第31讲-圆锥曲线综合-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第31讲-圆锥曲线综合（解析版）
学习目标：
1.掌握直线与圆锥曲线综合的常见结论
2.掌握圆锥曲线综合题型的常见解法
3.体会数形结合思想、函数与方程思想在直线和圆锥曲线中的运用

教学内容

1．已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，则动点的轨迹方程为　　．　　
【答案】
【解析】解：平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，
满足椭圆的定义，可得，，则，动点的轨迹方程为：．
2．已知点是椭圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为　　．
【答案】
【解析】解：设点坐标为，则点坐标为，代入椭圆方程圆
即，即.
3．已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是　　．
【答案】
【解析】解：连接，由题意可得，且为的中点
点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点
由垂直平分线的性质可得，
由双曲线的定义可得点得轨迹是以，为焦点的双曲线，，，则．
所以所求双曲线方程为：．






知识点一：直线与圆 数形结合 璀璨夺目
知识梳理
1.直线与圆的位置关系
方法一：方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成一元二次方程组，利用判别式来讨论位置关系．
①，直线和圆相交；
②，直线和圆相切；
③，直线和圆相离．
方法二：几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.
①，直线和圆相交；
　②，直线和圆相切；
③，直线和圆相离．
2. 切线：①过圆上一点圆的切线方程是：，过圆上一点圆的切线方程是：，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；
②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程为，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求出k的值，一般有两解，若求出k的值只有一个，则另一条切线的斜率肯定不存在，该直线为x=x0；
③切线长：过圆（）外一点 所引圆的切线的长为（）；（点到圆心的距离的平方减半径的平方等于切线长的平方）

3 圆的弦长的计算：
常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：

例题精讲
例1.已知直线且与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则　　．
【答案】
【解析】解：根据题意，，则圆心到直线的距离，
则有，解可得，
直线的方程为：，则其倾斜角为，
过，分别作的垂线与轴交于，两点，则.
例2.已知圆和点，若圆上存在两点，，使得，则实数的取值范围为　　．
【答案】
【解析】解：过作圆的两条切线、，若圆上存在两点，，使得，则需满足，即，
，，解得.

例3.在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是　　．
【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径等于2，圆心到直线的距离，
要使圆上有且只有四个点到直线的距离为1，应有，
即，故答案为．
例4. 若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为　　．
【答案】，
【解析】解：曲线表示以为圆心，2为半径的圆在直线右侧的部分
如图所示，当直线与圆相切时，；
当直线过点时，，此时有两个交点．
实数的范围是
故答案为：，．

例5.已知集合，，．记集合，则集合所表示的轨迹的长度为　　．
【答案】
【解析】解：集合，，，
圆的圆心，半径为2，圆的圆心的轨迹方程为：，
集合的图形是图形中，两个圆：；和：之间的圆环部分，
圆心到直线的距离为：，
所以，就是．

例6.在平面直角坐标系中，已知圆．过原点的动直线与圆交于，两点．若以线段为直径的圆，与以为圆心，为半径的圆始终无公共点，则实数的取值范围是　　．
【答案】，，
【解析】解：圆的圆心坐标，半径为2，
则，要使以线段为直径的圆，与以为圆心，为半径的圆始终无公共点，
则，整理得：，解得：或．


巩固练习
1.在平面直角坐标系中，圆，圆为实数）．若圆和圆上分别存在点，，使得，则的取值范围为　　．
【答案】
【解析】解：由题意，圆为实数），圆心为
圆上任意一点向圆作切线，切点为，，
所以与圆有交点，解得.
2. 在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点，且交圆于，两点，若面积的最大值为20，则实数的取值范围是　　．
【答案】或
【解析】解：圆，圆心，半径，
，当时取最大值20，
此时为等腰直角三角形，，则到距离，，
即，，即，
或，

3.在平面直角坐标系中，已知圆，直线（其中为常数），下列有关直线与圆的命题：
①当时，圆上有四个不同点到直线的距离为1；
②若圆上有四个不同点到直线的距离为1，则；
③若圆上恰有三个不同点到直线的距离为1，则；
④若圆上恰有两个不同点到直线的距离为1，则；
⑤当时，圆上只有一个点到直线的距离为1．
其中正确命题的有　　（填上你认为正确的所有命题的序号）
【答案】①②⑤
【解析】解：圆心到直线的距离为，圆的半径为2，
当即时，，圆上有四个不同点到直线的距离为1；
当时，，圆上恰有三个不同点到直线的距离为1；
当或时，圆上恰有两个不同点到直线的距离为1；
当时，，圆上只有一个点到直线的距离为1．
故①②⑤正确．故答案为：①②⑤．
知识点二：直线和圆锥曲线的位置关系
知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系．方程解的个数为交点个数．
（1）首先注意讨论直线方程的斜率是否存在，不存在时验证一下．
（2）直线斜率存在时，点斜式方程写出直线方程，与圆锥曲线联立，先讨论二次项系数能不能为0．
（3）若为0时，验证一下是否有解，若有解，这时一个交点，则相交（若是双曲线，这时的直线与一条渐近线平行，若是抛物线，这时的直线与对称轴平行）；无解的话就是没有交点．
若二次项系数不为0时，
▲
y
x
F
1
F
2
1
2
3
4
5
3
3
①相交：直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与 双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；
②相切：直线与双曲线相切；
③相离：直线与双曲线相离．
方法二是几何的观点（以双曲线为例）
直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线．
【小结】过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

2． 弦长与面积问题
（1）弦长
若直线与二次曲线的交点为A()和B ()
方法一：联立直线与二次曲线方程求出两交点两点间距离．
方法二：利用弦长公式：=
=
（2）面积
①普通三角形：；②焦点三角形：椭圆： ，双曲线：
3．距离问题
（1）点与圆锥曲线的距离：一般通过两点间距离公式，转化为二次函数问题来解决，注意变量范围．特殊的，当该点为焦点时，椭圆这侧的长轴顶点到该点的距离最小，双曲线这侧的实轴顶点到该点的距离最小．抛物线一般转化为到准线的距离解决．
（2）到定直线的距离：一般是通过作定直线的平行线与圆锥曲线相切来解决．
另外，通过参数方程也可以解决．
（3）到圆上点的距离：一般转化为到圆心的距离加减半径．
4．弦中点问题
（1）解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．
（2）点差法：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”．
【注意】利用点差法解题一般需要验算直线与圆锥曲线是否相交.

例题精讲
例1. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有　　条．
【答案】4
【解析】解：设过点与双曲线有且只有一个公共点的直线为．
根据题意：，消去，整理得，
△，．
由双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为：，
由直线恒过点且渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，
当直线方程与渐近线平行时也成立．即直线方程为，
故过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条．
故答案为：4．

例2. 已知直线与双曲线的右支交于两点，则实数的取值范围为　　．
【答案】
【解析】解：由题意联立直线与双曲线，
由题意可知：，故答案为：．
例3.已知两点，，的坐标满足，，则原点到直线的距离是　　．
【答案】1
【解析】解：因为两点，，的坐标满足，，
所以方程：，
原点到直线的距离是：．
例4.已知两点，到直线距离分别是，，则满足条件的直线共有　　．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】3
【解析】解：，，，
分别以，为圆心，，为半径作两个圆，如图所示：
，即，两圆外切，有三条共切线，则满足条件的直线共有3条．

巩固练习
1.已知直线为常数）和双曲线恒有两个公共点，则斜率的取值范围为　　．
【答案】，
【解析】解：法一、由双曲线，得，，，．
双曲线的渐近线方程为，
如图，

直线为常数）和双曲线恒有两个公共点，．
法二、联立，得．
，即，．
2.已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为　　．
【答案】
【解答】解：由直线，
分别取，1，，可得直线为：，，．
由此可知圆的圆心坐标为，半径为2．
与直线相切的定圆的方程为．
故答案为：．
3.直线与曲线的公共点个数为　　．
【答案】3
【解答】解：当时，曲线的方程为，
当时，曲线的方程为
，曲线的图象为右图，
在同一坐标系中作出直线的图象，
可得直线与曲线交点个数为3个．



知识点三：定值问题、求值问题

例题精讲
例1. 如图，过椭圆上任一点，作一半径为的圆，过原点向圆作两条切线，若两条切线的斜率之积为定值，则半径　　．

【答案】
【解析】解：斜率显然存在，设两条切线方程为，，
由圆心到直线的距离等于半径，，，
化简得，是方程的两个不相等的实数根，
，，，故答案为：．
例2. 已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点，若，则　　．
【答案】
【解析】解：直线恒过，
直线与抛物线相交于，两点，为的焦点，若，过，作准线的垂线，垂足为：，，由抛物线的定义可知：，，，
所以，所以是的中点，，
设的横坐标为：，则的横坐标为：，代入抛物线方程可得：
，则，代入，得，
，，．
故答案为：．

例3.已知抛物线过点，经过焦点的直线与抛物线交于，两点，在轴的上方，，若以为直径的圆经过点，则　　．　　
【答案】
【解析】解：抛物线过点，
，，抛物线．
设直线的倾斜角为，则，
．同理，．
以为直径的圆经过点，，
，即，
．

例4.已知抛物线，的三个顶点都在抛物线上，为坐标原点，设三条边，，的中点分别为，，，且，，的纵坐标分别为，，．若直线，，的斜率之和为，则的值为　　．
【答案】
【解析】解：设的方程为，的方程为，的方程为，
联立方程组，消元得：，
，
同理可得：，，
直线，，的斜率之和为，．
则．
例5.如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点．
（1）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程
（2）若为锐角，作线段的垂线平分交轴于点，证明为定值，并求此定值．

【解析】解：（1）抛物线方程中，
焦点坐标为，准线方程为
（2）设，，，，中点，，焦点．
则有，，又，在曲线上有，，
两式相减得斜率，得．
又，垂直，易得中垂线方程，令，
得点横坐标．
于是得．
由于，
再将，代入整理得，
从而有．
原式得证．

巩固练习
1.已知点，在抛物线上，过点作两条直线分别交抛物线于相异两点，，若直线，的倾斜角互补，则直线的斜率为　　．
【答案】
【解析】解：点，在抛物线上，可得，解得，即，
设，，，，则，，
若直线，的倾斜角互补，可得，
即为，化为，则．
故答案为：．
2. 在平面直角坐标系中，已知椭圆设，是椭圆上任意一点，从原点向圆做两条切线，分别交椭圆于、．
（1）若直线、互相垂直，求圆的方程；
（2）若直线、的斜率存在并记为、，求证：；
（3）试问：是否为定值？若是，请求值；若不是，说明理由．
【解析】（1）解：由圆的方程知，圆的半径，
因为直线，互相垂直，且和圆相切，
所以，即，①分
又点在椭圆上，所以，②分
联立①②，解得，分
所以所求圆的方程为．分
（2）证明：因为直线，，与圆相切，
所以，化简得，分
同理，分
所以，是方程的两个不相等的实数根，
，分
因为点，在椭圆上，所以，即．
所以，即．分
（3）解：是定值，定值为36，分
理由如下：
当直线，不落在坐标轴上时，设，，，，
联立，解得，分所以，
同理，得，分由，
得
．分
当直线 落在坐标轴上时，有，
综上：．
知识点四：最值范围 函数方程 数形结合 双管齐下

例题精讲
例1.已知，为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为　　．
【答案】15
【解析】解：圆，圆心坐标，半径，设圆心到、的距离分别为、，，则，
又，
四边形的面积，
当且仅当时取等号，则四边形面积的最大值为15．
例2.过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，当周长最大时，直线的方程为　　．
【答案】
【 解析】解：设右焦点为，则，，
所以，
显然，当且仅当，，共线时等号成立，
所以当直线过点时，的周长取最大值12，
此时直线方程为，即．
故答案为：
例3.在椭圆上找一点，使点到直线的距离最小，则取得最小值时点的坐标是　　．
【答案】
【解析】解：方法一：设点坐标，，，
则到直线的距离，
当时，取最小值，则，则，
， ，故答案为：．
方法二：设过点与直线平行的切线方程为直线，
，整理得：，
则△，解得：，当时，，
整理得：，解得：，则，
到直线的距离，
当时，，整理得：，解得：，则，
到直线的距离，
当到直线的距离最小，故答案为：．
例4.已知椭圆，当椭圆上存在不同的两点关于直线对称时，则实数的范围为：　　．
【答案】
【解析】解：，故，
设椭圆上两点，、，关于直线对称，中点为，，
则，①
，②
①②得：，
即，．
，代入直线方程得，；
因为，在椭圆内部，，即，
解得．
故答案为：
例5.若存在实数、使得直线与线段（其中，只有一个公共点，且不等式对于任意成立，则正实数的取值范围为　　．
【答案】，
【解析】解：直线与线段有一个公共点，
点，在直线的两侧，
，
即，或；画出它们表示的平面区域，如图所示．
表示原点到区域内的点的距离的平方，
由图可知，当原点到直线的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，
，那么的最小值为：．
由于存在实数、使得不等式对于任意成立，
，，，．
，
当且仅当时取等号．，，解得．，即时取等号．
故答案为：，．

例6.已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点），过点作一直线交椭圆于、两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值；
【解析】解：（1）椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，
，解得，，（2分），所以，椭圆方程为．（4分）
（2）由，得，
设，，，，由条件可知，点．
，（6分）
令，则，，
则，
当且仅当，即（此时垂直于轴）时等号成立，
所以的最大值是．（10分）
巩固练习
1. 设，在圆上运动，且，点在直线上运动．则的最小值是　　．
【答案】4
【解析】解：取的中点，连，则，
，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．
，设点到直线的距离为，
所以，
（当且仅当，为线段与圆的交点时取等）
故答案为：4．

2.已知正实数，满足，，，为坐标原点．则的面积取值范围是　　．
【答案】
【解析】解： 且， 则，
过点作轴于，或点作轴于点，延长，交于点．
则
，当时等号成立
又，，
，即，故答案为：

3.如图所示，椭圆，左右焦点分别记作，，过，分别作直线，交椭圆，，且．
（1）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值；
（2）求四边形面积的最大值．

【解析】（1）证明：由椭圆，得，，．
设，则所在直线方程为，所在直线方程为，
联立，得．
解得，不妨取，则
同理求得，．
则，则；
（2）解：由（1）知，，
．
、的距离，
．
令，则，当时，．

知识点五：定点问题

例题精讲
例1. 已知椭圆，且，椭圆上的点到它的中心的距离的最小值为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作关于轴对称的两条直线分别与椭圆相交，轴左边的交点由上到下依次为，，轴右边的交点由上到下依次为，，求证：直线过定点，并求出定点坐标．

【解析】解：（1）椭圆的方程为（4分）
证明：（2）由已知可设方程为，
代入，得，（5分）
设，，，，则（6分）
由对称性知，，方程为，（8分）
，，
方程可化为（9分）


（12分）
恒过定点，定点为（13分）
例2.如图，已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）若不过点的动直线与椭圆相交于，两点，且，试问直线能否过定点，说明理由．

【解析】解：（1）由圆的一般方程化成标准方程：，
圆心为，半径为，
由，，
直线，即，
直线与圆相切，
，解得，
由，
椭圆的方程；
（2）由，设的方程为：，
将代入椭圆方程，整理得：，
解得：或，
，，
将上式的换成，可知：，，
直线的方程为：，
整理得：，
直线能否过定点．

巩固练习
1. 过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦、．
（1）求证：直线恒过定点；
（2）求弦中点的轨迹方程；
（3）求面积的最小值．
【解析】（1）证明：依题意可知直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，
与联立方程，解得，，
，，
同理，，
则的斜率为，
则有直线的方程为，
即为，
令，解得．
则直线恒过定点；
（2）解：设中点，则由中点坐标公式，
得，，
消去参数，得，
即为中点的轨迹方程；
（3）解：面积，时，的面积取最小值1．

一、 填空题
1．椭圆的弦的中点为，则弦所在直线的方程是　　．
【答案】
【解析】解：设，，，，
弦的中点为，弦的斜率存在．
，．把，的坐标代入椭圆，得：
①②
①②得：，
即．．
弦所在直线的方程是，
整理得：．
故答案为：．

2．已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是　　．
【答案】
【解析】解：①当时，曲线即，
两边平方，整理得，，
表示以为圆心，半径的圆的右半圆；
②当时，曲线即，
两边平方，整理得，，
表示以为圆心，半径的圆的左半圆．
直线即，表示经过定点、斜率为的直线．
因此，直线与曲线有两个不同的交点，
就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点，
①当直线与右半圆有两个交点时，记点，
可得直线到圆心的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率，
且，解得；
②当直线与左半圆有两个交点时，类似于①的方程解得．
综上所述，实数的取值范围是或，即，，．
故答案为：，，．

3．给定曲线，为参数，则这些曲线在直线上所截得得弦长的最大值是　　．
【答案】
【解析】解：将代入曲线方程得，．
令，
则，
，
弦长．
故弦长的最大值是，
故答案为：．
4．在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在上．若圆上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围是　　．
【答案】
【解析】解： 因为圆心在直线上，所以圆的方程为．
设点，因为，
所以，化简得，即，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点在圆上，所以 是圆与圆的公共点，则，所以．
即得
所以点的横坐标的取值范围为．
5．如图，为椭圆上的一动点，过点作椭圆的两条切线，，斜率分别为，．若为定值，则　　．


【答案】
【解析】解：取，设切线方程为：，
代入椭圆椭圆方程可得：，
令△，
化为：，
，
取，设切线方程为：，
代入椭圆椭圆方程可得：，
令△，
化为：，，
又为定值，，解得．

二、 选择题
6．抛物线的焦点为，点为上的动点，点为的准线上的动点，当为等边三角形时，其周长为　　
A． B．2 C． D．6
【答案】
【解析】解：如图所示：
为等边三角形，垂直于抛物线的准线于，且，
，又，
，
所以的周长为，
故选：．

7．已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是　　
A．2 B．3 C． D．
【答案】
【解析】解：设直线的方程为：，点，，，，
直线与轴的交点为，
由，根据韦达定理有，
，，
结合及，得，
点，位于轴的两侧，，故．
不妨令点在轴上方，则，又，
，
．
当且仅当，即时，取“”号，
与面积之和的最小值是3，
故选：．

8．设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：设，，，，，，
斜率存在时，设斜率为，则，，
则，相减，得，
当的斜率存在时，利用点差法可得，
因为直线与圆相切，所以，所以，
即的轨迹是直线．
将代入，得，，
在圆上，，，
直线恰有4条，，，
故时，直线有2条；
斜率不存在时，直线有2条；
所以直线恰有4条，，
故选：．
三、 简答题
9．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，，满足，的中点均在抛物线上
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）设中点为，且，，，，证明：；
（3）若是曲线上的动点，求面积的最小值．

【解析】（1）解：由抛物线，得，则，
抛物线的焦点到准线的距离为2；
（2）证明：，，设，，，，
中点为的坐标为，，则，，
抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上，
可得，，
化简可得，为关于的方程的两根，
可得，，
可得；
（3）解：若是曲线上的动点，
可得，，，
由（2）可得，，
由垂直于轴，可得面积为


，
令，
得时，取得最大值．
时，取得最小值2，
即，
则在递增，可得，，
面积的最小值为．
10．设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和．
（1）若，求点的坐标；
（2）若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部；
（3）若，且直线，与有且只有一个公共点，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
设，，由得，代入方程，得，
故点的坐标为或者；
证明：设，，，，直线，联立消去得，，
由韦达定理：，，
由，
故为钝角，原点总在以线段为直径的圆的内部；
设，，，则，得，，
故直线，
因为直线和直线平行，直线的方程为，
代入抛物线方程得：，由，得，
设，则，，
，当且仅当取等号，
由，得，，
故，的面积存在最小值2．


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