第28-31讲 数列-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习特训特练（基础版，全国通用版）

第31讲 数列求和常用方法

1．（2021·北京东城·东直门中学高二月考）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2），.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，

依题意有，

由，又，

解得，

∴，

即，

 ；

（2）∵，

∴前项和

.

∴前项和，.

2．（2021·黑龙江大庆中学高三月考（理））已知等差数列的前项和为., .

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由,  ,得，解得, 所以；

（2）.因为，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以.

3．（2021·庆阳第六中学高一期末）已知等差数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【详解】

（1）设公差为,由已知得,

解得,,

∴.

（2）∵

∴

.

4．（2021·全国）设函数，计算.

【答案】2011

【详解】

解：由已知，

，

设

，

，

即

5．（2021·全国高二课时练习）设奇函数对任意都有

求和的值；

数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；

【答案】解：（1），；（2）是等差数列.

【详解】

解：（1）∵，且f（x）是奇函数

∴

∴，故

因为，所以．

令，得，即．

（2）令

又

两式相加．

所以，

故，

又．故数列{an}是等差数列．

6．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知正项等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和为，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，求数列的前项和的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【详解】

解：（1）设正项等差数列的公差为d，则，

∵，且成等比数列，∴，解得，

∴，

由得，即是等比数列，

又，∴；

（2）

∴

∵，∴.

7．（2021·江苏苏州·高三月考）在①，②，③中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题.已知公差不为0的等差数列，且___________.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）．

【详解】

（1）选①②：因为是等差数列，且，，

所以，解得，，所以.

选①③：所以，解得，，所以.

选②③：因为是等差数列，且，

所以，解得，，所以.

（2）因为，所以，

所以.

8．（2021·全国高二课时练习）数列的前项和为，是和1的等差中项，等差数列满足,.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1） an＝2n－1；bn＝2n－17；（2） .

【详解】

（1）∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn＝2an－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－1，

∴an＝2an－1，当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1.

∴a1＝1且an≠0，∴＝2，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，

∴an＝2n－1，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1.

设{bn}的公差为d，b1＝－S4＝－15，b9＝－15＋8d＝1，∴d＝2，

∴bn＝－15＋(n－1)×2＝2n－17.

（2）cn＝＝，

∴Wn＝＝＝.

9．（2021·河南洛阳·高三期中（文））已知正项数列满足：，，.

（1）证明：是等差数列并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析，；（2）.

【详解】

（1）由得：，

∴是以为首项，以为公差的等差数列，

，则.

（2）由（1）知： ，

∴，…①

两边同乘得，，…②

①②得，，

.

10．（2021·全国高二单元测试）已知数列的前项和，数列是首项为1，公比为的等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）当时，；

当时，.

所以.

（2）当时，，

此时，

易知当时上式也成立.

当时，，

此时，①

上式两端同时乘以，得，②

①②，得

，

所以，

易知当时此式也成立.

综上，.

11．（2021·河南洛阳·高三期中（理））已知正项数列的前项和，满足：.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）当时，，.

当时，，…①，，…②

①②得：，

即：.

，.

是以为首项，以为公差的等差数列，

.

（2）由（1）可知，则

，…①

两边同乘得：，…②

①②得：

，

.