第41-43讲 统计案例-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习特训特练（基础版，全国通用版）

第43讲 独立性检验

一、单选题

1．（2021·全国高二课时练习）对于分类变量X与Y的随机变量x2的值，下列说法正确的是（    ）

A．x2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小

B．x2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小

C．x2越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小

D．x2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大

【答案】B

【详解】

根据独立性检验的基本思想可知，分类变量X与Y的随机变量x2的观测值越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大；x2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小，“X与Y没有关系”的可信程度越大，故ACD错误，B正确.

故选：B.

2．（2021·全国高二课时练习（文））若由一个列联表中的数据计算得，那么有把握认为两个变量有关系.

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

∵由列联表中的数据计算得，且4.013＞3.841，

∴有95%的把握认为这两个变量有关系.

故选：A

3．（2021·全国高二课时练习）根据分类变量x与y的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ）

A．变量x与y不独立

B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

C．变量x与y独立

D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

【答案】C

【详解】

时，，

所以在犯错概率不超过时变量x与y有关.

故选：C

4．（2021·全国高二课时练习（文））随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．

由，得.

参照下表，

下列结论正确的是（    ）

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”

C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”

D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”

【答案】C

【详解】

因为，所以有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，

故选：C.

5．（2021·全国高二课时练习（文））在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，说法正确的是（    ）

A．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关

B．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别无关

C．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关

D．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关

【答案】D

【详解】

由表中数据得≈0.002 42<3.841.

因此没有充分证据认为说谎与性别有关，

故选：D.

6．（2021·全国高二课时练习）通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：

附表：

随机变量，经计算，参照附表，下列结论正确的是（    ）

A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别无关”

C．有99%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别有关”

D．有99%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别无关”

【答案】A

【详解】

，则参照题中附表，可得在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别有关”或有以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别有关”.

故选：A．

7．（2021·韩城市西庄中学高二月考（文））为了解某次考试中语文成绩是否优秀与性别的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：

下列说法正确的是（    ）

A．有99.5%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系

B．有99.9%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系

C．有99%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系

D．没有理由认为语文成绩是否优秀与性别有关系

【答案】C

【详解】

由列联表得：，

所以有99%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系．

故选：C．

8．（2021·西藏日喀则区南木林高级中学高二期末（文））某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现的观测值，根据这一数据查阅表，市政府断言“市民收入增减与旅游愿望有关系”这一断言犯错误的概率不超过（    ）

A．0.005 B．0.025 C．0.05 D．0.1

【答案】B

【详解】

∵，6.023＞5.024，

∴市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过0.025，

故选：B．

二、多选题

9．（2021·全国高二课时练习）下列关于独立性检验的说法中，正确的是（    ）

A．独立性检验依据小概率原理

B．独立性检验原理得到的结论一定正确

C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异

D．独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法

【答案】ACD

【详解】

根据独立性检验的概念，可得独立性检验依据小概率原理，所以A正确；

利用独立性检验时与样本的选取有关，所以得到的结论可能有误，所以B错误；

利用独立性检验时与样本的选取有关，所以样本不同，独立性检验的结论可能有差异，所以C正确；

例如回归分析也是判决两类事物的相关性，所以独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法，所以D正确.

故选：ACD.

10．（2021·全国高二单元测试）下列说法中正确的有（    ）

A．在对分类变量和进行独立性检验时，随机变量的值越大，则“与有关”可信程度越小

B．在经验回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，响应变量增加0.1个单位

C．两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

D．在回归分析模型中，若越大，则模型的拟合效果越好

【答案】CD

【详解】

由题意得，根据的值越大，分类变量的有关联的可信度就越大，所以A是错误的；

根据线性回归方程中回归系数的含义，可知在线性回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，响应变量平均增加0.1个单位，B是错误的；

根据相关系数的计算公式可知，相关系数的绝对值越接近1，两个变量的相关性就越强，所以C是正确的；

根据回归分析的基本思想可知越大，则模型的拟合效果越好，D是正确的．

故选：CD．

11．（2021·全国高二课时练习）下面关于的说法错误的是（    ）．

A．在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关

B．的值越大，两个事件的相关性就越大

C．是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推定两类变量不相关

D．的计算公式是

【答案】ACD

【详解】

解：只适用于型列联表问题，A选项错，

的值越大，两个事件的相关性就越大，B选项对，

只能推定两个分类变量相关，但不能推定两个变量不相关，C选项错，

的计算公式是，D选项错，

故选：ACD．

12．（2021·福建福州·）“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下所示的列联表，通过计算得到K2的观测值为

已知，，则下列判断正确的是（    ）

A．在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”

B．在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”

C．有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关

D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关

【答案】AC

【详解】

∵K2的观测值为9，且P（K2≥6.635）＝0.010，P（K2≥10.828）＝0.001，

又∵9＞6.635，但9＜10.828，∴有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，

或者说，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，

所以选项C正确，选项D错误，由表可知认可“光盘行动”的人数为60人，

所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为%≈66.7%，

故选项A正确，选项B错误.

故选：AC.

三、填空题

13．（2021·全国高二课时练习）如果的观测值为，可以认为“与无关”的可信度是________．

【答案】1%

【详解】

由题意知，观测值为，所以有99%的把握性认为变量相关，

所以认为“与无关”的可信度是1%.

故答案为：1%.

14．（2021·全国高二单元测试）为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取名学生，得到如下列联表：

已知，.根据表中数据，得到，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为________．

【答案】

【详解】

，，

选修文科与性别有关系出错的概率约为.

故答案为：.

15．（2021·全国高二课时练习）有人发现，多看手机容易使人变近视，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：

则在犯错误的概率不超过______的前提下，可以认为多看手机与人变近视有关系．

附：

【答案】0.001

【详解】

由题意题中数据可得，，

由临界值表可得，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为多看手机与人变近视有关系．

故答案为：0.001.

16．（2021·全国）某学生对其30名亲属的饮食习惯进行了一次调查，依据统计所得数据可得到如下的列联表：

根据以上列联表中的数据，可得的观测值__________，__________（填“有”或“没有”）的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】10    有   

由列联表可得，，，，

可得，

所以有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．

故答案为：；有.

四、解答题

17．（2021·合肥艺术中学 高二期中（文））某手机生产企业为了解消费者对某款手机的认同情况，通过销售部随机抽取50名购买该款手机的消费者，并发出问卷调查(满分50分)，该问卷只有20份给予回复，这20份的评分如下：

（1）完成下面的茎叶图；

（2）若大于40分为“满意”，否则为“不满意”，完成上面的列联表，并判断是否有95%的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关.

参考公式，其中

参考数据：

【答案】（1）图见解析；（2）列联表见解析，没有的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关.

【详解】

（1）茎叶图如图.

（2）列联表如图，，

所以没有的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关.

18．（2021·山西高平·高二期中（文））为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）判断是否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.

附：，.

【答案】（1）；（2）有.

【详解】

（1）调查的500名老年人中有80位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，

需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为.

（2），

因为，

所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.

19．（2021·广西南宁三中高二月考（文））某高中社会实践小组设计了一个研究性学习项目，研究学习成绩（以单科为准）与手机使用（电子产品）的相关性，他们从全校随机抽样调查了名学生，其中有四成学生经常使用手机.名同学的物理成绩（百分制）的茎叶图如图所示.小组约定物理成绩低于分为一般，分以上为良好.根据以上资料完成以下列联表，并且是否有97.5%把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”？

附表及公式：，.

【答案】表格见解析，有.

【详解】

，

有的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”.

20．（2021·山西晋中·高三三模（文））某知名品牌公司研发了一款自主品牌产品，按行业标准这款自主品牌产品可分为一级正品、二级正品、次品共三个等级．根据该公司测算：生产出一件一级正品可获利元，一件二级正品可获利元，一件次品亏损元．该知名品牌公司试生产这款自主品牌产品件，并统计了这些产品的等级，如下表：

（1）对于该知名品牌公司试生产出来的这件产品，平均每件的产品利润是多少元？

（2）该知名品牌公司为了解消费者对这款自主品牌产品的满意度，随机调查了名男性消费者和名女性消费者，每位消费者对这款自主品牌产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：

问：能否在犯错误的概率不超过的前提下认为男性消费者和女性消费者对这款自主品牌产品的评价有差异？

附：，其中．

【答案】（1）元；（2）能在犯错误的概率不超过的前提下认为男性消费者和女性消费者对这款自主品牌产品的评价有差异；

【详解】

解：（1）依题意可得平均利润为（元）

（2）依题意可得，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为男性消费者和女性消费者对这款自主品牌产品的评价有差异；