第20讲-数列求通项的方法-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第20讲-数列求通项的方法（原卷版）学习目标：1、熟练掌握数列的通项公式的利用和的关系求通项；2、熟练掌握对于待定系数法求数列通项公式的方法；3、能够通过递推式找到合适的方法求的数列的通项；                                                                         教学内容1、设正项等比数列的首项，前n项和为，且，求的通项。      2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．      3、已知数列的前n项和（n为正整数）。（1）令，求证数列是等差数列，（2）求数列的通项公式；  “斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，籍贯大概是比萨，卒于1240年后）。他还被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。《达·芬奇密码》中还提到过这个斐波那契数列：菲波那契数列指的是这样一个数列：这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，它的通项公式为：。证明：设      （1），其中满足，解得或；①当时，，设      （2），则      （3），讲（2）（3）代入（1）得：，所以数列是等比数列，其中，公比；，即      （4）；②当时，同理可得：      （5）；将（4）（5）两式相减得：；故可得上述通项公式，很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。该数列有很多奇妙的属性1：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割；2：从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1； 知识点一：利用等差等比数列通项公式(公式法)知识梳理等差数列的通项公式为：等比数列的通项公式为：    例题精讲例1、设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，求，的通项公式。    例2、等差数列的前项和为．求数列的通项。        巩固练习1、实数列是等比数列,成等差数列，求数列的通项。             知识点二：利用数列的前项和求数列的通项公式知识梳理利用（作差法）注：一定要检验时是否成立。例题精讲例1、数列的前项和为，，，求数列的通项。      例2、已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．求的通项公式。            巩固练习1、设数列满足，．求数列的通项。       2、各项全不为零的数列的前项和为,且求数列。       知识点三：利用递推关系知识梳理1．递推关系 其中为常数（累加法）由递推式得，诸式相加，得，即为累加法求数列通项公式。    例题精讲例1、数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．求的通项公式．          例2、已知数列满足，求数列的通项公式。           巩固练习1、已知数列满足，且，求数列的通项公式。       知识梳理2．递推关系 其中为常数（累乘法）由递推式得，诸式相乘，得   ，即为累乘法求数列通项公式。例题精讲例1、已知数列的首项，其前项和，求数列的通项公式。       例2、已知，求数列的通项公式.  巩固练习1、数列满足且，求数列的通项公式。          知识梳理3．递推关系 其中为常数且，令，整理得，所以，即，从而，所以数列是等比数列。例题精讲例1、已知数列：3，5，7，9，…，，…。另作一数列，使得，且当时，，求数列的通项公式。      例2、数列中，设且，求数列的通项公式。        1、设数列的首项．求的通项公式。              知识梳理4．递推关系 其中为常数且，令，由递推式两边同除以，（1）当时，。对此采用累加法可求。（2）当时，。对此采用待定系数法可求。 例题精讲例1、在数列中，，其中．求。          例2、数列的前项和为且满足，求。       巩固练习1、设为常数，且．证明：对任意，；        注：本题也可以通过数学归纳法证明。 知识梳理5．递推关系 其中为常数（1）若时，，即，知为等比数列，对此采用累加法可求。（2）若时，存在满足，整理得，有，从而是等比数列，对此采用3. 4中所述的方法即可。例题精讲例1、已知数列满足，求数列的通项公式。               例2、已知数列中，，求数列的通项公式。             巩固练习1、数列中，若,且满足,求.        知识梳理递推关系,利用倒数法变形，两边取倒数后换元转化为与形式相同的。   例题精讲例1、已知数列满足：，求数列的通项公式。      例2、数列满足：，且，求。    巩固练习1、数列满足：，，求数列的通项公式。                知识梳理（选讲）7、形如型方法：不动点法我们设,由方程求得二根，由有同理,两式相除有,从而得,再解出即可.对于若数列满足且。（1）若方程有两个相异实根，则；（2）若方程有两个相等实根，且，则。例题精讲例1、已知数列满足，求数列的通项公式。      例2、已知数列满足，求数列的通项公式。   1、设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是________.       2、数列中，，，则的通项为                   。              3、设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式为                   。．     4、已知数列中，，则数列的通项公式为            .      5、已知中，，（），则数列的通项公式为            .      6、已知中，，（）求。      7、已知：，时，，求的通项公式。          8、已知中，，其前项和与满足（）（1）求证：为等差数列  （2）求的通项公式                   9、已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足证明：         10、已知数列和满足：，，，，且是以为公比的等比数列．（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；       笔耕不辍教师引导学生借助知识脑图总结重难点