，

又，

∴，

∴，当且仅当时等号成立，

∴面积的最大值，

故答案为：；．

四、解答题

17．（2021·云南高二月考）在中，内角所对的边分别为，，，且.

（1）求的值；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）2；（2）.

【详解】

解：（1）因为，由正弦定理，所以，

则，即，故.

（2）因为，又，，所以，，.

故.

18．（2021·全国高二专题练习）的内角的对边分别为角成等差数列，．

（1）若，求；

（2）若的面积为，求．

【答案】（1）；（2）2．

【详解】

（1）∵A，B，C成等差数列，

∴2B＝A+C，而A+B+C＝π，则B＝，又a＝2，c＝1，

由余弦定理可得：；

（2）∵S△ABC，

∴c＝2．

19．（2021·福建省建瓯市芝华中学高一月考）在中，内角所对的边分别是，若，且，

（1）求角.

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由，得，

∴，，可得.

（2）.

20．（2021·合肥艺术中学 高一期中）已知，，分别为内角的对边，，，.

（1）求的值；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解析：（1），，

由正弦定理得，∴.

（2）由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），

的面积.

21．（2021·西藏昌都市第一高级中学高二月考）已知的内角的对边分别为，，，若．

（1）求角．

（2）若，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由正弦定理，，又，

，即，由，得.

（2）由余弦定理知：，

∴，解得，

.

22．（2020·陕西富平·高三二模（文））已知的内角所对的边分别为，且．

（Ⅰ）求角的值．

（Ⅱ）若的面积为，且，求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】

解：（I）由，得，即，

∵，∴，

又，∴需，故．

（Ⅱ）由面积，得，

又，

∴，，

由余弦定理，

∴．